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Theorem dfon2lem6 25399
Description: Lemma for dfon2 25403. A transitive class of sets satisfying the new definition satisfies the new definition. (Contributed by Scott Fenton, 25-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
dfon2lem6  |-  ( ( Tr  S  /\  A. x  e.  S  A. z ( ( z 
C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x ) )  ->  A. y ( ( y 
C.  S  /\  Tr  y )  ->  y  e.  S ) )
Distinct variable group:    x, S, y, z

Proof of Theorem dfon2lem6
Dummy variables  w  s  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pssss 3434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y 
C.  S  ->  y  C_  S )
2 ssralv 3399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y 
C_  S  ->  ( A. x  e.  S  A. z ( ( z 
C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x )  ->  A. x  e.  y  A. z
( ( z  C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x
) ) )
31, 2syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y 
C.  S  ->  ( A. x  e.  S  A. z ( ( z 
C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x )  ->  A. x  e.  y  A. z
( ( z  C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x
) ) )
43impcom 420 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. x  e.  S  A. z ( ( z 
C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x )  /\  y  C.  S )  ->  A. x  e.  y  A. z
( ( z  C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x
) )
54adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. x  e.  S  A. z ( ( z 
C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x )  /\  (
y  C.  S  /\  Tr  y ) )  ->  A. x  e.  y  A. z ( ( z 
C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x ) )
65ad2ant2lr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Tr  S  /\  A. x  e.  S  A. z ( ( z 
C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x ) )  /\  ( ( y  C.  S  /\  Tr  y )  /\  s  e.  ( S  \  y ) ) )  ->  A. x  e.  y  A. z
( ( z  C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x
) )
7 psseq2 3427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  w  ->  (
z  C.  x  <->  z  C.  w ) )
87anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  w  ->  (
( z  C.  x  /\  Tr  z )  <->  ( z  C.  w  /\  Tr  z
) ) )
9 elequ2 1730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  w  ->  (
z  e.  x  <->  z  e.  w ) )
108, 9imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  (
( ( z  C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x
)  <->  ( ( z 
C.  w  /\  Tr  z )  ->  z  e.  w ) ) )
1110albidv 1635 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  ( A. z ( ( z 
C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x )  <->  A. z
( ( z  C.  w  /\  Tr  z )  ->  z  e.  w
) ) )
1211rspccv 3041 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  y  A. z ( ( z 
C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x )  ->  (
w  e.  y  ->  A. z ( ( z 
C.  w  /\  Tr  z )  ->  z  e.  w ) ) )
136, 12syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Tr  S  /\  A. x  e.  S  A. z ( ( z 
C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x ) )  /\  ( ( y  C.  S  /\  Tr  y )  /\  s  e.  ( S  \  y ) ) )  ->  (
w  e.  y  ->  A. z ( ( z 
C.  w  /\  Tr  z )  ->  z  e.  w ) ) )
1413imp 419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Tr  S  /\  A. x  e.  S  A. z ( ( z 
C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x ) )  /\  ( ( y  C.  S  /\  Tr  y )  /\  s  e.  ( S  \  y ) ) )  /\  w  e.  y )  ->  A. z
( ( z  C.  w  /\  Tr  z )  ->  z  e.  w
) )
15 eldifi 3461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  ( S  \ 
y )  ->  s  e.  S )
16 psseq2 3427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  s  ->  (
z  C.  x  <->  z  C.  s ) )
1716anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  s  ->  (
( z  C.  x  /\  Tr  z )  <->  ( z  C.  s  /\  Tr  z
) ) )
18 elequ2 1730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  s  ->  (
