HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem dfom2 3129
Description: An alternate definition of the set of natural numbers om. Definition 7.28 of [TakeutiZaring] p. 42, who use the symbol KI for the inner class builder of non-limit ordinal numbers (see nlimon 3118).
Assertion
Ref Expression
dfom2 |- om = {x e. On | suc x (_ {y e. On | -. Lim y}}

Proof of Theorem dfom2
StepHypRef Expression
1 visset 1810 . . . . . 6 |- x e. V
21elon 2953 . . . . 5 |- (x e. On <-> Ord x)
32anbi1i 481 . . . 4 |- ((x e. On /\ A.z(Lim z -> x e. z)) <-> (Ord x /\ A.z(Lim z -> x e. z)))
4 onsssuc 3054 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. On /\ x e. On) -> (z (_ x <-> z e. suc x))
5 ontri1 2977 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. On /\ x e. On) -> (z (_ x <-> -. x e. z))
64, 5bitr3d 529 . . . . . . . . . . . 12 |- ((z e. On /\ x e. On) -> (z e. suc x <-> -. x e. z))
76ancoms 436 . . . . . . . . . . 11 |- ((x e. On /\ z e. On) -> (z e. suc x <-> -. x e. z))
8 limeq 2956 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (y = z -> (Lim y <-> Lim z))
98negbid 610 . . . . . . . . . . . . 13 |- (y = z -> (-. Lim y <-> -. Lim z))
109elrab 1902 . . . . . . . . . . . 12 |- (z e. {y e. On | -. Lim y} <-> (z e. On /\ -. Lim z))
1110a1i 8 . . . . . . . . . . 11 |- ((x e. On /\ z e. On) -> (z e. {y e. On | -. Lim y} <-> (z e. On /\ -. Lim z)))
127, 11imbi12d 625 . . . . . . . . . 10 |- ((x e. On /\ z e. On) -> ((z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y}) <-> (-. x e. z -> (z e. On /\ -. Lim z))))
1312pm5.74da 585 . . . . . . . . 9 |- (x e. On -> ((z e. On -> (z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y})) <-> (z e. On -> (-. x e. z -> (z e. On /\ -. Lim z)))))
14 visset 1810 . . . . . . . . . . . . 13 |- z e. V
15 limelon 3028 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. V /\ Lim z) -> z e. On)
1614, 15mpan 694 . . . . . . . . . . . 12 |- (Lim z -> z e. On)
1716pm4.71ri 637 . . . . . . . . . . 11 |- (Lim z <-> (z e. On /\ Lim z))
1817imbi1i 186 . . . . . . . . . 10 |- ((Lim z -> x e. z) <-> ((z e. On /\ Lim z) -> x e. z))
19 impexp 347 . . . . . . . . . 10 |- (((z e. On /\ Lim z) -> x e. z) <-> (z e. On -> (Lim z -> x e. z)))
20 ibar 642 . . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. On -> (-. Lim z <-> (z e. On /\ -. Lim z)))
2120imbi2d 611 . . . . . . . . . . . 12 |- (z e. On -> ((-. x e. z -> -. Lim z) <-> (-. x e. z -> (z e. On /\ -. Lim z))))
22 pm4.1 164 . . . . . . . . . . . 12 |- ((Lim z -> x e. z) <-> (-. x e. z -> -. Lim z))
2321, 22syl5bb 531 . . . . . . . . . . 11 |- (z e. On -> ((Lim z -> x e. z) <-> (-. x e. z -> (z e. On /\ -. Lim z))))
2423pm5.74i 583 . . . . . . . . . 10 |- ((z e. On -> (Lim z -> x e. z)) <-> (z e. On -> (-. x e. z -> (z e. On /\ -. Lim z))))
2518, 19, 243bitr 177 . . . . . . . . 9 |- ((Lim z -> x e. z) <-> (z e. On -> (-. x e. z -> (z e. On /\ -. Lim z))))
2613, 25syl6rbbr 538 . . . . . . . 8 |- (x e. On -> ((Lim z -> x e. z) <-> (z e. On -> (z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y}))))
27 pm3.27 323 . . . . . . . . . . 11 |- ((z e. On /\ z e. suc x) -> z e. suc x)
28 suceloni 3058 . . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. On -> suc x e. On)
29 onelon 2968 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ((suc x e. On /\ z e. suc x) -> z e. On)
3029ex 373 . . . . . . . . . . . . 13 |- (suc x e. On -> (z e. suc x -> z e. On))
3128, 30syl 10 . . . . . . . . . . . 12 |- (x e. On -> (z e. suc x -> z e. On))
3231ancrd 299 . . . . . . . . . . 11 |- (x e. On -> (z e. suc x -> (z e. On /\ z e. suc x)))
3327, 32impbid2 517 . . . . . . . . . 10 |- (x e. On -> ((z e. On /\ z e. suc x) <-> z e. suc x))
3433imbi1d 612 . . . . . . . . 9 |- (x e. On -> (((z e. On /\ z e. suc x) -> z e. {y e. On | -. Lim y}) <-> (z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y})))
35 impexp 347 . . . . . . . . 9 |- (((z e. On /\ z e. suc x) -> z e. {y e. On | -. Lim y}) <-> (z e. On -> (z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y})))
3634, 35syl5bbr 533 . . . . . . . 8 |- (x e. On -> ((z e. On -> (z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y})) <-> (z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y})))
3726, 36bitrd 527 . . . . . . 7 |- (x e. On -> ((Lim z -> x e. z) <-> (z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y})))
3837albidv 1277 . . . . . 6 |- (x e. On -> (A.z(Lim z -> x e. z) <-> A.z(z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y})))
39 dfss2 2055 . . . . . 6 |- (suc x (_ {y e. On | -. Lim y} <-> A.z(z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y}))
4038, 39syl6bbr 537 . . . . 5 |- (x e. On -> (A.z(Lim z -> x e. z) <-> suc x (_ {y e. On | -. Lim y}))
4140pm5.32i 644 . . . 4 |- ((x e. On /\ A.z(Lim z -> x e. z)) <-> (x e. On /\ suc x (_ {y e. On | -. Lim y}))
423, 41bitr3 175 . . 3 |- ((Ord x /\ A.z(Lim z -> x e. z)) <-> (x e. On /\ suc x (_ {y e. On | -. Lim y}))
4342abbii 1573 . 2 |- {x | (Ord x /\ A.z(Lim z -> x e. z))} = {x | (x e. On /\ suc x (_ {y e. On | -. Lim y})}
44 df-om 3128 . 2 |- om = {x | (Ord x /\ A.z(Lim z -> x e. z))}
45 df-rab 1650 . 2 |- {x e. On | suc x (_ {y e. On | -. Lim y}} = {x | (x e. On /\ suc x (_ {y e. On | -. Lim y})}
4643, 44, 453eqtr4 1503 1 |- om = {x e. On | suc x (_ {y e. On | -. Lim y}}
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 953   = wceq 955   e. wcel 957  {cab 1462  {crab 1646  Vcvv 1808   (_ wss 2044  Ord word 2943  Oncon0 2944  Lim wlim 2945  suc csuc 2946  omcom 3127
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-rab 1650  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128
Copyright terms: Public domain