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Theorem dfrdg2 25423
Description: Alternate definition of the recursive function generator when  I is a set. (Contributed by Scott Fenton, 26-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
dfrdg2  |-  ( I  e.  V  ->  rec ( F ,  I )  =  U. { f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  I ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) } )
Distinct variable groups:    f, F, x, y    f, I, x, y
Allowed substitution hints:    V( x, y, f)

Proof of Theorem dfrdg2
Dummy variables  g 
i  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rdgeq2 6670 . . 3  |-  ( i  =  I  ->  rec ( F ,  i )  =  rec ( F ,  I ) )
2 ifeq1 3743 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  I  ->  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) )  =  if ( y  =  (/) ,  I ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) )
32eqeq2d 2447 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  I  ->  (
( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) )  <->  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  I ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
43ralbidv 2725 . . . . . . 7  |-  ( i  =  I  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) )  <->  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  I ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) )
54anbi2d 685 . . . . . 6  |-  ( i  =  I  ->  (
( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) )  <->  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  I ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) ) )
65rexbidv 2726 . . . . 5  |-  ( i  =  I  ->  ( E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) )  <->  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  I ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) ) )
76abbidv 2550 . . . 4  |-  ( i  =  I  ->  { f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) }  =  { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  I ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) } )
87unieqd 4026 . . 3  |-  ( i  =  I  ->  U. {
f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) }  =  U. { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  I ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) } )
91, 8eqeq12d 2450 . 2  |-  ( i  =  I  ->  ( rec ( F ,  i )  =  U. {
f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) }  <->  rec ( F ,  I )  =  U. { f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  I ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) } ) )
10 df-rdg 6668 . . 3  |-  rec ( F ,  i )  = recs ( ( g  e. 
_V  |->  if ( g  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  dom  g ,  U. ran  g ,  ( F `  ( g `  U. dom  g ) ) ) ) ) )
11 df-recs 6633 . . 3  |- recs ( ( g  e.  _V  |->  if ( g  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  dom  g ,  U. ran  g ,  ( F `  ( g `
 U. dom  g
) ) ) ) ) )  =  U. { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( ( g  e.  _V  |->  if ( g  =  (/) ,  i ,  if ( Lim 
dom  g ,  U. ran  g ,  ( F `
 ( g `  U. dom  g ) ) ) ) ) `  ( f  |`  y
) ) ) }
12 vex 2959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  f  e. 
_V
1312resex 5186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  |`  y )  e.  _V
14 eqeq1 2442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  ( f  |`  y )  ->  (
g  =  (/)  <->  ( f  |`  y )  =  (/) ) )
15 relres 5174 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  Rel  (
f  |`  y )
16 reldm0 5087 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Rel  ( f  |`  y
)  ->  ( (
f  |`  y )  =  (/) 
<->  dom  ( f  |`  y )  =  (/) ) )
1715, 16ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  |`  y )  =  (/)  <->  dom  ( f  |`  y )  =  (/) )
1814, 17syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( f  |`  y )  ->  (
g  =  (/)  <->  dom  ( f  |`  y )  =  (/) ) )
19 dmeq 5070 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  ( f  |`  y )  ->  dom  g  =  dom  ( f  |`  y ) )
20 limeq 4593 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( dom  g  =  dom  (
f  |`  y )  -> 
( Lim  dom  g  <->  Lim  dom  (
f  |`  y ) ) )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  ( f  |`  y )  ->  ( Lim  dom  g  <->  Lim  dom  (
f  |`  y ) ) )
22 rneq 5095 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  ( f  |`  y )  ->  ran  g  =  ran  ( f  |`  y ) )
23 df-ima 4891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f
" y )  =  ran  ( f  |`  y )
2422, 23syl6eqr 2486 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  ( f  |`  y )  ->  ran  g  =  ( f " y ) )
2524unieqd 4026 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  ( f  |`  y )  ->  U. ran  g  =  U. (
f " y ) )
26 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  ( f  |`  y )  ->  g  =  ( f  |`  y ) )
2719unieqd 4026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  ( f  |`  y )  ->  U. dom  g  =  U. dom  (
f  |`  y ) )
2826, 27fveq12d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  ( f  |`  y )  ->  (
g `  U. dom  g
)  =  ( ( f  |`  y ) `  U. dom  ( f  |`  y ) ) )
2928fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  ( f  |`  y )  ->  ( F `  ( g `  U. dom  g ) )  =  ( F `
 ( ( f  |`  y ) `  U. dom  ( f  |`  y
) ) ) )
3021, 25, 29ifbieq12d 3761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( f  |`  y )  ->  if ( Lim  dom  g ,  U. ran  g ,  ( F `  ( g `
 U. dom  g
) ) )  =  if ( Lim  dom  ( f  |`  y
) ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( ( f  |`  y ) `  U. dom  ( f  |`  y
) ) ) ) )
3118, 30ifbieq2d 3759 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( f  |`  y )  ->  if ( g  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  dom  g ,  U. ran  g ,  ( F `  ( g `
 U. dom  g
) ) ) )  =  if ( dom  ( f  |`  y
)  =  (/) ,  i ,  if ( Lim 
dom  ( f  |`  y ) ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  y ) `  U. dom  ( f  |`  y
) ) ) ) ) )
32 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  e.  _V  |->  if ( g  =  (/) ,  i ,  if ( Lim 
dom  g ,  U. ran  g ,  ( F `
 ( g `  U. dom  g ) ) ) ) )  =  ( g  e.  _V  |->  if ( g  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  dom  g ,  U. ran  g ,  ( F `  ( g `
 U. dom  g
) ) ) ) )
33 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  i  e. 
