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Theorem dfom3 7344
Description: The class of natural numbers omega can be defined as the smallest "inductive set," which is valid provided we assume the Axiom of Infinity. Definition 6.3 of [Eisenberg] p. 82. (Contributed by NM, 6-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
dfom3  |-  om  =  |^| { x  |  (
(/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x ) }
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem dfom3
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4151 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
21elintab 3874 . . . 4  |-  ( (/)  e.  |^| { x  |  ( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x
) }  <->  A. x
( ( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x
)  ->  (/)  e.  x
) )
3 simpl 443 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x )  -> 
(/)  e.  x )
42, 3mpgbir 1537 . . 3  |-  (/)  e.  |^| { x  |  ( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x ) }
5 suceq 4456 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  suc  y  =  suc  z )
65eleq1d 2350 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  ( suc  y  e.  x  <->  suc  z  e.  x ) )
76rspccv 2882 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  x  suc  y  e.  x  ->  ( z  e.  x  ->  suc  z  e.  x
) )
87adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
(/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x )  ->  ( z  e.  x  ->  suc  z  e.  x
) )
98a2i 12 . . . . . 6  |-  ( ( ( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x
)  ->  z  e.  x )  ->  (
( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x )  ->  suc  z  e.  x
) )
109alimi 1546 . . . . 5  |-  ( A. x ( ( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  ->  A. x
( ( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x
)  ->  suc  z  e.  x ) )
11 vex 2792 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
1211elintab 3874 . . . . 5  |-  ( z  e.  |^| { x  |  ( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x
) }  <->  A. x
( ( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x
)  ->  z  e.  x ) )
1311sucex 4601 . . . . . 6  |-  suc  z  e.  _V
1413elintab 3874 . . . . 5  |-  ( suc  z  e.  |^| { x  |  ( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x
) }  <->  A. x
( ( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x
)  ->  suc  z  e.  x ) )
1510, 12, 143imtr4i 257 . . . 4  |-  ( z  e.  |^| { x  |  ( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x
) }  ->  suc  z  e.  |^| { x  |  ( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x
) } )
1615rgenw 2611 . . 3  |-  A. z  e.  om  ( z  e. 
|^| { x  |  (
(/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x ) }  ->  suc  z  e.  |^|
{ x  |  (
(/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x ) } )
17 peano5 4678 . . 3  |-  ( (
(/)  e.  |^| { x  |  ( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x
) }  /\  A. z  e.  om  (
z  e.  |^| { x  |  ( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x
) }  ->  suc  z  e.  |^| { x  |  ( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x
) } ) )  ->  om  C_  |^| { x  |  ( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x
) } )
184, 16, 17mp2an 653 . 2  |-  om  C_  |^| { x  |  ( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x
) }
19 peano1 4674 . . . 4  |-  (/)  e.  om
20 peano2 4675 . . . . 5  |-  ( y  e.  om  ->  suc  y  e.  om )
2120rgen 2609 . . . 4  |-  A. y  e.  om  suc  y  e. 
om
22 omex 7340 . . . . . 6  |-  om  e.  _V
23 eleq2 2345 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  om  ->  ( (/) 
e.  x  <->  (/)  e.  om ) )
24 eleq2 2345 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  om  ->  ( suc  y  e.  x  <->  suc  y  e.  om )
)
2524raleqbi1dv 2745 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  om  ->  ( A. y  e.  x  suc  y  e.  x  <->  A. y  e.  om  suc  y  e.  om )
)
2623, 25anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( x  =  om  ->  (
( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x )  <->  (
(/)  e.  om  /\  A. y  e.  om  suc  y  e.  om ) ) )
27 eleq2 2345 . . . . . . 7  |-  ( x  =  om  ->  (
z  e.  x  <->  z  e.  om ) )
2826, 27imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( x  =  om  ->  (
( ( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x
)  ->  z  e.  x )  <->  ( ( (/) 
e.  om  /\  A. y  e.  om  suc  y  e. 
om )  ->  z  e.  om ) ) )
2922, 28spcv 2875 . . . . 5  |-  ( A. x ( ( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  ->  (
( (/)  e.  om  /\  A. y  e.  om  suc  y  e.  om )  ->  z  e.  om )
)
3012, 29sylbi 187 . . . 4  |-  ( z  e.  |^| { x  |  ( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x
) }  ->  (
( (/)  e.  om  /\  A. y  e.  om  suc  y  e.  om )  ->  z  e.  om )
)
3119, 21, 30mp2ani 659 . . 3  |-  ( z  e.  |^| { x  |  ( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x
) }  ->  z  e.  om )
3231ssriv 3185 . 2  |-  |^| { x  |  ( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x
) }  C_  om
3318, 32eqssi 3196 1  |-  om  =  |^| { x  |  (
(/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x ) }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1685   {cab 2270   A.wral 2544    C_ wss 3153   (/)c0 3456   |^|cint 3863   suc csuc 4393   omcom 4655
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7338
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-br 4025  df-opab 4079  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656
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