z  e.  x  <->  z  e.  s ) )
1917, 18imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  s  ->  (
( ( z  C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x
)  <->  ( ( z 
C.  s  /\  Tr  z )  ->  z  e.  s ) ) )
2019albidv 1635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  s  ->  ( A. z ( ( z 
C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x )  <->  A. z
( ( z  C.  s  /\  Tr  z )  ->  z  e.  s ) ) )
2120rspcv 3040 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  A. z ( ( z 
C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x )  ->  A. z
( ( z  C.  s  /\  Tr  z )  ->  z  e.  s ) ) )
2215, 21syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  ( S  \ 
y )  ->  ( A. x  e.  S  A. z ( ( z 
C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x )  ->  A. z
( ( z  C.  s  /\  Tr  z )  ->  z  e.  s ) ) )
23 psseq1 3426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  t  ->  (
z  C.  s  <->  t  C.  s ) )
24 treq 4300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  t  ->  ( Tr  z  <->  Tr  t )
)
2523, 24anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  t  ->  (
( z  C.  s  /\  Tr  z )  <->  ( t  C.  s  /\  Tr  t
) ) )
26 elequ1 1728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  t  ->  (
z  e.  s  <->  t  e.  s ) )
2725, 26imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  t  ->  (
( ( z  C.  s  /\  Tr  z )  ->  z  e.  s )  <->  ( ( t 
C.  s  /\  Tr  t )  ->  t  e.  s ) ) )
2827cbvalv 1984 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. z ( ( z 
C.  s  /\  Tr  z )  ->  z  e.  s )  <->  A. t
( ( t  C.  s  /\  Tr  t )  ->  t  e.  s ) )
2922, 28syl6ib 218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  ( S  \ 
y )  ->  ( A. x  e.  S  A. z ( ( z 
C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x )  ->  A. t
( ( t  C.  s  /\  Tr  t )  ->  t  e.  s ) ) )
3029impcom 420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. x  e.  S  A. z ( ( z 
C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x )  /\  s  e.  ( S  \  y
) )  ->  A. t
( ( t  C.  s  /\  Tr  t )  ->  t  e.  s ) )
3130ad2ant2l 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Tr  S  /\  A. x  e.  S  A. z ( ( z 
C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x ) )  /\  ( ( y  C.  S  /\  Tr  y )  /\  s  e.  ( S  \  y ) ) )  ->  A. t
( ( t  C.  s  /\  Tr  t )  ->  t  e.  s ) )
3231adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Tr  S  /\  A. x  e.  S  A. z ( ( z 
C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x ) )  /\  ( ( y  C.  S  /\  Tr  y )  /\  s  e.  ( S  \  y ) ) )  /\  w  e.  y )  ->  A. t
( ( t  C.  s  /\  Tr  t )  ->  t  e.  s ) )
33 vex 2951 . . . . . . . . . . . . 13  |-  w  e. 
_V
34 vex 2951 . . . . . . . . . . . . 13  |-  s  e. 
_V
3533, 34dfon2lem5 25398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. z ( ( z  C.  w  /\  Tr  z )  ->  z  e.  w )  /\  A. t ( ( t 
C.  s  /\  Tr  t )  ->  t  e.  s ) )  -> 
( w  e.  s  \/  w  =  s  \/  s  e.  w
) )
36 3orrot 942 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  s  \/  w  =  s  \/  s  e.  w )  <-> 
( w  =  s  \/  s  e.  w  \/  w  e.  s
) )
37 3orass 939 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  =  s  \/  s  e.  w  \/  w  e.  s )  <-> 
( w  =  s  \/  ( s  e.  w  \/  w  e.  s ) ) )
3836, 37bitri 241 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  s  \/  w  =  s  \/  s  e.  w )  <-> 
( w  =  s  \/  ( s  e.  w  \/  w  e.  s ) ) )
39 eleq1a 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  ( S  \ 
y )  ->  (
w  =  s  ->  w  e.  ( S  \  y ) ) )
40 elndif 3463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  y  ->  -.  w  e.  ( S  \  y ) )
4139, 40nsyli 135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  ( S  \ 
y )  ->  (
w  e.  y  ->  -.  w  =  s
) )
4241imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( s  e.  ( S 
\  y )  /\  w  e.  y )  ->  -.  w  =  s )
