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Theorem dfrdg2 24152
Description: Alternate definition of the recursive function generator when  I is a set. (Contributed by Scott Fenton, 26-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
dfrdg2  |-  ( I  e.  V  ->  rec ( F ,  I )  =  U. { f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  I ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) } )
Distinct variable groups:    f, F, x, y    f, I, x, y
Allowed substitution hints:    V( x, y, f)

Proof of Theorem dfrdg2
Dummy variables  g 
i  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rdgeq2 6425 . . 3  |-  ( i  =  I  ->  rec ( F ,  i )  =  rec ( F ,  I ) )
2 ifeq1 3569 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  I  ->  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) )  =  if ( y  =  (/) ,  I ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) )
32eqeq2d 2294 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  I  ->  (
( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) )  <->  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  I ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
43ralbidv 2563 . . . . . . 7  |-  ( i  =  I  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) )  <->  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  I ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) )
54anbi2d 684 . . . . . 6  |-  ( i  =  I  ->  (
( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) )  <->  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  I ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) ) )
65rexbidv 2564 . . . . 5  |-  ( i  =  I  ->  ( E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) )  <->  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  I ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) ) )
76abbidv 2397 . . . 4  |-  ( i  =  I  ->  { f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) }  =  { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  I ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) } )
87unieqd 3838 . . 3  |-  ( i  =  I  ->  U. {
f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) }  =  U. { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  I ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) } )
91, 8eqeq12d 2297 . 2  |-  ( i  =  I  ->  ( rec ( F ,  i )  =  U. {
f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) }  <->  rec ( F ,  I )  =  U. { f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  I ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) } ) )
10 df-rdg 6423 . . 3  |-  rec ( F ,  i )  = recs ( ( g  e. 
_V  |->  if ( g  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  dom  g ,  U. ran  g ,  ( F `  ( g `  U. dom  g ) ) ) ) ) )
11 df-recs 6388 . . 3  |- recs ( ( g  e.  _V  |->  if ( g  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  dom  g ,  U. ran  g ,  ( F `  ( g `
 U. dom  g
) ) ) ) ) )  =  U. { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( ( g  e.  _V  |->  if ( g  =  (/) ,  i ,  if ( Lim 
dom  g ,  U. ran  g ,  ( F `
 ( g `  U. dom  g ) ) ) ) ) `  ( f  |`  y
) ) ) }
12 vex 2791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  f  e. 
_V
1312resex 4995 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  |`  y )  e.  _V
14 eqeq1 2289 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  ( f  |`  y )  ->  (
g  =  (/)  <->  ( f  |`  y )  =  (/) ) )
15 relres 4983 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  Rel  (
f  |`  y )
16 reldm0 4896 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Rel  ( f  |`  y
)  ->  ( (
f  |`  y )  =  (/) 
<->  dom  ( f  |`  y )  =  (/) ) )
1715, 16ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  |`  y )  =  (/)  <->  dom  ( f  |`  y )  =  (/) )
1814, 17syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( f  |`  y )  ->  (
g  =  (/)  <->  dom  ( f  |`  y )  =  (/) ) )
19 dmeq 4879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  ( f  |`  y )  ->  dom  g  =  dom  ( f  |`  y ) )
20 limeq 4404 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( dom  g  =  dom  (
f  |`  y )  -> 
( Lim  dom  g  <->  Lim  dom  (
f  |`  y ) ) )
2119, 20syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  ( f  |`  y )  ->  ( Lim  dom  g  <->  Lim  dom  (
f  |`  y ) ) )
22 rneq 4904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  ( f  |`  y )  ->  ran  g  =  ran  ( f  |`  y ) )
23 df-ima 4702 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f
" y )  =  ran  ( f  |`  y )
2422, 23syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  ( f  |`  y )  ->  ran  g  =  ( f " y ) )
2524unieqd 3838 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  ( f  |`  y )  ->  U. ran  g  =  U. (
f " y ) )
26 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  ( f  |`  y )  ->  g  =  ( f  |`  y ) )
2719unieqd 3838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  ( f  |`  y )  ->  U. dom  g  =  U. dom  (
f  |`  y ) )
2826, 27fveq12d 5531 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  ( f  |`  y )  ->  (
g `  U. dom  g
)  =  ( ( f  |`  y ) `  U. dom  ( f  |`  y ) ) )
2928fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  ( f  |`  y )  ->  ( F `  ( g `  U. dom  g ) )  =  ( F `
 ( ( f  |`  y ) `  U. dom  ( f  |`  y
) ) ) )
3021, 25, 29ifbieq12d 3587 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( f  |`  y )  ->  if ( Lim  dom  g ,  U. ran  g ,  ( F `  ( g `
 U. dom  g
) ) )  =  if ( Lim  dom  ( f  |`  y
) ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( ( f  |`  y ) `  U. dom  ( f  |`  y
) ) ) ) )
3118, 30ifbieq2d 3585 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( f  |`  y )  ->  if ( g  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  dom  g ,  U. ran  g ,  ( F `  ( g `
 U. dom  g
) ) ) )  =  if ( dom  ( f  |`  y
)  =  (/) ,  i ,  if ( Lim 
dom  ( f  |`  y ) ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  y ) `  U. dom  ( f  |`  y
) ) ) ) ) )
32 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  e.  _V  |->  if ( g  =  (/) ,  i ,  if ( Lim 
dom  g ,  U. ran  g ,  ( F `
 ( g `  U. dom  g ) ) ) ) )  =  ( g  e.  _V  |->  if ( g  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  dom  g ,  U. ran  g ,  ( F `  ( g `
 U. dom  g
) ) ) ) )
33 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  i  e. 
