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Theorem dfso3 25169
Description: Expansion of the definition of a strict order. (Contributed by Scott Fenton, 6-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
dfso3  |-  ( R  Or  A  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z )  /\  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
Distinct variable groups:    x, R, y, z    x, A, y, z

Proof of Theorem dfso3
StepHypRef Expression
1 ne0i 3626 . . . . 5  |-  ( y  e.  A  ->  A  =/=  (/) )
2 r19.27zv 3719 . . . . 5  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. z  e.  A  (
( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  /\  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )  <->  ( A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  /\  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) ) )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. z  e.  A  ( ( -.  x R x  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  /\  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )  <->  ( A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  /\  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) ) )
43ralbiia 2729 . . 3  |-  ( A. y  e.  A  A. z  e.  A  (
( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  /\  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )  <->  A. y  e.  A  ( A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  /\  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
54ralbii 2721 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  (
( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  /\  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  /\  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
6 df-3an 938 . . . 4  |-  ( ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z )  /\  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )  <->  ( ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  /\  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
76ralbii 2721 . . 3  |-  ( A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z )  /\  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )  <->  A. z  e.  A  ( ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  /\  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
872ralbii 2723 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z )  /\  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  /\  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
9 df-po 4495 . . . 4  |-  ( R  Po  A  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) ) )
109anbi1i 677 . . 3  |-  ( ( R  Po  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
11 df-so 4496 . . 3  |-  ( R  Or  A  <->  ( R  Po  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
12 r19.26-2 2831 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  /\  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
1310, 11, 123bitr4i 269 . 2  |-  ( R  Or  A  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  /\  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
145, 8, 133bitr4ri 270 1  |-  ( R  Or  A  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z )  /\  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    \/ w3o 935    /\ w3a 936    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   (/)c0 3620   class class class wbr 4204    Po wpo 4493    Or wor 4494
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-v 2950  df-dif 3315  df-nul 3621  df-po 4495  df-so 4496
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