Theorem dfom3 4776

Description: The class of natural numbers omega can be defined as the smallest "inductive set," which is valid provided we assume the Axiom of Infinity. Definition 6.3 of [Eisenberg] p. 82.

Assertion

Ref	Expression
dfom3	|- om = |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)}

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem dfom3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 2785	. . . . 5 |- (/) e. V
2	1	elintab 2611	. . . 4 |- ((/) e. |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)} <-> A.x(((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x) -> (/) e. x))
3		pm3.26 317	. . . 4 |- (((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x) -> (/) e. x)
4	2, 3	mpgbir 1024	. . 3 |- (/) e. |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)}
5		suceq 3038	. . . . . . . . . . 11 |- (y = z -> suc y = suc z)
6	5	eleq1d 1583	. . . . . . . . . 10 |- (y = z -> (suc y e. x <-> suc z e. x))
7	6	rcla4cv 1920	. . . . . . . . 9 |- (A.y e. x suc y e. x -> (z e. x -> suc z e. x))
8	7	adantl 388	. . . . . . . 8 |- (((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x) -> (z e. x -> suc z e. x))
9	8	a2i 9	. . . . . . 7 |- ((((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x) -> z e. x) -> (((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x) -> suc z e. x))
10	9	19.20i 1028	. . . . . 6 |- (A.x(((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x) -> z e. x) -> A.x(((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x) -> suc z e. x))
11		visset 1859	. . . . . . 7 |- z e. V
12	11	elintab 2611	. . . . . 6 |- (z e. |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)} <-> A.x(((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x) -> z e. x))
13	11	sucex 3168	. . . . . . 7 |- suc z e. V
14	13	elintab 2611	. . . . . 6 |- (suc z e. |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)} <-> A.x(((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x) -> suc z e. x))
15	10, 12, 14	3imtr4i 217	. . . . 5 |- (z e. |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)} -> suc z e. |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)})
16	15	a1i 8	. . . 4 |- (z e. om -> (z e. |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)} -> suc z e. |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)}))
17	16	rgen 1744	. . 3 |- A.z e. om (z e. |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)} -> suc z e. |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)})
18		peano5 3241	. . 3 |- (((/) e. |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)} /\ A.z e. om (z e. |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)} -> suc z e. |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)})) -> om (_ |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)})
19	4, 17, 18	mp2an 701	. 2 |- om (_ |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)}
20		peano1 3237	. . . 4 |- (/) e. om
21		peano2 3238	. . . . 5 |- (y e. om -> suc y e. om)
22	21	rgen 1744	. . . 4 |- A.y e. om suc y e. om
23		omex 4772	. . . . . 6 |- om e. V
24		eleq2 1578	. . . . . . . 8 |- (x = om -> ((/) e. x <-> (/) e. om))
25		eleq2 1578	. . . . . . . . 9 |- (x = om -> (suc y e. x <-> suc y e. om))
26	25	raleqd 1837	. . . . . . . 8 |- (x = om -> (A.y e. x suc y e. x <-> A.y e. om suc y e. om))
27	24, 26	anbi12d 631	. . . . . . 7 |- (x = om -> (((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x) <-> ((/) e. om /\ A.y e. om suc y e. om)))
28		eleq2 1578	. . . . . . 7 |- (x = om -> (z e. x <-> z e. om))
29	27, 28	imbi12d 629	. . . . . 6 |- (x = om -> ((((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x) -> z e. x) <-> (((/) e. om /\ A.y e. om suc y e. om) -> z e. om)))
30	23, 29	cla4v 1914	. . . . 5 |- (A.x(((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x) -> z e. x) -> (((/) e. om /\ A.y e. om suc y e. om) -> z e. om))
31	12, 30	sylbi 197	. . . 4 |- (z e. |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)} -> (((/) e. om /\ A.y e. om suc y e. om) -> z e. om))
32	20, 22, 31	mp2ani 704	. . 3 |- (z e. |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)} -> z e. om)
33	32	ssriv 2121	. 2 |- |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)} (_ om
34	19, 33	eqssi 2130	1 |- om = |^|{x | ((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)}

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 221  A.wal 990   = wceq 992   e. wcel 994  {cab 1505  A.wral 1691   (_ wss 2099  (/)c0 2332  |^|cint 2600  suc csuc 2977  omcom 3218

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219

Copyright terms: Public domain