_V
34 imaexg 5217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  e.  _V  ->  (
f " y )  e.  _V )
3512, 34ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f
" y )  e. 
_V
3635uniex 4705 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. (
f " y )  e.  _V
37 fvex 5742 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 ( ( f  |`  y ) `  U. dom  ( f  |`  y
) ) )  e. 
_V
3836, 37ifex 3797 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( Lim  dom  ( f  |`  y ) ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  y ) `  U. dom  ( f  |`  y
) ) ) )  e.  _V
3933, 38ifex 3797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( dom  ( f  |`  y )  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  dom  ( f  |`  y ) ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  y ) `  U. dom  ( f  |`  y
) ) ) ) )  e.  _V
4031, 32, 39fvmpt 5806 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  |`  y )  e.  _V  ->  ( (
g  e.  _V  |->  if ( g  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  dom  g ,  U. ran  g ,  ( F `  ( g `
 U. dom  g
) ) ) ) ) `  ( f  |`  y ) )  =  if ( dom  (
f  |`  y )  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  dom  ( f  |`  y ) ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  y ) `  U. dom  ( f  |`  y
) ) ) ) ) )
4113, 40ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  e.  _V  |->  if ( g  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  dom  g ,  U. ran  g ,  ( F `  ( g `
 U. dom  g
) ) ) ) ) `  ( f  |`  y ) )  =  if ( dom  (
f  |`  y )  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  dom  ( f  |`  y ) ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  y ) `  U. dom  ( f  |`  y
) ) ) ) )
42 dmres 5167 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  (
f  |`  y )  =  ( y  i^i  dom  f )
43 onelss 4623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  On  ->  (
y  e.  x  -> 
y  C_  x )
)
4443imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  y  C_  x )
45443adant2 976 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  On  /\  f  Fn  x  /\  y  e.  x )  ->  y  C_  x )
46 fndm 5544 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  Fn  x  ->  dom  f  =  x )
47463ad2ant2 979 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  On  /\  f  Fn  x  /\  y  e.  x )  ->  dom  f  =  x )
4845, 47sseqtr4d 3385 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  On  /\  f  Fn  x  /\  y  e.  x )  ->  y  C_  dom  f )
49 df-ss 3334 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y 
C_  dom  f  <->  ( y  i^i  dom  f )  =  y )
5048, 49sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  On  /\  f  Fn  x  /\  y  e.  x )  ->  ( y  i^i  dom  f )  =  y )
5142, 50syl5eq 2480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  On  /\  f  Fn  x  /\  y  e.  x )  ->  dom  ( f  |`  y )  =  y )
52 eqeq1 2442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom  ( f  |`  y
)  =  y  -> 
( dom  ( f  |`  y )  =  (/)  <->  y  =  (/) ) )
53 limeq 4593 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( dom  ( f  |`  y
)  =  y  -> 
( Lim  dom  ( f  |`  y )  <->  Lim  y ) )
54 unieq 4024 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( dom  ( f  |`  y
)  =  y  ->  U. dom  ( f  |`  y )  =  U. y )
5554fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( dom  ( f  |`  y
)  =  y  -> 
( ( f  |`  y ) `  U. dom  ( f  |`  y
) )  =  ( ( f  |`  y
) `  U. y ) )
5655fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( dom  ( f  |`  y
)  =  y  -> 
( F `  (
( f  |`  y
) `  U. dom  (
f  |`  y ) ) )  =  ( F `
 ( ( f  |`  y ) `  U. y ) ) )
5753, 56ifbieq2d 3759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom  ( f  |`  y
)  =  y  ->  if ( Lim  dom  (
f  |`  y ) , 
U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( ( f  |`  y ) `  U. dom  ( f  |`  y ) ) ) )  =  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  y ) `  U. y ) ) ) )
5852, 57ifbieq2d 3759 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( dom  ( f  |`  y
)  =  y  ->  if ( dom  ( f  |`  y )  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  dom  ( f  |`  y ) ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  y ) `  U. dom  ( f  |`  y
) ) ) ) )  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( ( f  |`  y ) `  U. y ) ) ) ) )
59 onelon 4606 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  On )
60 eloni 4591 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  On  ->  Ord  y )
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  Ord  y )
