Theorem dfima2 3389

Description: Alternate definition of image. Compare definition (d) of [Enderton] p. 44.

Assertion

Ref	Expression
dfima2	|- (A"B) = {y | E.x e. B xAy}

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem dfima2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 3181	. 2 |- (A"B) = ran ( A |` B)
2		dfrn3 3293	. 2 |- ran ( A |` B) = {y | E.x<.x, y>. e. (A |` B)}
3		df-res 3180	. . . . . . 7 |- (A |` B) = (A i^i (B X. V))
4	3	eleq2i 1530	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. (A |` B) <-> <.x, y>. e. (A i^i (B X. V)))
5		elin 2197	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. (A i^i (B X. V)) <-> (<.x, y>. e. A /\ <.x, y>. e. (B X. V)))
6		ancom 435	. . . . . . 7 |- ((x e. B /\ xAy) <-> (xAy /\ x e. B))
7		df-br 2610	. . . . . . . 8 |- (xAy <-> <.x, y>. e. A)
8		visset 1804	. . . . . . . . . 10 |- y e. V
9	8	biantru 722	. . . . . . . . 9 |- (x e. B <-> (x e. B /\ y e. V))
10	8	opelxp 3204	. . . . . . . . 9 |- (<.x, y>. e. (B X. V) <-> (x e. B /\ y e. V))
11	9, 10	bitr4 176	. . . . . . . 8 |- (x e. B <-> <.x, y>. e. (B X. V))
12	7, 11	anbi12i 481	. . . . . . 7 |- ((xAy /\ x e. B) <-> (<.x, y>. e. A /\ <.x, y>. e. (B X. V)))
13	6, 12	bitr2 174	. . . . . 6 |- ((<.x, y>. e. A /\ <.x, y>. e. (B X. V)) <-> (x e. B /\ xAy))
14	4, 5, 13	3bitr 177	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. (A |` B) <-> (x e. B /\ xAy))
15	14	exbii 1047	. . . 4 |- (E.x<.x, y>. e. (A |` B) <-> E.x(x e. B /\ xAy))
16		df-rex 1642	. . . 4 |- (E.x e. B xAy <-> E.x(x e. B /\ xAy))
17	15, 16	bitr4 176	. . 3 |- (E.x<.x, y>. e. (A |` B) <-> E.x e. B xAy)
18	17	abbii 1567	. 2 |- {y | E.x<.x, y>. e. (A |` B)} = {y | E.x e. B xAy}
19	1, 2, 18	3eqtr 1491	1 |- (A"B) = {y | E.x e. B xAy}

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977  {cab 1456  E.wrex 1638  Vcvv 1802   i^i cin 2036  <.cop 2401   class class class wbr 2609   X. cxp 3158  ran crn 3161   |` cres 3162  "cima 3163

This theorem is referenced by:  dfima3 3390  elimag 3391  imasng 3408  fv2 3705  dfimafn 3746  isoini 3885

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-br 2610  df-opab 2657  df-xp 3174  df-cnv 3176  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181

Copyright terms: Public domain