Theorem dfom2 3219

Description: An alternate definition of the set of natural numbers om. Definition 7.28 of [TakeutiZaring] p. 42, who use the symbol K_I for the inner class builder of non-limit ordinal numbers (see nlimon 3204).

Assertion

Ref	Expression
dfom2	|- om = {x e. On | suc x (_ {y e. On | -. Lim y}}

Proof of Theorem dfom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1858	. . . . . 6 |- x e. V
2	1	elon 2983	. . . . 5 |- (x e. On <-> Ord x)
3	2	anbi1i 483	. . . 4 |- ((x e. On /\ A.z(Lim z -> x e. z)) <-> (Ord x /\ A.z(Lim z -> x e. z)))
4		onsssuc 3058	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. On /\ x e. On) -> (z (_ x <-> z e. suc x))
5		ontri1 3008	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. On /\ x e. On) -> (z (_ x <-> -. x e. z))
6	4, 5	bitr3d 532	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z e. On /\ x e. On) -> (z e. suc x <-> -. x e. z))
7	6	ancoms 438	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. On /\ z e. On) -> (z e. suc x <-> -. x e. z))
8		limeq 2986	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y = z -> (Lim y <-> Lim z))
9	8	notbid 613	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y = z -> (-. Lim y <-> -. Lim z))
10	9	elrab 1950	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. {y e. On | -. Lim y} <-> (z e. On /\ -. Lim z))
11	10	a1i 8	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. On /\ z e. On) -> (z e. {y e. On | -. Lim y} <-> (z e. On /\ -. Lim z)))
12	7, 11	imbi12d 628	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. On /\ z e. On) -> ((z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y}) <-> (-. x e. z -> (z e. On /\ -. Lim z))))
13	12	pm5.74da 588	. . . . . . . . 9 |- (x e. On -> ((z e. On -> (z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y})) <-> (z e. On -> (-. x e. z -> (z e. On /\ -. Lim z)))))
14		visset 1858	. . . . . . . . . . . . 13 |- z e. V
15		limelon 3035	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. V /\ Lim z) -> z e. On)
16	14, 15	mpan 698	. . . . . . . . . . . 12 |- (Lim z -> z e. On)
17	16	pm4.71ri 640	. . . . . . . . . . 11 |- (Lim z <-> (z e. On /\ Lim z))
18	17	imbi1i 184	. . . . . . . . . 10 |- ((Lim z -> x e. z) <-> ((z e. On /\ Lim z) -> x e. z))
19		impexp 345	. . . . . . . . . 10 |- (((z e. On /\ Lim z) -> x e. z) <-> (z e. On -> (Lim z -> x e. z)))
20		ibar 645	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. On -> (-. Lim z <-> (z e. On /\ -. Lim z)))
21	20	imbi2d 614	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. On -> ((-. x e. z -> -. Lim z) <-> (-. x e. z -> (z e. On /\ -. Lim z))))
22		con34b 164	. . . . . . . . . . . 12 |- ((Lim z -> x e. z) <-> (-. x e. z -> -. Lim z))
23	21, 22	syl5bb 534	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. On -> ((Lim z -> x e. z) <-> (-. x e. z -> (z e. On /\ -. Lim z))))
24	23	pm5.74i 586	. . . . . . . . . 10 |- ((z e. On -> (Lim z -> x e. z)) <-> (z e. On -> (-. x e. z -> (z e. On /\ -. Lim z))))
25	18, 19, 24	3bitri 175	. . . . . . . . 9 |- ((Lim z -> x e. z) <-> (z e. On -> (-. x e. z -> (z e. On /\ -. Lim z))))
26	13, 25	syl6rbbr 541	. . . . . . . 8 |- (x e. On -> ((Lim z -> x e. z) <-> (z e. On -> (z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y}))))
27		pm3.27 321	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. On /\ z e. suc x) -> z e. suc x)
28		suceloni 3169	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. On -> suc x e. On)
29		onelon 2999	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((suc x e. On /\ z e. suc x) -> z e. On)
30	29	ex 371	. . . . . . . . . . . . 13 |- (suc x e. On -> (z e. suc x -> z e. On))
31	28, 30	syl 10	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. On -> (z e. suc x -> z e. On))
32	31	ancrd 297	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. On -> (z e. suc x -> (z e. On /\ z e. suc x)))
33	27, 32	impbid2 520	. . . . . . . . . 10 |- (x e. On -> ((z e. On /\ z e. suc x) <-> z e. suc x))
34	33	imbi1d 615	. . . . . . . . 9 |- (x e. On -> (((z e. On /\ z e. suc x) -> z e. {y e. On | -. Lim y}) <-> (z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y})))
35		impexp 345	. . . . . . . . 9 |- (((z e. On /\ z e. suc x) -> z e. {y e. On | -. Lim y}) <-> (z e. On -> (z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y})))
36	34, 35	syl5bbr 536	. . . . . . . 8 |- (x e. On -> ((z e. On -> (z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y})) <-> (z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y})))
37	26, 36	bitrd 530	. . . . . . 7 |- (x e. On -> ((Lim z -> x e. z) <-> (z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y})))
38	37	albidv 1315	. . . . . 6 |- (x e. On -> (A.z(Lim z -> x e. z) <-> A.z(z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y})))
39		dfss2 2109	. . . . . 6 |- (suc x (_ {y e. On | -. Lim y} <-> A.z(z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y}))
40	38, 39	syl6bbr 540	. . . . 5 |- (x e. On -> (A.z(Lim z -> x e. z) <-> suc x (_ {y e. On | -. Lim y}))
41	40	pm5.32i 647	. . . 4 |- ((x e. On /\ A.z(Lim z -> x e. z)) <-> (x e. On /\ suc x (_ {y e. On | -. Lim y}))
42	3, 41	bitr3i 173	. . 3 |- ((Ord x /\ A.z(Lim z -> x e. z)) <-> (x e. On /\ suc x (_ {y e. On | -. Lim y}))
43	42	abbii 1617	. 2 |- {x | (Ord x /\ A.z(Lim z -> x e. z))} = {x | (x e. On /\ suc x (_ {y e. On | -. Lim y})}
44		df-om 3218	. 2 |- om = {x | (Ord x /\ A.z(Lim z -> x e. z))}
45		df-rab 1697	. 2 |- {x e. On | suc x (_ {y e. On | -. Lim y}} = {x | (x e. On /\ suc x (_ {y e. On | -. Lim y})}
46	43, 44, 45	3eqtr4i 1547	1 |- om = {x e. On | suc x (_ {y e. On | -. Lim y}}

