Theorem dfin3 2250

Description: Intersection defined in terms of union (DeMorgan's law. Similar to Exercise 4.10(n) of [Mendelson] p. 231.

Assertion

Ref	Expression
dfin3	|- (A i^i B) = (V \ ((V \ A) u. (V \ B)))

Proof of Theorem dfin3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ddif 2172	. 2 |- (V \ (V \ (A \ (V \ B)))) = (A \ (V \ B))
2		dfun2 2246	. . . 4 |- ((V \ A) u. (V \ B)) = (V \ ((V \ (V \ A)) \ (V \ B)))
3		ddif 2172	. . . . . 6 |- (V \ (V \ A)) = A
4	3	difeq1i 2158	. . . . 5 |- ((V \ (V \ A)) \ (V \ B)) = (A \ (V \ B))
5	4	difeq2i 2159	. . . 4 |- (V \ ((V \ (V \ A)) \ (V \ B))) = (V \ (A \ (V \ B)))
6	2, 5	eqtr 1498	. . 3 |- ((V \ A) u. (V \ B)) = (V \ (A \ (V \ B)))
7	6	difeq2i 2159	. 2 |- (V \ ((V \ A) u. (V \ B))) = (V \ (V \ (A \ (V \ B))))
8		dfin2 2247	. 2 |- (A i^i B) = (A \ (V \ B))
9	1, 7, 8	3eqtr4r 1509	1 |- (A i^i B) = (V \ ((V \ A) u. (V \ B)))

Syntax hints:   = wceq 958  Vcvv 1814   \ cdif 2047   u. cun 2048   i^i cin 2049

This theorem is referenced by:  difindi 2262

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-12 970  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054

Copyright terms: Public domain