4342adantll 695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  C.  S  /\  Tr  y )  /\  s  e.  ( S  \  y ) )  /\  w  e.  y )  ->  -.  w  =  s )
4443adantll 695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Tr  S  /\  A. x  e.  S  A. z ( ( z 
C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x ) )  /\  ( ( y  C.  S  /\  Tr  y )  /\  s  e.  ( S  \  y ) ) )  /\  w  e.  y )  ->  -.  w  =  s )
45 orel1 372 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  w  =  s  -> 
( ( w  =  s  \/  ( s  e.  w  \/  w  e.  s ) )  -> 
( s  e.  w  \/  w  e.  s
) ) )
46 trss 4303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Tr  y  ->  ( w  e.  y  ->  w  C_  y ) )
47 eldifn 3462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  ( S  \ 
y )  ->  -.  s  e.  y )
48 ssel 3334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w 
C_  y  ->  (
s  e.  w  -> 
s  e.  y ) )
4948con3d 127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w 
C_  y  ->  ( -.  s  e.  y  ->  -.  s  e.  w
) )
5047, 49syl5com 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  e.  ( S  \ 
y )  ->  (
w  C_  y  ->  -.  s  e.  w ) )
5146, 50syl9 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Tr  y  ->  ( s  e.  ( S  \  y
)  ->  ( w  e.  y  ->  -.  s  e.  w ) ) )
5251adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  C.  S  /\  Tr  y )  ->  (
s  e.  ( S 
\  y )  -> 
( w  e.  y  ->  -.  s  e.  w ) ) )
5352imp31 422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  C.  S  /\  Tr  y )  /\  s  e.  ( S  \  y ) )  /\  w  e.  y )  ->  -.  s  e.  w )
5453adantll 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Tr  S  /\  A. x  e.  S  A. z ( ( z 
C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x ) )  /\  ( ( y  C.  S  /\  Tr  y )  /\  s  e.  ( S  \  y ) ) )  /\  w  e.  y )  ->  -.  s  e.  w )
55 orel1 372 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  s  e.  w  -> 
( ( s  e.  w  \/  w  e.  s )  ->  w  e.  s ) )
5654, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Tr  S  /\  A. x  e.  S  A. z ( ( z 
C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x ) )  /\  ( ( y  C.  S  /\  Tr  y )  /\  s  e.  ( S  \  y ) ) )  /\  w  e.  y )  ->  (
( s  e.  w  \/  w  e.  s
)  ->  w  e.  s ) )
5745, 56syl9r 69 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Tr  S  /\  A. x  e.  S  A. z ( ( z 
C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x ) )  /\  ( ( y  C.  S  /\  Tr  y )  /\  s  e.  ( S  \  y ) ) )  /\  w  e.  y )  ->  ( -.  w  =  s  ->  ( ( w  =  s  \/  ( s  e.  w  \/  w  e.  s ) )  ->  w  e.  s )
) )
5844, 57mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( Tr  S  /\  A. x  e.  S  A. z ( ( z 
C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x ) )  /\  ( ( y  C.  S  /\  Tr  y )  /\  s  e.  ( S  \  y ) ) )  /\  w  e.  y )  ->  (
( w  =  s  \/  ( s  e.  w  \/  w  e.  s ) )  ->  w  e.  s )
)
5938, 58syl5bi 209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Tr  S  /\  A. x  e.  S  A. z ( ( z 
C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x ) )  /\  ( ( y  C.  S  /\  Tr  y )  /\  s  e.  ( S  \  y ) ) )  /\  w  e.  y )  ->  (
( w  e.  s  \/  w  =  s  \/  s  e.  w
)  ->  w  e.  s ) )
6035, 59syl5 30 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Tr  S  /\  A. x  e.  S  A. z ( ( z 
C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x ) )  /\  ( ( y  C.  S  /\  Tr  y )  /\  s  e.  ( S  \  y ) ) )  /\  w  e.  y )  ->  (
( A. z ( ( z  C.  w  /\  Tr  z )  -> 
z  e.  w )  /\  A. t ( ( t  C.  s  /\  Tr  t )  -> 
t  e.  s ) )  ->  w  e.  s ) )
6114, 32, 60mp2and 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Tr  S  /\  A. x  e.  S  A. z ( ( z 
C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x ) )  /\  ( ( y  C.  S  /\  Tr  y )  /\  s  e.  ( S  \  y ) ) )  /\  w  e.  y )  ->  w  e.  s )
6261ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Tr  S  /\  A. x  e.  S  A. z ( ( z 
