Theorem dfrn2 3394

Description: Alternate definition of range. Definition 4 of [Suppes] p. 60.

Assertion

Ref	Expression
dfrn2	|- ran A = {y | E.x xAy}

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem dfrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 3270	. 2 |- ran A = dom `' A
2		df-dm 3269	. 2 |- dom `' A = {y | E.x y`'Ax}
3		visset 1859	. . . . 5 |- y e. V
4		visset 1859	. . . . 5 |- x e. V
5	3, 4	brcnv 3390	. . . 4 |- (y`'Ax <-> xAy)
6	5	exbii 1087	. . 3 |- (E.x y`'Ax <-> E.x xAy)
7	6	abbii 1618	. 2 |- {y | E.x y`'Ax} = {y | E.x xAy}
8	1, 2, 7	3eqtri 1542	1 |- ran A = {y | E.x xAy}

Syntax hints:   = wceq 992  E.wex 1016  {cab 1505   class class class wbr 2692  `'ccnv 3250  dom cdm 3251  ran crn 3252

This theorem is referenced by:  dfrn3 3395  dfdm4 3396  dm0rn0 3417  funcnv3 3663  aceq3lem 4878

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-sep 2777  ax-pow 2818  ax-pr 2855

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-op 2474  df-br 2693  df-opab 2741  df-cnv 3267  df-dm 3269  df-rn 3270

Copyright terms: Public domain