Theorem dfom3 4554

Description: The class of natural numbers omega can be defined as the smallest "inductive set," which is valid provided we assume the Axiom of Infinity. Definition 6.3 of [Eisenberg] p. 82.

Assertion

Ref	Expression
dfom3	|- om = |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)}

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem dfom3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 2679	. . . . 5 |- (/) e. V
2	1	elintab 2512	. . . 4 |- ((/) e. |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)} <-> A.x(((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x) -> (/) e. x))
3		pm3.26 319	. . . 4 |- (((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x) -> (/) e. x)
4	2, 3	mpgbir 964	. . 3 |- (/) e. |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)}
5		suceq 2997	. . . . . . . . . . 11 |- (y = z -> suc y = suc z)
6	5	eleq1d 1516	. . . . . . . . . 10 |- (y = z -> (suc y e. x <-> suc z e. x))
7	6	rcla4cv 1847	. . . . . . . . 9 |- (A.y e. x suc y e. x -> (z e. x -> suc z e. x))
8	7	adantl 388	. . . . . . . 8 |- (((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x) -> (z e. x -> suc z e. x))
9	8	a2i 9	. . . . . . 7 |- ((((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x) -> z e. x) -> (((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x) -> suc z e. x))
10	9	19.20i 968	. . . . . 6 |- (A.x(((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x) -> z e. x) -> A.x(((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x) -> suc z e. x))
11		visset 1788	. . . . . . 7 |- z e. V
12	11	elintab 2512	. . . . . 6 |- (z e. |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)} <-> A.x(((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x) -> z e. x))
13	11	sucex 3013	. . . . . . 7 |- suc z e. V
14	13	elintab 2512	. . . . . 6 |- (suc z e. |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)} <-> A.x(((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x) -> suc z e. x))
15	10, 12, 14	3imtr4 219	. . . . 5 |- (z e. |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)} -> suc z e. |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)})
16	15	a1i 8	. . . 4 |- (z e. om -> (z e. |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)} -> suc z e. |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)}))
17	16	rgen 1674	. . 3 |- A.z e. om (z e. |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)} -> suc z e. |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)})
18		peano5 3116	. . 3 |- (((/) e. |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)} /\ A.z e. om (z e. |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)} -> suc z e. |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)})) -> om (_ |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)})
19	4, 17, 18	mp2an 694	. 2 |- om (_ |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)}
20		peano1 3112	. . . 4 |- (/) e. om
21		peano2 3113	. . . . 5 |- (y e. om -> suc y e. om)
22	21	rgen 1674	. . . 4 |- A.y e. om suc y e. om
23		omex 4551	. . . . . 6 |- om e. V
24		eleq2 1511	. . . . . . . 8 |- (x = om -> ((/) e. x <-> (/) e. om))
25		eleq2 1511	. . . . . . . . 9 |- (x = om -> (suc y e. x <-> suc y e. om))
26	25	raleqd 1767	. . . . . . . 8 |- (x = om -> (A.y e. x suc y e. x <-> A.y e. om suc y e. om))
27	24, 26	anbi12d 626	. . . . . . 7 |- (x = om -> (((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x) <-> ((/) e. om /\ A.y e. om suc y e. om)))
28		eleq2 1511	. . . . . . 7 |- (x = om -> (z e. x <-> z e. om))
29	27, 28	imbi12d 624	. . . . . 6 |- (x = om -> ((((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x) -> z e. x) <-> (((/) e. om /\ A.y e. om suc y e. om) -> z e. om)))
30	23, 29	cla4v 1841	. . . . 5 |- (A.x(((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x) -> z e. x) -> (((/) e. om /\ A.y e. om suc y e. om) -> z e. om))
31	12, 30	sylbi 199	. . . 4 |- (z e. |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)} -> (((/) e. om /\ A.y e. om suc y e. om) -> z e. om))
32	20, 22, 31	mp2ani 697	. . 3 |- (z e. |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)} -> z e. om)
33	32	ssriv 2040	. 2 |- |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)} (_ om
34	19, 33	eqssi 2049	1 |- om = |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)}

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 950   = wceq 1099   e. wcel 1105  {cab 1440  A.wral 1621   (_ wss 2018  (/)c0 2251  |^|cint 2501  suc csuc 2913  omcom 3094

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830  ax-inf2 4549

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 773  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-ral 1625  df-rex 1626  df-v 1787  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-nul 2252  df-if 2333  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-tp 2386  df-op 2387  df-uni 2472  df-int 2502  df-br 2588  df-opab 2635  df-tr 2649  df-eprel 2794  df-po 2804  df-so 2814  df-fr 2880  df-we 2897  df-ord 2914  df-on 2915  df-lim 2916  df-suc 2917  df-om 3095

Copyright terms: Public domain