62613adant2 976 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  On  /\  f  Fn  x  /\  y  e.  x )  ->  Ord  y )
63 ordzsl 4825 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Ord  y  <->  ( y  =  (/)  \/  E. z  e.  On  y  =  suc  z  \/  Lim  y ) )
64 iftrue 3745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  (/)  ->  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( ( f  |`  y ) `  U. y ) ) ) )  =  i )
65 iftrue 3745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  (/)  ->  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) )  =  i )
6664, 65eqtr4d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  (/)  ->  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( ( f  |`  y ) `  U. y ) ) ) )  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) )
67 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  z  e. 
_V
6867sucid 4660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  z  e. 
suc  z
69 fvres 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  suc  z  -> 
( ( f  |`  suc  z ) `  z
)  =  ( f `
 z ) )
7068, 69ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( f  |`  suc  z ) `
 z )  =  ( f `  z
)
71 eloni 4591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  On  ->  Ord  z )
72 ordunisuc 4812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Ord  z  ->  U. suc  z  =  z )
7371, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  On  ->  U. suc  z  =  z )
7473fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  On  ->  (
( f  |`  suc  z
) `  U. suc  z
)  =  ( ( f  |`  suc  z ) `
 z ) )
7573fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  On  ->  (
f `  U. suc  z
)  =  ( f `
 z ) )
7670, 74, 753eqtr4a 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  On  ->  (
( f  |`  suc  z
) `  U. suc  z
)  =  ( f `
 U. suc  z
) )
7776fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  On  ->  ( F `  ( (
f  |`  suc  z ) `
 U. suc  z
) )  =  ( F `  ( f `
 U. suc  z
) ) )
78 nsuceq0 4661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  suc  z  =/=  (/)
79 df-ne 2601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( suc  z  =/=  (/)  <->  -.  suc  z  =  (/) )
8078, 79mpbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  -.  suc  z  =  (/)
81 iffalse 3746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -. 
suc  z  =  (/)  ->  if ( suc  z  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  suc  z ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( ( f  |`  suc  z ) `  U. suc  z ) ) ) )  =  if ( Lim  suc  z ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  suc  z ) `  U. suc  z ) ) ) )
8280, 81ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  if ( suc  z  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  suc  z ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  suc  z ) `  U. suc  z ) ) ) )  =  if ( Lim  suc  z ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( ( f  |`  suc  z ) `
 U. suc  z
) ) )
83 nlimsucg 4822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  _V  ->  -.  Lim  suc  z )
84 iffalse 3746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -. 
Lim  suc  z  ->  if ( Lim  suc  z ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  suc  z ) `  U. suc  z ) ) )  =  ( F `
 ( ( f  |`  suc  z ) `  U. suc  z ) ) )
8567, 83, 84mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  if ( Lim  suc  z ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  suc  z ) `  U. suc  z ) ) )  =  ( F `
 ( ( f  |`  suc  z ) `  U. suc  z ) )
8682, 85eqtri 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  if ( suc  z  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  suc  z ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  suc  z ) `  U. suc  z ) ) ) )  =  ( F `  ( ( f  |`  suc  z ) `
 U. suc  z
) )
87 iffalse 3746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -. 
suc  z  =  (/)  ->  if ( suc  z  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  suc  z ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( f `  U. suc  z ) ) ) )  =  if ( Lim  suc  z ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. suc  z ) ) ) )
8880, 87ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  if ( suc  z  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  suc  z ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. suc  z ) ) ) )  =  if ( Lim  suc  z ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. suc  z
) ) )
89 iffalse 3746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -. 
