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Theorem dftr5 4013
Description: An alternate way of defining a transitive class. (Contributed by NM, 20-Mar-2004.)
Assertion
Ref Expression
dftr5  |-  ( Tr  A  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  x  y  e.  A )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem dftr5
StepHypRef Expression
1 dftr2 4012 . 2  |-  ( Tr  A  <->  A. y A. x
( ( y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  A ) )
2 alcom 1568 . . 3  |-  ( A. y A. x ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  A )  <->  A. x A. y ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A
)  ->  y  e.  A ) )
3 impexp 435 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A
)  ->  y  e.  A )  <->  ( y  e.  x  ->  ( x  e.  A  ->  y  e.  A ) ) )
43albii 1554 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  A )  <->  A. y
( y  e.  x  ->  ( x  e.  A  ->  y  e.  A ) ) )
5 df-ral 2513 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  x  (
x  e.  A  -> 
y  e.  A )  <->  A. y ( y  e.  x  ->  ( x  e.  A  ->  y  e.  A ) ) )
64, 5bitr4i 245 . . . . . 6  |-  ( A. y ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  A )  <->  A. y  e.  x  ( x  e.  A  ->  y  e.  A ) )
7 r19.21v 2592 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  x  (
x  e.  A  -> 
y  e.  A )  <-> 
( x  e.  A  ->  A. y  e.  x  y  e.  A )
)
86, 7bitri 242 . . . . 5  |-  ( A. y ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  A )  <->  ( x  e.  A  ->  A. y  e.  x  y  e.  A ) )
98albii 1554 . . . 4  |-  ( A. x A. y ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  A )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  A. y  e.  x  y  e.  A ) )
10 df-ral 2513 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  x  y  e.  A  <->  A. x ( x  e.  A  ->  A. y  e.  x  y  e.  A ) )
119, 10bitr4i 245 . . 3  |-  ( A. x A. y ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  A )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  x  y  e.  A )
122, 11bitri 242 . 2  |-  ( A. y A. x ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  A )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  x  y  e.  A )
131, 12bitri 242 1  |-  ( Tr  A  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  x  y  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1532    e. wcel 1621   A.wral 2509   Tr wtr 4010
This theorem is referenced by:  dftr3  4014  smobeth  8088
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ral 2513  df-v 2729  df-in 3085  df-ss 3089  df-uni 3728  df-tr 4011
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