Theorem dfom2 3220

Description: An alternate definition of the set of natural numbers om. Definition 7.28 of [TakeutiZaring] p. 42, who use the symbol K_I for the inner class builder of non-limit ordinal numbers (see nlimon 3205).

Assertion

Ref	Expression
dfom2	|- om = {x e. On | suc x (_ {y e. On | -. Lim y}}

Proof of Theorem dfom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1859	. . . . . 6 |- x e. V
2	1	elon 2984	. . . . 5 |- (x e. On <-> Ord x)
3	2	anbi1i 484	. . . 4 |- ((x e. On /\ A.z(Lim z -> x e. z)) <-> (Ord x /\ A.z(Lim z -> x e. z)))
4		onsssuc 3059	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. On /\ x e. On) -> (z (_ x <-> z e. suc x))
5		ontri1 3009	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. On /\ x e. On) -> (z (_ x <-> -. x e. z))
6	4, 5	bitr3d 533	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z e. On /\ x e. On) -> (z e. suc x <-> -. x e. z))
7	6	ancoms 438	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. On /\ z e. On) -> (z e. suc x <-> -. x e. z))
8		limeq 2987	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y = z -> (Lim y <-> Lim z))
9	8	notbid 614	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y = z -> (-. Lim y <-> -. Lim z))
10	9	elrab 1951	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. {y e. On | -. Lim y} <-> (z e. On /\ -. Lim z))
11	10	a1i 8	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. On /\ z e. On) -> (z e. {y e. On | -. Lim y} <-> (z e. On /\ -. Lim z)))
12	7, 11	imbi12d 629	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. On /\ z e. On) -> ((z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y}) <-> (-. x e. z -> (z e. On /\ -. Lim z))))
13	12	pm5.74da 589	. . . . . . . . 9 |- (x e. On -> ((z e. On -> (z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y})) <-> (z e. On -> (-. x e. z -> (z e. On /\ -. Lim z)))))
14		visset 1859	. . . . . . . . . . . . 13 |- z e. V
15		limelon 3036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. V /\ Lim z) -> z e. On)
16	14, 15	mpan 699	. . . . . . . . . . . 12 |- (Lim z -> z e. On)
17	16	pm4.71ri 641	. . . . . . . . . . 11 |- (Lim z <-> (z e. On /\ Lim z))
18	17	imbi1i 184	. . . . . . . . . 10 |- ((Lim z -> x e. z) <-> ((z e. On /\ Lim z) -> x e. z))
19		impexp 345	. . . . . . . . . 10 |- (((z e. On /\ Lim z) -> x e. z) <-> (z e. On -> (Lim z -> x e. z)))
20		ibar 646	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. On -> (-. Lim z <-> (z e. On /\ -. Lim z)))
21	20	imbi2d 615	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. On -> ((-. x e. z -> -. Lim z) <-> (-. x e. z -> (z e. On /\ -. Lim z))))
22		con34b 164	. . . . . . . . . . . 12 |- ((Lim z -> x e. z) <-> (-. x e. z -> -. Lim z))
23	21, 22	syl5bb 535	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. On -> ((Lim z -> x e. z) <-> (-. x e. z -> (z e. On /\ -. Lim z))))
24	23	pm5.74i 587	. . . . . . . . . 10 |- ((z e. On -> (Lim z -> x e. z)) <-> (z e. On -> (-. x e. z -> (z e. On /\ -. Lim z))))
25	18, 19, 24	3bitri 175	. . . . . . . . 9 |- ((Lim z -> x e. z) <-> (z e. On -> (-. x e. z -> (z e. On /\ -. Lim z))))
26	13, 25	syl6rbbr 542	. . . . . . . 8 |- (x e. On -> ((Lim z -> x e. z) <-> (z e. On -> (z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y}))))
27		pm3.27 321	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. On /\ z e. suc x) -> z e. suc x)
28		suceloni 3170	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. On -> suc x e. On)
29		onelon 3000	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((suc x e. On /\ z e. suc x) -> z e. On)
30	29	ex 371	. . . . . . . . . . . . 13 |- (suc x e. On -> (z e. suc x -> z e. On))
31	28, 30	syl 10	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. On -> (z e. suc x -> z e. On))
32	31	ancrd 297	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. On -> (z e. suc x -> (z e. On /\ z e. suc x)))
33	27, 32	impbid2 521	. . . . . . . . . 10 |- (x e. On -> ((z e. On /\ z e. suc x) <-> z e. suc x))
34	33	imbi1d 616	. . . . . . . . 9 |- (x e. On -> (((z e. On /\ z e. suc x) -> z e. {y e. On | -. Lim y}) <-> (z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y})))
35		impexp 345	. . . . . . . . 9 |- (((z e. On /\ z e. suc x) -> z e. {y e. On | -. Lim y}) <-> (z e. On -> (z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y})))
36	34, 35	syl5bbr 537	. . . . . . . 8 |- (x e. On -> ((z e. On -> (z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y})) <-> (z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y})))
37	26, 36	bitrd 531	. . . . . . 7 |- (x e. On -> ((Lim z -> x e. z) <-> (z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y})))
38	37	albidv 1316	. . . . . 6 |- (x e. On -> (A.z(Lim z -> x e. z) <-> A.z(z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y})))
39		dfss2 2110	. . . . . 6 |- (suc x (_ {y e. On | -. Lim y} <-> A.z(z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y}))
40	38, 39	syl6bbr 541	. . . . 5 |- (x e. On -> (A.z(Lim z -> x e. z) <-> suc x (_ {y e. On | -. Lim y}))
41	40	pm5.32i 648	. . . 4 |- ((x e. On /\ A.z(Lim z -> x e. z)) <-> (x e. On /\ suc x (_ {y e. On | -. Lim y}))
42	3, 41	bitr3i 173	. . 3 |- ((Ord x /\ A.z(Lim z -> x e. z)) <-> (x e. On /\ suc x (_ {y e. On | -. Lim y}))
43	42	abbii 1618	. 2 |- {x | (Ord x /\ A.z(Lim z -> x e. z))} = {x | (x e. On /\ suc x (_ {y e. On | -. Lim y})}
44		df-om 3219	. 2 |- om = {x | (Ord x /\ A.z(Lim z -> x e. z))}
45		df-rab 1698	. 2 |- {x e. On | suc x (_ {y e. On | -. Lim y}} = {x | (x e. On /\ suc x (_ {y e. On | -. Lim y})}
46	43, 44, 45	3eqtr4i 1548	1 |- om = {x e. On | suc x (_ {y e. On | -. Lim y}}

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221  A.wal 990   = wceq 992   e. wcel 994  {cab 1505  {crab 1694  Vcvv 1857   (_ wss 2099  Ord word 2974  Oncon0 2975  Lim wlim 2976  suc csuc 2977  omcom 3218

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-sep 2777  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-rab 1698  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219

Copyright terms: Public domain