_V
34 imaexg 5026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  e.  _V  ->  (
f " y )  e.  _V )
3512, 34ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f
" y )  e. 
_V
3635uniex 4516 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. (
f " y )  e.  _V
37 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 ( ( f  |`  y ) `  U. dom  ( f  |`  y
) ) )  e. 
_V
3836, 37ifex 3623 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( Lim  dom  ( f  |`  y ) ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  y ) `  U. dom  ( f  |`  y
) ) ) )  e.  _V
3933, 38ifex 3623 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( dom  ( f  |`  y )  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  dom  ( f  |`  y ) ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  y ) `  U. dom  ( f  |`  y
) ) ) ) )  e.  _V
4031, 32, 39fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  |`  y )  e.  _V  ->  ( (
g  e.  _V  |->  if ( g  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  dom  g ,  U. ran  g ,  ( F `  ( g `
 U. dom  g
) ) ) ) ) `  ( f  |`  y ) )  =  if ( dom  (
f  |`  y )  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  dom  ( f  |`  y ) ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  y ) `  U. dom  ( f  |`  y
) ) ) ) ) )
4113, 40ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  e.  _V  |->  if ( g  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  dom  g ,  U. ran  g ,  ( F `  ( g `
 U. dom  g
) ) ) ) ) `  ( f  |`  y ) )  =  if ( dom  (
f  |`  y )  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  dom  ( f  |`  y ) ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  y ) `  U. dom  ( f  |`  y
) ) ) ) )
42 dmres 4976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  (
f  |`  y )  =  ( y  i^i  dom  f )
43 onelss 4434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  On  ->  (
y  e.  x  -> 
y  C_  x )
)
4443imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  y  C_  x )
45443adant2 974 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  On  /\  f  Fn  x  /\  y  e.  x )  ->  y  C_  x )
46 fndm 5343 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  Fn  x  ->  dom  f  =  x )
47463ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  On  /\  f  Fn  x  /\  y  e.  x )  ->  dom  f  =  x )
4845, 47sseqtr4d 3215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  On  /\  f  Fn  x  /\  y  e.  x )  ->  y  C_  dom  f )
49 df-ss 3166 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y 
C_  dom  f  <->  ( y  i^i  dom  f )  =  y )
5048, 49sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  On  /\  f  Fn  x  /\  y  e.  x )  ->  ( y  i^i  dom  f )  =  y )
5142, 50syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  On  /\  f  Fn  x  /\  y  e.  x )  ->  dom  ( f  |`  y )  =  y )
52 eqeq1 2289 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom  ( f  |`  y
)  =  y  -> 
( dom  ( f  |`  y )  =  (/)  <->  y  =  (/) ) )
53 limeq 4404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( dom  ( f  |`  y
)  =  y  -> 
( Lim  dom  ( f  |`  y )  <->  Lim  y ) )
54 unieq 3836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( dom  ( f  |`  y
)  =  y  ->  U. dom  ( f  |`  y )  =  U. y )
5554fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( dom  ( f  |`  y
)  =  y  -> 
( ( f  |`  y ) `  U. dom  ( f  |`  y
) )  =  ( ( f  |`  y
) `  U. y ) )
5655fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( dom  ( f  |`  y
)  =  y  -> 
( F `  (
( f  |`  y
) `  U. dom  (
f  |`  y ) ) )  =  ( F `
 ( ( f  |`  y ) `  U. y ) ) )
5753, 56ifbieq2d 3585 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom  ( f  |`  y
)  =  y  ->  if ( Lim  dom  (
f  |`  y ) , 
U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( ( f  |`  y ) `  U. dom  ( f  |`  y ) ) ) )  =  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  y ) `  U. y ) ) ) )
5852, 57ifbieq2d 3585 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( dom  ( f  |`  y
)  =  y  ->  if ( dom  ( f  |`  y )  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  dom  ( f  |`  y ) ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  y ) `  U. dom  ( f  |`  y
) ) ) ) )  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( ( f  |`  y ) `  U. y ) ) ) ) )
59 onelon 4417 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  On )
60 eloni 4402 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  On  ->  Ord  y )
6159, 60syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  Ord  y )
