MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfrel2 Unicode version

Theorem dfrel2 5112
Description: Alternate definition of relation. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 29-Dec-1996.)
Assertion
Ref Expression
dfrel2  |-  ( Rel 
R  <->  `' `' R  =  R
)

Proof of Theorem dfrel2
StepHypRef Expression
1 relcnv 5039 . . 3  |-  Rel  `' `' R
2 vex 2766 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
3 vex 2766 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
42, 3opelcnv 4851 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' `' R  <->  <. y ,  x >.  e.  `' R )
53, 2opelcnv 4851 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  x >.  e.  `' R  <->  <. x ,  y
>.  e.  R )
64, 5bitri 242 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' `' R  <->  <. x ,  y
>.  e.  R )
76eqrelriv 4768 . . 3  |-  ( ( Rel  `' `' R  /\  Rel  R )  ->  `' `' R  =  R
)
81, 7mpan 654 . 2  |-  ( Rel 
R  ->  `' `' R  =  R )
9 releq 4759 . . 3  |-  ( `' `' R  =  R  ->  ( Rel  `' `' R 
<->  Rel  R ) )
101, 9mpbii 204 . 2  |-  ( `' `' R  =  R  ->  Rel  R )
118, 10impbii 182 1  |-  ( Rel 
R  <->  `' `' R  =  R
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    = wceq 1619    e. wcel 1621   <.cop 3617   `'ccnv 4660   Rel wrel 4666
This theorem is referenced by:  dfrel4v  5113  cnvcnv  5114  cnveqb  5117  dfrel3  5118  cnvcnvres  5123  cnvsn  5142  cores2  5172  co01  5174  coi2  5176  relcnvtr  5179  relcnvexb  5197  funcnvres2  5261  f1cnvcnv  5383  f1ocnv  5423  f1ocnvb  5424  f1ococnv1  5440  isores1  5765  cnvf1o  6151  fnwelem  6164  tposf12  6193  ssenen  7003  cantnffval2  7365  fsumcnv  12202  structcnvcnv  13122  imasless  13405  oppcinv  13641  cnvps  14284  cnvpsb  14285  cnvtsr  14294  gimcnv  14694  lmimcnv  15783  hmeocnv  17416  hmeocnvb  17428  cmphaushmeo  17454  pi1xfrcnv  18518  dvlog  19961  efopnlem2  19967  relexprel  23404  twsymr  24445  dupre2  24612  mxlmnl2  24638  supwval  24652  f1ocan2fv  25763  ltrncnvnid  29566
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pr 4186
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-rab 2527  df-v 2765  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-br 3998  df-opab 4052  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677
  Copyright terms: Public domain W3C validator