C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x ) )  /\  ( ( y  C.  S  /\  Tr  y )  /\  s  e.  ( S  \  y ) ) )  ->  (
w  e.  y  ->  w  e.  s )
)
6362ssrdv 3346 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Tr  S  /\  A. x  e.  S  A. z ( ( z 
C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x ) )  /\  ( ( y  C.  S  /\  Tr  y )  /\  s  e.  ( S  \  y ) ) )  ->  y  C_  s )
64 dfpss2 3424 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
C.  s  <->  ( y  C_  s  /\  -.  y  =  s ) )
65 psseq1 3426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  y  ->  (
z  C.  s  <->  y  C.  s ) )
66 treq 4300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  y  ->  ( Tr  z  <->  Tr  y )
)
6765, 66anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  y  ->  (
( z  C.  s  /\  Tr  z )  <->  ( y  C.  s  /\  Tr  y
) ) )
68 elequ1 1728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  s  <->  y  e.  s ) )
6967, 68imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  y  ->  (
( ( z  C.  s  /\  Tr  z )  ->  z  e.  s )  <->  ( ( y 
C.  s  /\  Tr  y )  ->  y  e.  s ) ) )
7069spv 1965 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. z ( ( z 
C.  s  /\  Tr  z )  ->  z  e.  s )  ->  (
( y  C.  s  /\  Tr  y )  -> 
y  e.  s ) )
7170exp3a 426 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. z ( ( z 
C.  s  /\  Tr  z )  ->  z  e.  s )  ->  (
y  C.  s  ->  ( Tr  y  ->  y  e.  s ) ) )
7271com23 74 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. z ( ( z 
C.  s  /\  Tr  z )  ->  z  e.  s )  ->  ( Tr  y  ->  ( y 
C.  s  ->  y  e.  s ) ) )
7322, 72syl6 31 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  ( S  \ 
y )  ->  ( A. x  e.  S  A. z ( ( z 
C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x )  ->  ( Tr  y  ->  ( y 
C.  s  ->  y  e.  s ) ) ) )
7473com3l 77 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  S  A. z ( ( z 
C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x )  ->  ( Tr  y  ->  ( s  e.  ( S  \ 
y )  ->  (
y  C.  s  ->  y  e.  s ) ) ) )
7574adantld 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  S  A. z ( ( z 
C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x )  ->  (
( y  C.  S  /\  Tr  y )  -> 
( s  e.  ( S  \  y )  ->  ( y  C.  s  ->  y  e.  s ) ) ) )
7675adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Tr  S  /\  A. x  e.  S  A. z ( ( z 
C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x ) )  -> 
( ( y  C.  S  /\  Tr  y )  ->  ( s  e.  ( S  \  y
)  ->  ( y  C.  s  ->  y  e.  s ) ) ) )
7776imp32 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Tr  S  /\  A. x  e.  S  A. z ( ( z 
C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x ) )  /\  ( ( y  C.  S  /\  Tr  y )  /\  s  e.  ( S  \  y ) ) )  ->  (
y  C.  s  ->  y  e.  s ) )
7864, 77syl5bir 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Tr  S  /\  A. x  e.  S  A. z ( ( z 
C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x ) )  /\  ( ( y  C.  S  /\  Tr  y )  /\  s  e.  ( S  \  y ) ) )  ->  (
( y  C_  s  /\  -.  y  =  s )  ->  y  e.  s ) )
7963, 78mpand 657 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Tr  S  /\  A. x  e.  S  A. z ( ( z 
C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x ) )  /\  ( ( y  C.  S  /\  Tr  y )  /\  s  e.  ( S  \  y ) ) )  ->  ( -.  y  =  s  ->  y  e.  s ) )
8079orrd 368 . . . . . 6  |-  ( ( ( Tr  S  /\  A. x  e.  S  A. z ( ( z 
C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x ) )  /\  ( ( y  C.  S  /\  Tr  y )  /\  s  e.  ( S  \  y ) ) )  ->  (
y  =  s  \/  y  e.  s ) )
8180anassrs 630 . . . . 5  |-  ( ( ( ( Tr  S  /\  A. x  e.  S  A. z ( ( z 
C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x ) )  /\  ( y  C.  S  /\  Tr  y ) )  /\  s  e.  ( S  \  y ) )  ->  ( y  =  s  \/  y  e.  s ) )
8281ralrimiva 2781 . . . 4  |-  ( ( ( Tr  S  /\  A. x  e.  S  A. z ( ( z 
C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x ) )  /\  ( y  C.  S  /\  Tr  y ) )  ->  A. s  e.  ( S  \  y ) ( y  =  s  \/  y  e.  s ) )
