MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfnn3 Unicode version

Theorem dfnn3 9974
Description: Alternate definition of the set of natural numbers. Definition of positive integers in [Apostol] p. 22. (Contributed by NM, 3-Jul-2005.)
Assertion
Ref Expression
dfnn3  |-  NN  =  |^| { x  |  ( x  C_  RR  /\  1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem dfnn3
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq2 2469 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  (
1  e.  x  <->  1  e.  z ) )
2 eleq2 2469 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
( y  +  1 )  e.  x  <->  ( y  +  1 )  e.  z ) )
32raleqbi1dv 2876 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x  <->  A. y  e.  z  ( y  +  1 )  e.  z ) )
41, 3anbi12d 692 . . 3  |-  ( x  =  z  ->  (
( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  <-> 
( 1  e.  z  /\  A. y  e.  z  ( y  +  1 )  e.  z ) ) )
5 dfnn2 9973 . . . . 5  |-  NN  =  |^| { z  |  ( 1  e.  z  /\  A. y  e.  z  ( y  +  1 )  e.  z ) }
65eqeq2i 2418 . . . 4  |-  ( x  =  NN  <->  x  =  |^| { z  |  ( 1  e.  z  /\  A. y  e.  z  ( y  +  1 )  e.  z ) } )
7 eleq2 2469 . . . . 5  |-  ( x  =  NN  ->  (
1  e.  x  <->  1  e.  NN ) )
8 eleq2 2469 . . . . . 6  |-  ( x  =  NN  ->  (
( y  +  1 )  e.  x  <->  ( y  +  1 )  e.  NN ) )
98raleqbi1dv 2876 . . . . 5  |-  ( x  =  NN  ->  ( A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x  <->  A. y  e.  NN  ( y  +  1 )  e.  NN ) )
107, 9anbi12d 692 . . . 4  |-  ( x  =  NN  ->  (
( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  <-> 
( 1  e.  NN  /\ 
A. y  e.  NN  ( y  +  1 )  e.  NN ) ) )
116, 10sylbir 205 . . 3  |-  ( x  =  |^| { z  |  ( 1  e.  z  /\  A. y  e.  z  ( y  +  1 )  e.  z ) }  ->  ( ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  <-> 
( 1  e.  NN  /\ 
A. y  e.  NN  ( y  +  1 )  e.  NN ) ) )
12 nnssre 9964 . . . . 5  |-  NN  C_  RR
135, 12eqsstr3i 3343 . . . 4  |-  |^| { z  |  ( 1  e.  z  /\  A. y  e.  z  ( y  +  1 )  e.  z ) }  C_  RR
14 1nn 9971 . . . . 5  |-  1  e.  NN
15 peano2nn 9972 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  NN )
1615rgen 2735 . . . . 5  |-  A. y  e.  NN  ( y  +  1 )  e.  NN
1714, 16pm3.2i 442 . . . 4  |-  ( 1  e.  NN  /\  A. y  e.  NN  (
y  +  1 )  e.  NN )
1813, 17pm3.2i 442 . . 3  |-  ( |^| { z  |  ( 1  e.  z  /\  A. y  e.  z  (
y  +  1 )  e.  z ) } 
C_  RR  /\  (
1  e.  NN  /\  A. y  e.  NN  (
y  +  1 )  e.  NN ) )
194, 11, 18intabs 4325 . 2  |-  |^| { x  |  ( x  C_  RR  /\  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) ) }  =  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
20 3anass 940 . . . 4  |-  ( ( x  C_  RR  /\  1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  <->  ( x  C_  RR  /\  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x ) ) )
2120abbii 2520 . . 3  |-  { x  |  ( x  C_  RR  /\  1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  =  { x  |  ( x  C_  RR  /\  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) ) }
2221inteqi 4018 . 2  |-  |^| { x  |  ( x  C_  RR  /\  1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  =  |^| { x  |  ( x  C_  RR  /\  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) ) }
23 dfnn2 9973 . 2  |-  NN  =  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
2419, 22, 233eqtr4ri 2439 1  |-  NN  =  |^| { x  |  ( x  C_  RR  /\  1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2394   A.wral 2670    C_ wss 3284   |^|cint 4014  (class class class)co 6044   RRcr 8949   1c1 8951    + caddc 8953   NNcn 9960
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-nn 9961
  Copyright terms: Public domain W3C validator