62613adant2 974 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  On  /\  f  Fn  x  /\  y  e.  x )  ->  Ord  y )
63 ordzsl 4636 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Ord  y  <->  ( y  =  (/)  \/  E. z  e.  On  y  =  suc  z  \/  Lim  y ) )
64 iftrue 3571 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  (/)  ->  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( ( f  |`  y ) `  U. y ) ) ) )  =  i )
65 iftrue 3571 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  (/)  ->  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) )  =  i )
6664, 65eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  (/)  ->  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( ( f  |`  y ) `  U. y ) ) ) )  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) )
67 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  z  e. 
_V
6867sucid 4471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  z  e. 
suc  z
69 fvres 5542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  suc  z  -> 
( ( f  |`  suc  z ) `  z
)  =  ( f `
 z ) )
7068, 69ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( f  |`  suc  z ) `
 z )  =  ( f `  z
)
71 eloni 4402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  On  ->  Ord  z )
72 ordunisuc 4623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Ord  z  ->  U. suc  z  =  z )
7371, 72syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  On  ->  U. suc  z  =  z )
7473fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  On  ->  (
( f  |`  suc  z
) `  U. suc  z
)  =  ( ( f  |`  suc  z ) `
 z ) )
7573fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  On  ->  (
f `  U. suc  z
)  =  ( f `
 z ) )
7670, 74, 753eqtr4a 2341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  On  ->  (
( f  |`  suc  z
) `  U. suc  z
)  =  ( f `
 U. suc  z
) )
7776fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  On  ->  ( F `  ( (
f  |`  suc  z ) `
 U. suc  z
) )  =  ( F `  ( f `
 U. suc  z
) ) )
78 nsuceq0 4472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  suc  z  =/=  (/)
79 df-ne 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( suc  z  =/=  (/)  <->  -.  suc  z  =  (/) )
8078, 79mpbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  -.  suc  z  =  (/)
81 iffalse 3572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -. 
suc  z  =  (/)  ->  if ( suc  z  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  suc  z ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( ( f  |`  suc  z ) `  U. suc  z ) ) ) )  =  if ( Lim  suc  z ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  suc  z ) `  U. suc  z ) ) ) )
8280, 81ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  if ( suc  z  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  suc  z ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  suc  z ) `  U. suc  z ) ) ) )  =  if ( Lim  suc  z ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( ( f  |`  suc  z ) `
 U. suc  z
) ) )
83 nlimsucg 4633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  _V  ->  -.  Lim  suc  z )
84 iffalse 3572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -. 
Lim  suc  z  ->  if ( Lim  suc  z ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  suc  z ) `  U. suc  z ) ) )  =  ( F `
 ( ( f  |`  suc  z ) `  U. suc  z ) ) )
8567, 83, 84mp2b 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  if ( Lim  suc  z ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  suc  z ) `  U. suc  z ) ) )  =  ( F `
 ( ( f  |`  suc  z ) `  U. suc  z ) )
8682, 85eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  if ( suc  z  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  suc  z ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  suc  z ) `  U. suc  z ) ) ) )  =  ( F `  ( ( f  |`  suc  z ) `
 U. suc  z
) )
87 iffalse 3572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -. 
suc  z  =  (/)  ->  if ( suc  z  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  suc  z ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( f `  U. suc  z ) ) ) )  =  if ( Lim  suc  z ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. suc  z ) ) ) )
8880, 87ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  if ( suc  z  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  suc  z ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. suc  z ) ) ) )  =  if ( Lim  suc  z ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. suc  z
) ) )
89 iffalse 3572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -. 
