MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfrel2 Unicode version

Theorem dfrel2 5077
Description: Alternate definition of relation. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 29-Dec-1996.)
Assertion
Ref Expression
dfrel2  |-  ( Rel 
R  <->  `' `' R  =  R
)

Proof of Theorem dfrel2
StepHypRef Expression
1 relcnv 5004 . . 3  |-  Rel  `' `' R
2 vex 2743 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
3 vex 2743 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
42, 3opelcnv 4816 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' `' R  <->  <. y ,  x >.  e.  `' R )
53, 2opelcnv 4816 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  x >.  e.  `' R  <->  <. x ,  y
>.  e.  R )
64, 5bitri 242 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' `' R  <->  <. x ,  y
>.  e.  R )
76eqrelriv 4733 . . 3  |-  ( ( Rel  `' `' R  /\  Rel  R )  ->  `' `' R  =  R
)
81, 7mpan 654 . 2  |-  ( Rel 
R  ->  `' `' R  =  R )
9 releq 4724 . . 3  |-  ( `' `' R  =  R  ->  ( Rel  `' `' R 
<->  Rel  R ) )
101, 9mpbii 204 . 2  |-  ( `' `' R  =  R  ->  Rel  R )
118, 10impbii 182 1  |-  ( Rel 
R  <->  `' `' R  =  R
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    = wceq 1619    e. wcel 1621   <.cop 3584   `'ccnv 4625   Rel wrel 4631
This theorem is referenced by:  dfrel4v  5078  cnvcnv  5079  cnveqb  5082  dfrel3  5083  cnvcnvres  5088  cnvsn  5107  cores2  5137  co01  5139  coi2  5141  relcnvtr  5144  relcnvexb  5162  funcnvres2  5226  f1cnvcnv  5348  f1ocnv  5388  f1ocnvb  5389  f1ococnv1  5405  isores1  5730  cnvf1o  6116  fnwelem  6129  tposf12  6158  ssenen  6968  cantnffval2  7330  fsumcnv  12166  structcnvcnv  13086  imasless  13369  oppcinv  13605  cnvps  14248  cnvpsb  14249  cnvtsr  14258  gimcnv  14658  lmimcnv  15747  hmeocnv  17380  hmeocnvb  17392  cmphaushmeo  17418  pi1xfrcnv  18482  dvlog  19925  efopnlem2  19931  relexprel  23368  twsymr  24409  dupre2  24576  mxlmnl2  24602  supwval  24616  f1ocan2fv  25727  ltrncnvnid  29446
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pr 4152
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-rab 2523  df-v 2742  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-br 3964  df-opab 4018  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642
  Copyright terms: Public domain W3C validator