Theorem dfseq0 6508

Description: Alternate version of df-seq0 6479.

Assertion

Ref	Expression
dfseq0	|- seq0 = {<.<.f, g>., h>. | h = (<.0, f>. seq g)}

Distinct variable group:   f,g,h

Proof of Theorem dfseq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprex 3978	. . . . . 6 |- ((f seq1 (g shift 1)) shift -u1) e. V
2		resexg 3390	. . . . . 6 |- (((f seq1 (g shift 1)) shift -u1) e. V -> (((f seq1 (g shift 1)) shift -u1) |` NN0) e. V)
3	1, 2	ax-mp 7	. . . . 5 |- (((f seq1 (g shift 1)) shift -u1) |` NN0) e. V
4		visset 1810	. . . . . . . 8 |- f e. V
5		visset 1810	. . . . . . . 8 |- g e. V
6	4, 5	pm3.2i 285	. . . . . . 7 |- (f e. V /\ g e. V)
7	6	biantrur 724	. . . . . 6 |- (h = (((f seq1 (g shift 1)) shift -u1) |` NN0) <-> ((f e. V /\ g e. V) /\ h = (((f seq1 (g shift 1)) shift -u1) |` NN0)))
8	7	oprabbii 3992	. . . . 5 |- {<.<.f, g>., h>. | h = (((f seq1 (g shift 1)) shift -u1) |` NN0)} = {<.<.f, g>., h>. | ((f e. V /\ g e. V) /\ h = (((f seq1 (g shift 1)) shift -u1) |` NN0))}
9	3, 8	fnoprab2 4115	. . . 4 |- {<.<.f, g>., h>. | h = (((f seq1 (g shift 1)) shift -u1) |` NN0)} Fn (V X. V)
10		df-seq0 6479	. . . . 5 |- seq0 = {<.<.f, g>., h>. | h = (((f seq1 (g shift 1)) shift -u1) |` NN0)}
11		fneq1 3578	. . . . 5 |- ( seq0 = {<.<.f, g>., h>. | h = (((f seq1 (g shift 1)) shift -u1) |` NN0)} -> ( seq0 Fn (V X. V) <-> {<.<.f, g>., h>. | h = (((f seq1 (g shift 1)) shift -u1) |` NN0)} Fn (V X. V)))
12	10, 11	ax-mp 7	. . . 4 |- ( seq0 Fn (V X. V) <-> {<.<.f, g>., h>. | h = (((f seq1 (g shift 1)) shift -u1) |` NN0)} Fn (V X. V))
13	9, 12	mpbir 190	. . 3 |- seq0 Fn (V X. V)
14		oprex 3978	. . . 4 |- (<.0, f>. seq g) e. V
15	6	biantrur 724	. . . . 5 |- (h = (<.0, f>. seq g) <-> ((f e. V /\ g e. V) /\ h = (<.0, f>. seq g)))
16	15	oprabbii 3992	. . . 4 |- {<.<.f, g>., h>. | h = (<.0, f>. seq g)} = {<.<.f, g>., h>. | ((f e. V /\ g e. V) /\ h = (<.0, f>. seq g))}
17	14, 16	fnoprab2 4115	. . 3 |- {<.<.f, g>., h>. | h = (<.0, f>. seq g)} Fn (V X. V)
18		eqfnoprval 4011	. . 3 |- (( seq0 Fn (V X. V) /\ {<.<.f, g>., h>. | h = (<.0, f>. seq g)} Fn (V X. V)) -> ( seq0 = {<.<.f, g>., h>. | h = (<.0, f>. seq g)} <-> ((V X. V) = (V X. V) /\ A.x e. V A.y e. V (x seq0 y) = (x{<.<.f, g>., h>. | h = (<.0, f>. seq g)}y))))
19	13, 17, 18	mp2an 696	. 2 |- ( seq0 = {<.<.f, g>., h>. | h = (<.0, f>. seq g)} <-> ((V X. V) = (V X. V) /\ A.x e. V A.y e. V (x seq0 y) = (x{<.<.f, g>., h>. | h = (<.0, f>. seq g)}y)))
20		eqid 1474	. 2 |- (V X. V) = (V X. V)
21		oprex 3978	. . . . 5 |- (<.0, x>. seq y) e. V
22		opeq2 2485	. . . . . 6 |- (f = x -> <.0, f>. = <.0, x>.)
23	22	opreq1d 3970	. . . . 5 |- (f = x -> (<.0, f>. seq g) = (<.0, x>. seq g))
24		opreq2 3964	. . . . 5 |- (g = y -> (<.0, x>. seq g) = (<.0, x>. seq y))
25		eqid 1474	. . . . 5 |- {<.<.f, g>., h>. | h = (<.0, f>. seq g)} = {<.<.f, g>., h>. | h = (<.0, f>. seq g)}
26	21, 23, 24, 25	oprabval5 4024	. . . 4 |- ((x e. V /\ y e. V) -> (x{<.<.f, g>., h>. | h = (<.0, f>. seq g)}y) = (<.0, x>. seq y))
27		visset 1810	. . . . 5 |- x e. V
28		visset 1810	. . . . 5 |- y e. V
29	27, 28	seq0seqz 6487	. . . 4 |- (x seq0 y) = (<.0, x>. seq y)
30	26, 29	syl6reqr 1524	. . 3 |- ((x e. V /\ y e. V) -> (x seq0 y) = (x{<.<.f, g>., h>. | h = (<.0, f>. seq g)}y))
31	30	rgen2a 1697	. 2 |- A.x e. V A.y e. V (x seq0 y) = (x{<.<.f, g>., h>. | h = (<.0, f>. seq g)}y)
32	19, 20, 31	mpbir2an 729	1 |- seq0 = {<.<.f, g>., h>. | h = (<.0, f>. seq g)}

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  A.wral 1643  Vcvv 1808  <.cop 2408   X. cxp 3164   |` cres 3168   Fn wfn 3173  (class class class)co 3958  {copab2 3959  0cc0 5217  1c1 5218  -ucneg 5276  NN0cn0 5280   seq1 cseq1 6257   shift cshi 6290   seq cseqz 6476   seq0 cseq0 6477

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-n 5883  df-n0 6057  df-z 6093  df-seqz 6478  df-seq0 6479

Copyright terms: Public domain