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221  A.wal 989   = wceq 991   e. wcel 993  {cab 1504  {crab 1693  Vcvv 1856   (_ wss 2098  Ord word 2973  Oncon0 2974  Lim wlim 2975  suc csuc 2976  omcom 3217

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 997  ax-gen 998  ax-8 999  ax-10 1001  ax-11 1002  ax-12 1003  ax-13 1004  ax-14 1005  ax-17 1006  ax-4 1008  ax-5o 1010  ax-6o 1013  ax-9o 1158  ax-10o 1176  ax-16 1246  ax-11o 1254  ax-ext 1499  ax-sep 2776  ax-pow 2817  ax-pr 2854  ax-un 3088

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 781  df-3an 782  df-ex 1016  df-sb 1208  df-eu 1420  df-mo 1421  df-clab 1505  df-cleq 1510  df-clel 1513  df-ne 1629  df-ral 1694  df-rex 1695  df-rab 1697  df-v 1857  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-pw 2458  df-sn 2469  df-pr 2470  df-tp 2472  df-op 2473  df-uni 2569  df-br 2692  df-opab 2740  df-tr 2754  df-eprel 2909  df-po 2917  df-so 2928  df-fr 2946  df-we 2961  df-ord 2977  df-on 2978  df-lim 2979  df-suc 2980  df-om 3218

Copyright terms: Public domain