Theorem dfom2 3129

Description: An alternate definition of the set of natural numbers om. Definition 7.28 of [TakeutiZaring] p. 42, who use the symbol K_I for the inner class builder of non-limit ordinal numbers (see nlimon 3118).

Assertion

Ref	Expression
dfom2	|- om = {x e. On | suc x (_ {y e. On | -. Lim y}}

Proof of Theorem dfom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1810	. . . . . 6 |- x e. V
2	1	elon 2953	. . . . 5 |- (x e. On <-> Ord x)
3	2	anbi1i 481	. . . 4 |- ((x e. On /\ A.z(Lim z -> x e. z)) <-> (Ord x /\ A.z(Lim z -> x e. z)))
4		onsssuc 3054	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. On /\ x e. On) -> (z (_ x <-> z e. suc x))
5		ontri1 2977	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. On /\ x e. On) -> (z (_ x <-> -. x e. z))
6	4, 5	bitr3d 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z e. On /\ x e. On) -> (z e. suc x <-> -. x e. z))
7	6	ancoms 436	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. On /\ z e. On) -> (z e. suc x <-> -. x e. z))
8		limeq 2956	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y = z -> (Lim y <-> Lim z))
9	8	negbid 610	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y = z -> (-. Lim y <-> -. Lim z))
10	9	elrab 1902	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. {y e. On | -. Lim y} <-> (z e. On /\ -. Lim z))
11	10	a1i 8	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. On /\ z e. On) -> (z e. {y e. On | -. Lim y} <-> (z e. On /\ -. Lim z)))
12	7, 11	imbi12d 625	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. On /\ z e. On) -> ((z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y}) <-> (-. x e. z -> (z e. On /\ -. Lim z))))
13	12	pm5.74da 585	. . . . . . . . 9 |- (x e. On -> ((z e. On -> (z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y})) <-> (z e. On -> (-. x e. z -> (z e. On /\ -. Lim z)))))
14		visset 1810	. . . . . . . . . . . . 13 |- z e. V
15		limelon 3028	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. V /\ Lim z) -> z e. On)
16	14, 15	mpan 694	. . . . . . . . . . . 12 |- (Lim z -> z e. On)
17	16	pm4.71ri 637	. . . . . . . . . . 11 |- (Lim z <-> (z e. On /\ Lim z))
18	17	imbi1i 186	. . . . . . . . . 10 |- ((Lim z -> x e. z) <-> ((z e. On /\ Lim z) -> x e. z))
19		impexp 347	. . . . . . . . . 10 |- (((z e. On /\ Lim z) -> x e. z) <-> (z e. On -> (Lim z -> x e. z)))
20		ibar 642	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. On -> (-. Lim z <-> (z e. On /\ -. Lim z)))
21	20	imbi2d 611	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. On -> ((-. x e. z -> -. Lim z) <-> (-. x e. z -> (z e. On /\ -. Lim z))))
22		pm4.1 164	. . . . . . . . . . . 12 |- ((Lim z -> x e. z) <-> (-. x e. z -> -. Lim z))
23	21, 22	syl5bb 531	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. On -> ((Lim z -> x e. z) <-> (-. x e. z -> (z e. On /\ -. Lim z))))
24	23	pm5.74i 583	. . . . . . . . . 10 |- ((z e. On -> (Lim z -> x e. z)) <-> (z e. On -> (-. x e. z -> (z e. On /\ -. Lim z))))
25	18, 19, 24	3bitr 177	. . . . . . . . 9 |- ((Lim z -> x e. z) <-> (z e. On -> (-. x e. z -> (z e. On /\ -. Lim z))))
26	13, 25	syl6rbbr 538	. . . . . . . 8 |- (x e. On -> ((Lim z -> x e. z) <-> (z e. On -> (z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y}))))
27		pm3.27 323	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. On /\ z e. suc x) -> z e. suc x)
28		suceloni 3058	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. On -> suc x e. On)
29		onelon 2968	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((suc x e. On /\ z e. suc x) -> z e. On)
30	29	ex 373	. . . . . . . . . . . . 13 |- (suc x e. On -> (z e. suc x -> z e. On))
31	28, 30	syl 10	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. On -> (z e. suc x -> z e. On))
32	31	ancrd 299	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. On -> (z e. suc x -> (z e. On /\ z e. suc x)))
33	27, 32	impbid2 517	. . . . . . . . . 10 |- (x e. On -> ((z e. On /\ z e. suc x) <-> z e. suc x))
34	33	imbi1d 612	. . . . . . . . 9 |- (x e. On -> (((z e. On /\ z e. suc x) -> z e. {y e. On | -. Lim y}) <-> (z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y})))
35		impexp 347	. . . . . . . . 9 |- (((z e. On /\ z e. suc x) -> z e. {y e. On | -. Lim y}) <-> (z e. On -> (z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y})))
36	34, 35	syl5bbr 533	. . . . . . . 8 |- (x e. On -> ((z e. On -> (z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y})) <-> (z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y})))
37	26, 36	bitrd 527	. . . . . . 7 |- (x e. On -> ((Lim z -> x e. z) <-> (z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y})))
38	37	albidv 1277	. . . . . 6 |- (x e. On -> (A.z(Lim z -> x e. z) <-> A.z(z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y})))
39		dfss2 2055	. . . . . 6 |- (suc x (_ {y e. On | -. Lim y} <-> A.z(z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y}))
40	38, 39	syl6bbr 537	. . . . 5 |- (x e. On -> (A.z(Lim z -> x e. z) <-> suc x (_ {y e. On | -. Lim y}))
41	40	pm5.32i 644	. . . 4 |- ((x e. On /\ A.z(Lim z -> x e. z)) <-> (x e. On /\ suc x (_ {y e. On | -. Lim y}))
42	3, 41	bitr3 175	. . 3 |- ((Ord x /\ A.z(Lim z -> x e. z)) <-> (x e. On /\ suc x (_ {y e. On | -. Lim y}))
43	42	abbii 1573	. 2 |- {x | (Ord x /\ A.z(Lim z -> x e. z))} = {x | (x e. On /\ suc x (_ {y e. On | -. Lim y})}
44		df-om 3128	. 2 |- om = {x | (Ord x /\ A.z(Lim z -> x e. z))}
45		df-rab 1650	. 2 |- {x e. On | suc x (_ {y e. On | -. Lim y}} = {x | (x e. On /\ suc x (_ {y e. On | -. Lim y})}
46	43, 44, 45	3eqtr4 1503	1 |- om = {x e. On | suc x (_ {y e. On | -. Lim y}}

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 953   = wceq 955   e. wcel 957  {cab 1462  {crab 1646  Vcvv 1808   (_ wss 2044  Ord word 2943  Oncon0 2944  Lim wlim 2945  suc csuc 2946  omcom 3127

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-rab 1650  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128

Copyright terms: Public domain