MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfnn3 Unicode version

Theorem dfnn3 9728
Description: Alternate definition of the set of natural numbers. Definition of positive integers in [Apostol] p. 22. (Contributed by NM, 3-Jul-2005.)
Assertion
Ref Expression
dfnn3  |-  NN  =  |^| { x  |  ( x  C_  RR  /\  1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem dfnn3
StepHypRef Expression
1 eleq2 2319 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  (
1  e.  x  <->  1  e.  z ) )
2 eleq2 2319 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
( y  +  1 )  e.  x  <->  ( y  +  1 )  e.  z ) )
32raleqbi1dv 2719 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x  <->  A. y  e.  z  ( y  +  1 )  e.  z ) )
41, 3anbi12d 694 . . 3  |-  ( x  =  z  ->  (
( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  <-> 
( 1  e.  z  /\  A. y  e.  z  ( y  +  1 )  e.  z ) ) )
5 dfnn2 9727 . . . . 5  |-  NN  =  |^| { z  |  ( 1  e.  z  /\  A. y  e.  z  ( y  +  1 )  e.  z ) }
65eqeq2i 2268 . . . 4  |-  ( x  =  NN  <->  x  =  |^| { z  |  ( 1  e.  z  /\  A. y  e.  z  ( y  +  1 )  e.  z ) } )
7 eleq2 2319 . . . . 5  |-  ( x  =  NN  ->  (
1  e.  x  <->  1  e.  NN ) )
8 eleq2 2319 . . . . . 6  |-  ( x  =  NN  ->  (
( y  +  1 )  e.  x  <->  ( y  +  1 )  e.  NN ) )
98raleqbi1dv 2719 . . . . 5  |-  ( x  =  NN  ->  ( A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x  <->  A. y  e.  NN  ( y  +  1 )  e.  NN ) )
107, 9anbi12d 694 . . . 4  |-  ( x  =  NN  ->  (
( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  <-> 
( 1  e.  NN  /\ 
A. y  e.  NN  ( y  +  1 )  e.  NN ) ) )
116, 10sylbir 206 . . 3  |-  ( x  =  |^| { z  |  ( 1  e.  z  /\  A. y  e.  z  ( y  +  1 )  e.  z ) }  ->  ( ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  <-> 
( 1  e.  NN  /\ 
A. y  e.  NN  ( y  +  1 )  e.  NN ) ) )
12 nnssre 9718 . . . . 5  |-  NN  C_  RR
135, 12eqsstr3i 3184 . . . 4  |-  |^| { z  |  ( 1  e.  z  /\  A. y  e.  z  ( y  +  1 )  e.  z ) }  C_  RR
14 1nn 9725 . . . . 5  |-  1  e.  NN
15 peano2nn 9726 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  NN )
1615rgen 2583 . . . . 5  |-  A. y  e.  NN  ( y  +  1 )  e.  NN
1714, 16pm3.2i 443 . . . 4  |-  ( 1  e.  NN  /\  A. y  e.  NN  (
y  +  1 )  e.  NN )
1813, 17pm3.2i 443 . . 3  |-  ( |^| { z  |  ( 1  e.  z  /\  A. y  e.  z  (
y  +  1 )  e.  z ) } 
C_  RR  /\  (
1  e.  NN  /\  A. y  e.  NN  (
y  +  1 )  e.  NN ) )
194, 11, 18intabs 4148 . 2  |-  |^| { x  |  ( x  C_  RR  /\  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) ) }  =  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
20 3anass 943 . . . 4  |-  ( ( x  C_  RR  /\  1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  <->  ( x  C_  RR  /\  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x ) ) )
2120abbii 2370 . . 3  |-  { x  |  ( x  C_  RR  /\  1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  =  { x  |  ( x  C_  RR  /\  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) ) }
2221inteqi 3840 . 2  |-  |^| { x  |  ( x  C_  RR  /\  1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  =  |^| { x  |  ( x  C_  RR  /\  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) ) }
23 dfnn2 9727 . 2  |-  NN  =  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
2419, 22, 233eqtr4ri 2289 1  |-  NN  =  |^| { x  |  ( x  C_  RR  /\  1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   {cab 2244   A.wral 2518    C_ wss 3127   |^|cint 3836  (class class class)co 5792   RRcr 8704   1c1 8706    + caddc 8708   NNcn 9714
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-n 9715
  Copyright terms: Public domain W3C validator