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Unicode version
Theorem dfms2 7778
Description: Alternate definition for the class of all metric spaces (replaces old version of df-ms 7773).
Assertion
Ref Expression
dfms2 |- MetSp = {<.x, y>. | (y:(x X. x)-->RR /\ A.z e. x A.w e. x (((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. x (zyw) <_ ((vyz) + (vyw))))}
Distinct variable group:   x,y,z,w,v
Proof of Theorem dfms2
StepHypRef Expression
1 df-ms 7773 . 2 |- MetSp = {<.x, y>. | (y e. Met /\ x = dom dom y)}
2 xpeq1 3197 . . . . . . . 8 |- (x = dom dom y -> (x X. x) = (dom dom y X. x))
3 xpeq2 3198 . . . . . . . 8 |- (x = dom dom y -> (dom dom y X. x) = (dom dom y X. dom dom y))
42, 3eqtrd 1506 . . . . . . 7 |- (x = dom dom y -> (x X. x) = (dom dom y X. dom dom y))
5 feq2 3618 . . . . . . 7 |- ((x X. x) = (dom dom y X. dom dom y) -> (y:(x X. x)-->RR <-> y:(dom dom y X. dom dom y)-->RR))
64, 5syl 10 . . . . . 6 |- (x = dom dom y -> (y:(x X. x)-->RR <-> y:(dom dom y X. dom dom y)-->RR))
7 raleq1 1785 . . . . . . . . 9 |- (x = dom dom y -> (A.v e. x (zyw) <_ ((vyz) + (vyw)) <-> A.v e. dom dom y(zyw) <_ ((vyz) + (vyw))))
87anbi2d 615 . . . . . . . 8 |- (x = dom dom y -> ((((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. x (zyw) <_ ((vyz) + (vyw))) <-> (((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. dom dom y(zyw) <_ ((vyz) + (vyw)))))
98raleqd 1790 . . . . . . 7 |- (x = dom dom y -> (A.w e. x (((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. x (zyw) <_ ((vyz) + (vyw))) <-> A.w e. dom dom y(((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. dom dom y(zyw) <_ ((vyz) + (vyw)))))
109raleqd 1790 . . . . . 6 |- (x = dom dom y -> (A.z e. x A.w e. x (((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. x (zyw) <_ ((vyz) + (vyw))) <-> A.z e. dom dom yA.w e. dom dom y(((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. dom dom y(zyw) <_ ((vyz) + (vyw)))))
116, 10anbi12d 627 . . . . 5 |- (x = dom dom y -> ((y:(x X. x)-->RR /\ A.z e. x A.w e. x (((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. x (zyw) <_ ((vyz) + (vyw)))) <-> (y:(dom dom y X. dom dom y)-->RR /\ A.z e. dom dom yA.w e. dom dom y(((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. dom dom y(zyw) <_ ((vyz) + (vyw))))))
1211pm5.32ri 645 . . . 4 |- (((y:(x X. x)-->RR /\ A.z e. x A.w e. x (((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. x (zyw) <_ ((vyz) + (vyw)))) /\ x = dom dom y) <-> ((y:(dom dom y X. dom dom y)-->RR /\ A.z e. dom dom yA.w e. dom dom y(((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. dom dom y(zyw) <_ ((vyz) + (vyw)))) /\ x = dom dom y))
13 fdm 3628 . . . . . . 7 |- (y:(x X. x)-->RR -> dom y = (x X. x))
14 dmeq 3308 . . . . . . 7 |- (dom y = (x X. x) -> dom dom y = dom ( x X. x))
15 dmxpid 3330 . . . . . . . . . 10 |- dom ( x X. x) = x
1615eqeq2i 1484 . . . . . . . . 9 |- (dom dom y = dom ( x X. x) <-> dom dom y = x)
1716biimp 151 . . . . . . . 8 |- (dom dom y = dom ( x X. x) -> dom dom y = x)
1817eqcomd 1479 . . . . . . 7 |- (dom dom y = dom ( x X. x) -> x = dom dom y)
1913, 14, 183syl 20 . . . . . 6 |- (y:(x X. x)-->RR -> x = dom dom y)
2019adantr 389 . . . . 5 |- ((y:(x X. x)-->RR /\ A.z e. x A.w e. x (((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. x (zyw) <_ ((vyz) + (vyw)))) -> x = dom dom y)
2120pm4.71i 636 . . . 4 |- ((y:(x X. x)-->RR /\ A.z e. x A.w e. x (((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. x (zyw) <_ ((vyz) + (vyw)))) <-> ((y:(x X. x)-->RR /\ A.z e. x A.w e. x (((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. x (zyw) <_ ((vyz) + (vyw)))) /\ x = dom dom y))
22 visset 1811 . . . . . 6 |- y e. V
23 eqid 1475 . . . . . . 7 |- dom dom y = dom dom y
2423ismet 7777 . . . . . 6 |- (y e. V -> (y e. Met <-> (y:(dom dom y X. dom dom y)-->RR /\ A.z e. dom dom yA.w e. dom dom y(((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. dom dom y(zyw) <_ ((vyz) + (vyw))))))
2522, 24ax-mp 7 . . . . 5 |- (y e. Met <-> (y:(dom dom y X. dom dom y)-->RR /\ A.z e. dom dom yA.w e. dom dom y(((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. dom dom y(zyw) <_ ((vyz) + (vyw)))))
2625anbi1i 481 . . . 4 |- ((y e. Met /\ x = dom dom y) <-> ((y:(dom dom y X. dom dom y)-->RR /\ A.z e. dom dom yA.w e. dom dom y(((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. dom dom y(zyw) <_ ((vyz) + (vyw)))) /\ x = dom dom y))
2712, 21, 263bitr4r 184 . . 3 |- ((y e. Met /\ x = dom dom y) <-> (y:(x X. x)-->RR /\ A.z e. x A.w e. x (((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. x (zyw) <_ ((vyz) + (vyw)))))
2827opabbii 2668 . 2 |- {<.x, y>. | (y e. Met /\ x = dom dom y)} = {<.x, y>. | (y:(x X. x)-->RR /\ A.z e. x A.w e. x (((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. x (zyw) <_ ((vyz) + (vyw))))}
291, 28eqtr 1494 1 |- MetSp = {<.x, y>. | (y:(x X. x)-->RR /\ A.z e. x A.w e. x (((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. x (zyw) <_ ((vyz) + (vyw))))}
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  A.wral 1644  Vcvv 1809   class class class wbr 2616  {copab 2663   X. cxp 3165  dom cdm 3167  -->wf 3175  (class class class)co 3960  RRcr 5220  0cc0 5221   + caddc 5224   <_ cle 5282  Metcme 7768  MetSpcmt 7769
This theorem is referenced by:  ismsg 7779  msflem 7782
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2700  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-v 1810  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2501  df-br 2617  df-opab 2664  df-id 2832  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-fv 3195  df-opr 3962  df-met 7772  df-ms 7773
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