Theorem dflim2 3031

Description: An alternate definition of a limit ordinal.

Assertion

Ref	Expression
dflim2	|- (Lim A <-> (Ord A /\ (/) e. A /\ A = U.A))

Proof of Theorem dflim2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lim 2959	. 2 |- (Lim A <-> (Ord A /\ A =/= (/) /\ A = U.A))
2		ord0eln0 3029	. . . . 5 |- (Ord A -> ((/) e. A <-> A =/= (/)))
3	2	anbi1d 619	. . . 4 |- (Ord A -> (((/) e. A /\ A = U.A) <-> (A =/= (/) /\ A = U.A)))
4	3	pm5.32i 647	. . 3 |- ((Ord A /\ ((/) e. A /\ A = U.A)) <-> (Ord A /\ (A =/= (/) /\ A = U.A)))
5		3anass 781	. . 3 |- ((Ord A /\ (/) e. A /\ A = U.A) <-> (Ord A /\ ((/) e. A /\ A = U.A)))
6		3anass 781	. . 3 |- ((Ord A /\ A =/= (/) /\ A = U.A) <-> (Ord A /\ (A =/= (/) /\ A = U.A)))
7	4, 5, 6	3bitr4 183	. 2 |- ((Ord A /\ (/) e. A /\ A = U.A) <-> (Ord A /\ A =/= (/) /\ A = U.A))
8	1, 7	bitr4 176	1 |- (Lim A <-> (Ord A /\ (/) e. A /\ A = U.A))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960   =/= wne 1588  (/)c0 2283  U.cuni 2507  Ord word 2953  Lim wlim 2955

This theorem is referenced by:  dflim4 3125

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-lim 2959

Copyright terms: Public domain