Lim  suc  z  ->  if ( Lim  suc  z ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. suc  z ) ) )  =  ( F `
 ( f `  U. suc  z ) ) )
9067, 83, 89mp2b 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  if ( Lim  suc  z ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. suc  z ) ) )  =  ( F `
 ( f `  U. suc  z ) )
9188, 90eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  if ( suc  z  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  suc  z ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. suc  z ) ) ) )  =  ( F `  ( f `
 U. suc  z
) )
9277, 86, 913eqtr4g 2340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  On  ->  if ( suc  z  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  suc  z ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  suc  z ) `  U. suc  z ) ) ) )  =  if ( suc  z  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  suc  z ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. suc  z ) ) ) ) )
93 eqeq1 2289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( y  =  (/)  <->  suc  z  =  (/) ) )
94 limeq 4404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( Lim  y  <->  Lim  suc  z
) )
95 reseq2 4950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( f  |`  y
)  =  ( f  |`  suc  z ) )
96 unieq 3836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =  suc  z  ->  U. y  =  U. suc  z )
9795, 96fveq12d 5531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( ( f  |`  y ) `  U. y )  =  ( ( f  |`  suc  z
) `  U. suc  z
) )
9897fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( F `  (
( f  |`  y
) `  U. y ) )  =  ( F `
 ( ( f  |`  suc  z ) `  U. suc  z ) ) )
9994, 98ifbieq2d 3585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  suc  z  ->  if ( Lim  y , 
U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( ( f  |`  y ) `  U. y ) ) )  =  if ( Lim  suc  z ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  suc  z ) `  U. suc  z ) ) ) )
10093, 99ifbieq2d 3585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  suc  z  ->  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  y ) `  U. y ) ) ) )  =  if ( suc  z  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  suc  z ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  suc  z ) `  U. suc  z ) ) ) ) )
10196fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( f `  U. y )  =  ( f `  U. suc  z ) )
102101fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( F `  (
f `  U. y ) )  =  ( F `
 ( f `  U. suc  z ) ) )
10394, 102ifbieq2d 3585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  suc  z  ->  if ( Lim  y , 
U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) )  =  if ( Lim  suc  z ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. suc  z
) ) ) )
10493, 103ifbieq2d 3585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  suc  z  ->  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) )  =  if ( suc  z  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  suc  z ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. suc  z ) ) ) ) )
105100, 104eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( ( f  |`  y ) `  U. y ) ) ) )  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) )  <->  if ( suc  z  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  suc  z ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( ( f  |`  suc  z ) `  U. suc  z ) ) ) )  =  if ( suc  z  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  suc  z ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. suc  z ) ) ) ) ) )
10692, 105syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  On  ->  (
y  =  suc  z  ->  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  y ) `  U. y ) ) ) )  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
107106rexlimiv 2661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. z  e.  On  y  =  suc  z  ->  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  y ) `  U. y ) ) ) )  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) )
108 iftrue 3571 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Lim  y  ->  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( ( f  |`  y ) `  U. y ) ) )  =  U. ( f
" y ) )
109 df-lim 4397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Lim  y  <->  ( Ord  y  /\  y  =/=  (/)  /\  y  =  U. y ) )
110109simp2bi 971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Lim  y  ->  y  =/=  (/) )
111110neneqd 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Lim  y  ->  -.  y  =  (/) )
112 iffalse 3572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  y  =  (/)  ->  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  y ) `  U. y ) ) ) )  =  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  y ) `  U. y ) ) ) )
113111, 112syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Lim  y  ->  if (
y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( ( f  |`  y ) `  U. y ) ) ) )  =  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  y ) `  U. y ) ) ) )
114 iftrue 3571 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Lim  y  ->  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( f `  U. y ) ) )  =  U. ( f
" y ) )
115108, 113, 1143eqtr4d 2325 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Lim  y  ->  if (
y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( ( f  |`  y ) `  U. y ) ) ) )  =  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) )
116 iffalse 3572 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  y  =  (/)  ->  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) )  =  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) )
117111, 116syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Lim  y  ->  if (
y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) )  =  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) )
118115, 117eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Lim  y  ->  if (
y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( ( f  |`  y ) `  U. y ) ) ) )  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) )
11966, 107, 1183jaoi 1245 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  =  (/)  \/  E. z  e.  On  y  =  suc  z  \/  Lim  y )  ->  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  y ) `  U. y ) ) ) )  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) )
12063, 119sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ord  y  ->  if (
y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( ( f  |`  y ) `  U. y ) ) ) )  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) )
12162, 120syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  On  /\  f  Fn  x  /\  y  e.  x )  ->  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  y ) `  U. y ) ) ) )  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) )
12258, 121sylan9eqr 2337 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  f  Fn  x  /\  y  e.  x )  /\  dom  ( f  |`  y )  =  y )  ->  if ( dom  ( f  |`  y
)  =  (/) ,  i ,  if ( Lim 
dom  ( f  |`  y ) ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  y ) `  U. dom  ( f  |`  y
) ) ) ) )  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) )
12351, 122mpdan 649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  On  /\  f  Fn  x  /\  y  e.  x )  ->  if ( dom  (
f  |`  y )  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  dom  ( f  |`  y ) ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  y ) `  U. dom  ( f  |`  y
) ) ) ) )  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) )
12441, 123syl5eq 2327 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  On  /\  f  Fn  x  /\  y  e.  x )  ->  ( ( g  e. 
