MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfrel2 Unicode version

Theorem dfrel2 5031
Description: Alternate definition of relation. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 29-Dec-1996.)
Assertion
Ref Expression
dfrel2  |-  ( Rel 
R  <->  `' `' R  =  R
)

Proof of Theorem dfrel2
StepHypRef Expression
1 relcnv 4958 . . 3  |-  Rel  `' `' R
2 vex 2730 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
3 vex 2730 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
42, 3opelcnv 4770 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' `' R  <->  <. y ,  x >.  e.  `' R )
53, 2opelcnv 4770 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  x >.  e.  `' R  <->  <. x ,  y
>.  e.  R )
64, 5bitri 242 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' `' R  <->  <. x ,  y
>.  e.  R )
76eqrelriv 4687 . . 3  |-  ( ( Rel  `' `' R  /\  Rel  R )  ->  `' `' R  =  R
)
81, 7mpan 654 . 2  |-  ( Rel 
R  ->  `' `' R  =  R )
9 releq 4678 . . 3  |-  ( `' `' R  =  R  ->  ( Rel  `' `' R 
<->  Rel  R ) )
101, 9mpbii 204 . 2  |-  ( `' `' R  =  R  ->  Rel  R )
118, 10impbii 182 1  |-  ( Rel 
R  <->  `' `' R  =  R
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    = wceq 1619    e. wcel 1621   <.cop 3547   `'ccnv 4579   Rel wrel 4585
This theorem is referenced by:  dfrel4v  5032  cnvcnv  5033  cnveqb  5036  dfrel3  5037  cnvcnvres  5042  cnvsn  5061  cores2  5091  co01  5093  coi2  5095  relcnvtr  5098  relcnvexb  5116  funcnvres2  5180  f1cnvcnv  5302  f1ocnv  5342  f1ocnvb  5343  f1ococnv1  5359  isores1  5683  cnvf1o  6069  fnwelem  6082  tposf12  6111  ssenen  6920  cantnffval2  7281  fsumcnv  12113  structcnvcnv  13033  imasless  13316  oppcinv  13522  cnvps  14156  cnvpsb  14157  cnvtsr  14166  gimcnv  14566  lmimcnv  15655  hmeocnv  17285  hmeocnvb  17297  cmphaushmeo  17323  pi1xfrcnv  18387  dvlog  19830  efopnlem2  19836  relexprel  23202  twsymr  24243  dupre2  24410  mxlmnl2  24436  supwval  24450  f1ocan2fv  25561  ltrncnvnid  29117
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-br 3921  df-opab 3975  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596
  Copyright terms: Public domain W3C validator