MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dftr2 Unicode version

Theorem dftr2 4012
Description: An alternate way of defining a transitive class. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 40. (Contributed by NM, 24-Apr-1994.)
Assertion
Ref Expression
dftr2  |-  ( Tr  A  <->  A. x A. y
( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem dftr2
StepHypRef Expression
1 dfss2 3092 . 2  |-  ( U. A  C_  A  <->  A. x
( x  e.  U. A  ->  x  e.  A
) )
2 df-tr 4011 . 2  |-  ( Tr  A  <->  U. A  C_  A
)
3 19.23v 2021 . . . 4  |-  ( A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A )  <->  ( E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A ) )
4 eluni 3730 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. A  <->  E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  A
) )
54imbi1i 317 . . . 4  |-  ( ( x  e.  U. A  ->  x  e.  A )  <-> 
( E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A ) )
63, 5bitr4i 245 . . 3  |-  ( A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A )  <->  ( x  e.  U. A  ->  x  e.  A ) )
76albii 1554 . 2  |-  ( A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A )  <->  A. x ( x  e. 
U. A  ->  x  e.  A ) )
81, 2, 73bitr4i 270 1  |-  ( Tr  A  <->  A. x A. y
( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1532   E.wex 1537    e. wcel 1621    C_ wss 3078   U.cuni 3727   Tr wtr 4010
This theorem is referenced by:  dftr5  4013  trel  4017  ordelord  4307  suctr  4368  trsuc2OLD  4370  ordom  4556  hartogs  7143  card2on  7152  trcl  7294  tskwe  7467  ondomon  8067  dftr6  23277  elpotr  23305  hftr  23986  dford4  26288  tratrb  26992  trsbc  26997  truniALT  26998  sspwtr  27285  sspwtrALT  27286  sspwtrALT2  27287  pwtrVD  27288  pwtrOLD  27289  pwtrrVD  27290  pwtrrOLD  27291  suctrALT2VD  27302  suctrALT2  27303  tratrbVD  27327  trsbcVD  27343  truniALTVD  27344  trintALTVD  27346  trintALT  27347  suctrALTcf  27388  suctrALTcfVD  27389  suctrALT3  27390  suctrALT4  27394
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-v 2729  df-in 3085  df-ss 3089  df-uni 3728  df-tr 4011
  Copyright terms: Public domain W3C validator