_V  |->  if ( g  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  dom  g ,  U. ran  g ,  ( F `  ( g `  U. dom  g ) ) ) ) ) `  (
f  |`  y ) )  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) )
125124eqeq2d 2294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  On  /\  f  Fn  x  /\  y  e.  x )  ->  ( ( f `  y )  =  ( ( g  e.  _V  |->  if ( g  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  dom  g ,  U. ran  g ,  ( F `  ( g `
 U. dom  g
) ) ) ) ) `  ( f  |`  y ) )  <->  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
1261253expa 1151 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  f  Fn  x )  /\  y  e.  x
)  ->  ( (
f `  y )  =  ( ( g  e.  _V  |->  if ( g  =  (/) ,  i ,  if ( Lim 
dom  g ,  U. ran  g ,  ( F `
 ( g `  U. dom  g ) ) ) ) ) `  ( f  |`  y
) )  <->  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
127126ralbidva 2559 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  On  /\  f  Fn  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( ( g  e.  _V  |->  if ( g  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  dom  g ,  U. ran  g ,  ( F `  ( g `
 U. dom  g
) ) ) ) ) `  ( f  |`  y ) )  <->  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
128127pm5.32da 622 . . . . . 6  |-  ( x  e.  On  ->  (
( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( ( g  e.  _V  |->  if ( g  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  dom  g ,  U. ran  g ,  ( F `  ( g `
 U. dom  g
) ) ) ) ) `  ( f  |`  y ) ) )  <-> 
( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) ) ) )
129128rexbiia 2576 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( ( g  e.  _V  |->  if ( g  =  (/) ,  i ,  if ( Lim 
dom  g ,  U. ran  g ,  ( F `
 ( g `  U. dom  g ) ) ) ) ) `  ( f  |`  y
) ) )  <->  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
130129abbii 2395 . . . 4  |-  { f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( ( g  e.  _V  |->  if ( g  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  dom  g ,  U. ran  g ,  ( F `  ( g `
 U. dom  g
) ) ) ) ) `  ( f  |`  y ) ) ) }  =  { f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) }
131130unieqi 3837 . . 3  |-  U. {
f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( ( g  e.  _V  |->  if ( g  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  dom  g ,  U. ran  g ,  ( F `  ( g `
 U. dom  g
) ) ) ) ) `  ( f  |`  y ) ) ) }  =  U. {
f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) }
13210, 11, 1313eqtri 2307 . 2  |-  rec ( F ,  i )  =  U. { f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) ) }
1339, 132vtoclg 2843 1  |-  ( I  e.  V  ->  rec ( F ,  I )  =  U. { f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  I ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    \/ w3o 933    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ifcif 3565   U.cuni 3827    e. cmpt 4077   Ord word 4391   Oncon0 4392   Lim wlim 4393   suc csuc 4394   dom cdm 4689   ran crn 4690    |` cres 4691   "cima 4692   Rel wrel 4694    Fn wfn 5250   ` cfv 5255  recscrecs 6387   reccrdg 6422
This theorem is referenced by:  dfrdg3  24153
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-recs 6388  df-rdg 6423
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