83 pssdif 3682 . . . . . . 7  |-  ( y 
C.  S  ->  ( S  \  y )  =/=  (/) )
84 r19.2z 3709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  \  y
)  =/=  (/)  /\  A. s  e.  ( S  \  y ) ( y  =  s  \/  y  e.  s ) )  ->  E. s  e.  ( S  \  y ) ( y  =  s  \/  y  e.  s ) )
8584ex 424 . . . . . . 7  |-  ( ( S  \  y )  =/=  (/)  ->  ( A. s  e.  ( S  \  y ) ( y  =  s  \/  y  e.  s )  ->  E. s  e.  ( S  \  y
) ( y  =  s  \/  y  e.  s ) ) )
8683, 85syl 16 . . . . . 6  |-  ( y 
C.  S  ->  ( A. s  e.  ( S  \  y ) ( y  =  s  \/  y  e.  s )  ->  E. s  e.  ( S  \  y ) ( y  =  s  \/  y  e.  s ) ) )
8786ad2antrl 709 . . . . 5  |-  ( ( ( Tr  S  /\  A. x  e.  S  A. z ( ( z 
C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x ) )  /\  ( y  C.  S  /\  Tr  y ) )  ->  ( A. s  e.  ( S  \  y
) ( y  =  s  \/  y  e.  s )  ->  E. s  e.  ( S  \  y
) ( y  =  s  \/  y  e.  s ) ) )
88 eleq1 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  s  ->  (
y  e.  S  <->  s  e.  S ) )
8915, 88syl5ibr 213 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  s  ->  (
s  e.  ( S 
\  y )  -> 
y  e.  S ) )
9089a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Tr  S  /\  A. x  e.  S  A. z ( ( z 
C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x ) )  /\  ( y  C.  S  /\  Tr  y ) )  ->  ( y  =  s  ->  ( s  e.  ( S  \  y
)  ->  y  e.  S ) ) )
91 trel 4301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Tr  S  ->  ( (
y  e.  s  /\  s  e.  S )  ->  y  e.  S ) )
9291exp3a 426 . . . . . . . . . 10  |-  ( Tr  S  ->  ( y  e.  s  ->  ( s  e.  S  ->  y  e.  S ) ) )
9315, 92syl7 65 . . . . . . . . 9  |-  ( Tr  S  ->  ( y  e.  s  ->  ( s  e.  ( S  \ 
y )  ->  y  e.  S ) ) )
9493ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Tr  S  /\  A. x  e.  S  A. z ( ( z 
C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x ) )  /\  ( y  C.  S  /\  Tr  y ) )  ->  ( y  e.  s  ->  ( s  e.  ( S  \  y
)  ->  y  e.  S ) ) )
9590, 94jaod 370 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Tr  S  /\  A. x  e.  S  A. z ( ( z 
C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x ) )  /\  ( y  C.  S  /\  Tr  y ) )  ->  ( ( y  =  s  \/  y  e.  s )  ->  (
s  e.  ( S 
\  y )  -> 
y  e.  S ) ) )
9695com23 74 . . . . . 6  |-  ( ( ( Tr  S  /\  A. x  e.  S  A. z ( ( z 
C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x ) )  /\  ( y  C.  S  /\  Tr  y ) )  ->  ( s  e.  ( S  \  y
)  ->  ( (
y  =  s  \/  y  e.  s )  ->  y  e.  S
) ) )
9796rexlimdv 2821 . . . . 5  |-  ( ( ( Tr  S  /\  A. x  e.  S  A. z ( ( z 
C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x ) )  /\  ( y  C.  S  /\  Tr  y ) )  ->  ( E. s  e.  ( S  \  y
) ( y  =  s  \/  y  e.  s )  ->  y  e.  S ) )
9887, 97syld 42 . . . 4  |-  ( ( ( Tr  S  /\  A. x  e.  S  A. z ( ( z 
C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x ) )  /\  ( y  C.  S  /\  Tr  y ) )  ->  ( A. s  e.  ( S  \  y
) ( y  =  s  \/  y  e.  s )  ->  y  e.  S ) )
9982, 98mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( Tr  S  /\  A. x  e.  S  A. z ( ( z 
C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x ) )  /\  ( y  C.  S  /\  Tr  y ) )  ->  y  e.  S
)
10099ex 424 . 2  |-  ( ( Tr  S  /\  A. x  e.  S  A. z ( ( z 
C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x ) )  -> 
( ( y  C.  S  /\  Tr  y )  ->  y  e.  S
) )
101100alrimiv 1641 1  |-  ( ( Tr  S  /\  A. x  e.  S  A. z ( ( z 
C.  x  /\  Tr  z )  ->  z  e.  x ) )  ->  A. y ( ( y 
C.  S  /\  Tr  y )  ->  y  e.  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    \/ w3o 935   A.wal 1549    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698    \ cdif 3309    C_ wss 3312    C. wpss 3313   (/)c0 3620   Tr wtr 4294
This theorem is referenced by:  dfon2lem7  25400  dfon2lem8  25401
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395  ax-un 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-uni 4008  df-iun 4087  df-tr 4295  df-suc 4579
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