Lim  suc  z  ->  if ( Lim  suc  z ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. suc  z ) ) )  =  ( F `
 ( f `  U. suc  z ) ) )
9067, 83, 89mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  if ( Lim  suc  z ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. suc  z ) ) )  =  ( F `
 ( f `  U. suc  z ) )
9188, 90eqtri 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  if ( suc  z  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  suc  z ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. suc  z ) ) ) )  =  ( F `  ( f `
 U. suc  z
) )
9277, 86, 913eqtr4g 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  On  ->  if ( suc  z  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  suc  z ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  suc  z ) `  U. suc  z ) ) ) )  =  if ( suc  z  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  suc  z ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. suc  z ) ) ) ) )
93 eqeq1 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( y  =  (/)  <->  suc  z  =  (/) ) )
94 limeq 4593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( Lim  y  <->  Lim  suc  z
) )
95 reseq2 5141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( f  |`  y
)  =  ( f  |`  suc  z ) )
96 unieq 4024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =  suc  z  ->  U. y  =  U. suc  z )
9795, 96fveq12d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( ( f  |`  y ) `  U. y )  =  ( ( f  |`  suc  z
) `  U. suc  z
) )
9897fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( F `  (
( f  |`  y
) `  U. y ) )  =  ( F `
 ( ( f  |`  suc  z ) `  U. suc  z ) ) )
9994, 98ifbieq2d 3759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  suc  z  ->  if ( Lim  y , 
U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( ( f  |`  y ) `  U. y ) ) )  =  if ( Lim  suc  z ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  suc  z ) `  U. suc  z ) ) ) )
10093, 99ifbieq2d 3759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  suc  z  ->  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  y ) `  U. y ) ) ) )  =  if ( suc  z  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  suc  z ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  suc  z ) `  U. suc  z ) ) ) ) )
10196fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( f `  U. y )  =  ( f `  U. suc  z ) )
102101fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( F `  (
f `  U. y ) )  =  ( F `
 ( f `  U. suc  z ) ) )
10394, 102ifbieq2d 3759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  suc  z  ->  if ( Lim  y , 
U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) )  =  if ( Lim  suc  z ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. suc  z
) ) ) )
10493, 103ifbieq2d 3759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  suc  z  ->  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) )  =  if ( suc  z  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  suc  z ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. suc  z ) ) ) ) )
105100, 104eqeq12d 2450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( ( f  |`  y ) `  U. y ) ) ) )  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) )  <->  if ( suc  z  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  suc  z ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( ( f  |`  suc  z ) `  U. suc  z ) ) ) )  =  if ( suc  z  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  suc  z ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. suc  z ) ) ) ) ) )
10692, 105syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  On  ->  (
y  =  suc  z  ->  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  y ) `  U. y ) ) ) )  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
107106rexlimiv 2824 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. z  e.  On  y  =  suc  z  ->  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  y ) `  U. y ) ) ) )  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) )
108 iftrue 3745 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Lim  y  ->  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( ( f  |`  y ) `  U. y ) ) )  =  U. ( f
" y ) )
109 df-lim 4586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Lim  y  <->  ( Ord  y  /\  y  =/=  (/)  /\  y  =  U. y ) )
110109simp2bi 973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Lim  y  ->  y  =/=  (/) )
111110neneqd 2617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Lim  y  ->  -.  y  =  (/) )
112 iffalse 3746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  y  =  (/)  ->  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  y ) `  U. y ) ) ) )  =  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  y ) `  U. y ) ) ) )
113111, 112syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Lim  y  ->  if (
y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( ( f  |`  y ) `  U. y ) ) ) )  =  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  y ) `  U. y ) ) ) )
114 iftrue 3745 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Lim  y  ->  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( f `  U. y ) ) )  =  U. ( f
" y ) )
115108, 113, 1143eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Lim  y  ->  if (
y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( ( f  |`  y ) `  U. y ) ) ) )  =  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) )
116 iffalse 3746 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  y  =  (/)  ->  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) )  =  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) )
117111, 116syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Lim  y  ->  if (
y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) )  =  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) )
118115, 117eqtr4d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Lim  y  ->  if (
y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( ( f  |`  y ) `  U. y ) ) ) )  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) )
11966, 107, 1183jaoi 1247 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  =  (/)  \/  E. z  e.  On  y  =  suc  z  \/  Lim  y )  ->  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  y ) `  U. y ) ) ) )  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) )
12063, 119sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ord  y  ->  if (
y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( ( f  |`  y ) `  U. y ) ) ) )  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) )
12162, 120syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  On  /\  f  Fn  x  /\  y  e.  x )  ->  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  y ) `  U. y ) ) ) )  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) )
12258, 121sylan9eqr 2490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  f  Fn  x  /\  y  e.  x )  /\  dom  ( f  |`  y )  =  y )  ->  if ( dom  ( f  |`  y
)  =  (/) ,  i ,  if ( Lim 
dom  ( f  |`  y ) ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  y ) `  U. dom  ( f  |`  y
) ) ) ) )  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) )
12351, 122mpdan 650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  On  /\  f  Fn  x  /\  y  e.  x )  ->  if ( dom  (
f  |`  y )  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  dom  ( f  |`  y ) ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( ( f  |`  y ) `  U. dom  ( f  |`  y
) ) ) ) )  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) )
12441, 123syl5eq 2480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  On  /\  f  Fn  x  /\  y  e.  x )  ->  ( ( g  e. 
