Theorem dfrnf 3354

Description: Definition of range, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions.

Hypotheses

Ref	Expression
dfrnf.1	|- (z e. A -> A.x z e. A)
dfrnf.2	|- (z e. A -> A.y z e. A)

Assertion

Ref	Expression
dfrnf	|- ran A = {y | E.x<.x, y>. e. A}

Distinct variable groups:   x,y,z   z,A

Proof of Theorem dfrnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrn3 3310	. 2 |- ran A = {w | E.v<.v, w>. e. A}
2		ax-17 973	. . . . 5 |- (z e. <.v, w>. -> A.x z e. <.v, w>.)
3		dfrnf.1	. . . . 5 |- (z e. A -> A.x z e. A)
4	2, 3	hbel 1569	. . . 4 |- (<.v, w>. e. A -> A.x<.v, w>. e. A)
5		ax-17 973	. . . 4 |- (<.x, w>. e. A -> A.v<.x, w>. e. A)
6		opeq1 2491	. . . . 5 |- (v = x -> <.v, w>. = <.x, w>.)
7	6	eleq1d 1543	. . . 4 |- (v = x -> (<.v, w>. e. A <-> <.x, w>. e. A))
8	4, 5, 7	cbvex 1168	. . 3 |- (E.v<.v, w>. e. A <-> E.x<.x, w>. e. A)
9	8	abbii 1578	. 2 |- {w | E.v<.v, w>. e. A} = {w | E.x<.x, w>. e. A}
10		ax-17 973	. . . . 5 |- (z e. <.x, w>. -> A.y z e. <.x, w>.)
11		dfrnf.2	. . . . 5 |- (z e. A -> A.y z e. A)
12	10, 11	hbel 1569	. . . 4 |- (<.x, w>. e. A -> A.y<.x, w>. e. A)
13	12	hbex 1008	. . 3 |- (E.x<.x, w>. e. A -> A.yE.x<.x, w>. e. A)
14		ax-17 973	. . 3 |- (E.x<.x, y>. e. A -> A.wE.x<.x, y>. e. A)
15		opeq2 2492	. . . . 5 |- (w = y -> <.x, w>. = <.x, y>.)
16	15	eleq1d 1543	. . . 4 |- (w = y -> (<.x, w>. e. A <-> <.x, y>. e. A))
17	16	exbidv 1281	. . 3 |- (w = y -> (E.x<.x, w>. e. A <-> E.x<.x, y>. e. A))
18	13, 14, 17	cbvab 1911	. 2 |- {w | E.x<.x, w>. e. A} = {y | E.x<.x, y>. e. A}
19	1, 9, 18	3eqtr 1502	1 |- ran A = {y | E.x<.x, y>. e. A}

Syntax hints:   -> wi 3  A.wal 956   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  {cab 1466  <.cop 2415  ran crn 3177

This theorem is referenced by:  rnopab 3359

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-br 2625  df-opab 2672  df-cnv 3192  df-dm 3194  df-rn 3195

Copyright terms: Public domain