Theorem dflim4 3116

Description: An alternate definition of a limit ordinal.

Assertion

Ref	Expression
dflim4	|- (Lim A <-> (Ord A /\ (/) e. A /\ A.x e. A suc x e. A))

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem dflim4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dflim2 3022	. 2 |- (Lim A <-> (Ord A /\ (/) e. A /\ A = U.A))
2		ordunisuc2 3112	. . . . 5 |- (Ord A -> (A = U.A <-> A.x e. A suc x e. A))
3	2	anbi2d 615	. . . 4 |- (Ord A -> (((/) e. A /\ A = U.A) <-> ((/) e. A /\ A.x e. A suc x e. A)))
4	3	pm5.32i 644	. . 3 |- ((Ord A /\ ((/) e. A /\ A = U.A)) <-> (Ord A /\ ((/) e. A /\ A.x e. A suc x e. A)))
5		3anass 778	. . 3 |- ((Ord A /\ (/) e. A /\ A = U.A) <-> (Ord A /\ ((/) e. A /\ A = U.A)))
6		3anass 778	. . 3 |- ((Ord A /\ (/) e. A /\ A.x e. A suc x e. A) <-> (Ord A /\ ((/) e. A /\ A.x e. A suc x e. A)))
7	4, 5, 6	3bitr4 183	. 2 |- ((Ord A /\ (/) e. A /\ A = U.A) <-> (Ord A /\ (/) e. A /\ A.x e. A suc x e. A))
8	1, 7	bitr 173	1 |- (Lim A <-> (Ord A /\ (/) e. A /\ A.x e. A suc x e. A))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 955   e. wcel 957  A.wral 1644  (/)c0 2278  U.cuni 2500  Ord word 2944  Lim wlim 2946  suc csuc 2947

This theorem is referenced by:  limsuc 3117  limuni3 3120

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-v 1810  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951

Copyright terms: Public domain