_V  |->  if ( g  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  dom  g ,  U. ran  g ,  ( F `  ( g `  U. dom  g ) ) ) ) ) `  (
f  |`  y ) )  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) )
125124eqeq2d 2447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  On  /\  f  Fn  x  /\  y  e.  x )  ->  ( ( f `  y )  =  ( ( g  e.  _V  |->  if ( g  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  dom  g ,  U. ran  g ,  ( F `  ( g `
 U. dom  g
) ) ) ) ) `  ( f  |`  y ) )  <->  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
1261253expa 1153 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  f  Fn  x )  /\  y  e.  x
)  ->  ( (
f `  y )  =  ( ( g  e.  _V  |->  if ( g  =  (/) ,  i ,  if ( Lim 
dom  g ,  U. ran  g ,  ( F `
 ( g `  U. dom  g ) ) ) ) ) `  ( f  |`  y
) )  <->  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
127126ralbidva 2721 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  On  /\  f  Fn  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( ( g  e.  _V  |->  if ( g  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  dom  g ,  U. ran  g ,  ( F `  ( g `
 U. dom  g
) ) ) ) ) `  ( f  |`  y ) )  <->  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
128127pm5.32da 623 . . . . . 6  |-  ( x  e.  On  ->  (
( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( ( g  e.  _V  |->  if ( g  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  dom  g ,  U. ran  g ,  ( F `  ( g `
 U. dom  g
) ) ) ) ) `  ( f  |`  y ) ) )  <-> 
( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) ) ) )
129128rexbiia 2738 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( ( g  e.  _V  |->  if ( g  =  (/) ,  i ,  if ( Lim 
dom  g ,  U. ran  g ,  ( F `
 ( g `  U. dom  g ) ) ) ) ) `  ( f  |`  y
) ) )  <->  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
130129abbii 2548 . . . 4  |-  { f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( ( g  e.  _V  |->  if ( g  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  dom  g ,  U. ran  g ,  ( F `  ( g `
 U. dom  g
) ) ) ) ) `  ( f  |`  y ) ) ) }  =  { f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) }
131130unieqi 4025 . . 3  |-  U. {
f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( ( g  e.  _V  |->  if ( g  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  dom  g ,  U. ran  g ,  ( F `  ( g `
 U. dom  g
) ) ) ) ) `  ( f  |`  y ) ) ) }  =  U. {
f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) }
13210, 11, 1313eqtri 2460 . 2  |-  rec ( F ,  i )  =  U. { f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  i ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) ) }
1339, 132vtoclg 3011 1  |-  ( I  e.  V  ->  rec ( F ,  I )  =  U. { f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  I ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    \/ w3o 935    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2422    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ifcif 3739   U.cuni 4015    e. cmpt 4266   Ord word 4580   Oncon0 4581   Lim wlim 4582   suc csuc 4583   dom cdm 4878   ran crn 4879    |` cres 4880   "cima 4881   Rel wrel 4883    Fn wfn 5449   ` cfv 5454  recscrecs 6632   reccrdg 6667
This theorem is referenced by:  dfrdg3  25424
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-fv 5462  df-recs 6633  df-rdg 6668
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