MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dftr2 Unicode version

Theorem dftr2 4055
Description: An alternate way of defining a transitive class. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 40. (Contributed by NM, 24-Apr-1994.)
Assertion
Ref Expression
dftr2  |-  ( Tr  A  <->  A. x A. y
( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem dftr2
StepHypRef Expression
1 dfss2 3111 . 2  |-  ( U. A  C_  A  <->  A. x
( x  e.  U. A  ->  x  e.  A
) )
2 df-tr 4054 . 2  |-  ( Tr  A  <->  U. A  C_  A
)
3 19.23v 2022 . . . 4  |-  ( A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A )  <->  ( E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A ) )
4 eluni 3771 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. A  <->  E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  A
) )
54imbi1i 317 . . . 4  |-  ( ( x  e.  U. A  ->  x  e.  A )  <-> 
( E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A ) )
63, 5bitr4i 245 . . 3  |-  ( A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A )  <->  ( x  e.  U. A  ->  x  e.  A ) )
76albii 1554 . 2  |-  ( A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A )  <->  A. x ( x  e. 
U. A  ->  x  e.  A ) )
81, 2, 73bitr4i 270 1  |-  ( Tr  A  <->  A. x A. y
( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1532   E.wex 1537    e. wcel 1621    C_ wss 3094   U.cuni 3768   Tr wtr 4053
This theorem is referenced by:  dftr5  4056  trel  4060  ordelord  4351  suctr  4412  trsuc2OLD  4414  ordom  4602  hartogs  7192  card2on  7201  trcl  7343  tskwe  7516  ondomon  8118  dftr6  23443  elpotr  23471  hftr  24152  dford4  26454  tratrb  27315  trsbc  27320  truniALT  27321  sspwtr  27608  sspwtrALT  27609  sspwtrALT2  27610  pwtrVD  27611  pwtrOLD  27612  pwtrrVD  27613  pwtrrOLD  27614  suctrALT2VD  27625  suctrALT2  27626  tratrbVD  27650  trsbcVD  27666  truniALTVD  27667  trintALTVD  27669  trintALT  27670  suctrALTcf  27711  suctrALTcfVD  27712  suctrALT3  27713  suctrALT4  27717
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-v 2742  df-in 3101  df-ss 3108  df-uni 3769  df-tr 4054
  Copyright terms: Public domain W3C validator