Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dftrpred3g Unicode version

Theorem dftrpred3g 24307
Description: The transitive predecessors of  X are equal to the predecessors of  X together with their transitive predecessors. (Contributed by Scott Fenton, 26-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
dftrpred3g  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  TrPred ( R ,  A ,  X
)  =  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
) )
Distinct variable groups:    y, A    y, R    y, X

Proof of Theorem dftrpred3g
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elun 3329 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
)  <->  ( z  e. 
Pred ( R ,  A ,  X )  \/  z  e.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) ) )
2 predel 24254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  ->  z  e.  A )
3 setlikespec 24258 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  e.  _V )
4 trpredpred 24302 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Pred ( R ,  A ,  z )  e. 
_V  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  C_ 
TrPred ( R ,  A ,  z ) )
53, 4syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  z ) )
65expcom 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R Se  A  ->  ( z  e.  A  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  z ) ) )
76adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
z  e.  A  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  C_  TrPred ( R ,  A , 
z ) ) )
82, 7syl5 28 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
z  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  z ) ) )
98ancld 536 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
z  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  ->  (
z  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  /\  Pred ( R ,  A , 
z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  z ) ) ) )
10 trpredeq3 24296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  TrPred ( R ,  A ,  y )  =  TrPred ( R ,  A ,  z ) )
1110sseq2d 3219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  ( Pred ( R ,  A ,  z )  C_  TrPred ( R ,  A , 
y )  <->  Pred ( R ,  A ,  z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  z ) ) )
1211rspcev 2897 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  /\  Pred ( R ,  A , 
z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  z ) )  ->  E. y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) Pred ( R ,  A ,  z )  C_  TrPred ( R ,  A , 
y ) )
13 ssiun 3960 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) Pred ( R ,  A , 
z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  y )  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  C_  U_ y  e. 
Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) )
1412, 13syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  /\  Pred ( R ,  A , 
z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  z ) )  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  C_  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) )
159, 14syl6 29 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
z  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  C_  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) ) )
16 eliun 3925 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  U_ y  e. 
Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y )  <->  E. y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X )
z  e.  TrPred ( R ,  A ,  y ) )
17 predel 24254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  ->  y  e.  A )
18 setlikespec 24258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A , 
y )  e.  _V )
1918ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R Se  A  /\  y  e.  A )  ->  Pred ( R ,  A , 
y )  e.  _V )
2019adantll 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  y  e.  A
)  ->  Pred ( R ,  A ,  y )  e.  _V )
21 trpredss 24303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Pred ( R ,  A ,  y )  e. 
_V  ->  TrPred ( R ,  A ,  y )  C_  A )
2220, 21syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  y  e.  A
)  ->  TrPred ( R ,  A ,  y )  C_  A )
2322sseld 3192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  y  e.  A
)  ->  ( z  e.  TrPred ( R ,  A ,  y )  ->  z  e.  A ) )
243expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( R Se  A  ->  ( z  e.  A  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  e.  _V ) )
2524ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  y  e.  A
)  ->  ( z  e.  A  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  e.  _V ) )
2623, 25syld 40 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  y  e.  A
)  ->  ( z  e.  TrPred ( R ,  A ,  y )  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  e.  _V ) )
2726imp 418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  TrPred ( R ,  A ,  y )
)  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  e.  _V )
2827, 4syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  TrPred ( R ,  A ,  y )
)  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  z ) )
29 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  A )
30 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  y  e.  A
)  ->  R Se  A
)
31 trpredelss 24306 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
z  e.  TrPred ( R ,  A ,  y )  ->  TrPred ( R ,  A ,  z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  y ) ) )
3229, 30, 31syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  y  e.  A
)  ->  ( z  e.  TrPred ( R ,  A ,  y )  -> 
TrPred ( R ,  A ,  z )  C_  TrPred ( R ,  A , 
y ) ) )
3332imp 418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  TrPred ( R ,  A ,  y )
)  ->  TrPred ( R ,  A ,  z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  y ) )
3428, 33sstrd 3202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  TrPred ( R ,  A ,  y )
)  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  y ) )
3534exp31 587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
y  e.  A  -> 
( z  e.  TrPred ( R ,  A , 
y )  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  y ) ) ) )
3617, 35syl5 28 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  ->  (
z  e.  TrPred ( R ,  A ,  y )  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  y ) ) ) )
3736reximdvai 2666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( E. y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) z  e. 
TrPred ( R ,  A ,  y )  ->  E. y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) Pred ( R ,  A , 
z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  y ) ) )
3837, 13syl6 29 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( E. y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) z  e. 
TrPred ( R ,  A ,  y )  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  C_  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) ) )
3916, 38syl5bi 208 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
z  e.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y )  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  C_  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) ) )
4015, 39jaod 369 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
( z  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  \/  z  e.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) )  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  C_  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) ) )
41 ssun4 3354 . . . . . . 7  |-  ( Pred ( R ,  A ,  z )  C_  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y )  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  C_  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
) )
4240, 41syl6 29 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
( z  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  \/  z  e.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) )  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  C_  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
) ) )
431, 42syl5bi 208 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
z  e.  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
)  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  C_  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
) ) )
4443ralrimiv 2638 . . . 4  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  A. z  e.  ( Pred ( R ,  A ,  X
)  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) )
Pred ( R ,  A ,  z )  C_  ( Pred ( R ,  A ,  X
)  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) ) )
45 ssun1 3351 . . . 4  |-  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
)
4644, 45jctir 524 . . 3  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( A. z  e.  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
) Pred ( R ,  A ,  z )  C_  ( Pred ( R ,  A ,  X
)  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) )  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  ( Pred ( R ,  A ,  X
)  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) ) ) )
47 trpredmintr 24305 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. z  e.  ( Pred ( R ,  A ,  X
)  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) )
Pred ( R ,  A ,  z )  C_  ( Pred ( R ,  A ,  X
)  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) )  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  ( Pred ( R ,  A ,  X
)  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) ) ) )  ->  TrPred ( R ,  A ,  X
)  C_  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
) )
4846, 47mpdan 649 . 2  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  TrPred ( R ,  A ,  X
)  C_  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
) )
49 setlikespec 24258 . . . 4  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  e.  _V )
50 trpredpred 24302 . . . 4  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  _V  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  C_ 
TrPred ( R ,  A ,  X ) )
5149, 50syl 15 . . 3  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) )
5251sseld 3192 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  ->  y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X )
) )
53 trpredelss 24306 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X
)  ->  TrPred ( R ,  A ,  y )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) ) )
5452, 53syld 40 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  ->  TrPred ( R ,  A ,  y )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) ) )
5554ralrimiv 2638 . . . 4  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  A. y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X ) )
56 iunss 3959 . . . 4  |-  ( U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )  C_ 
TrPred ( R ,  A ,  X )  <->  A. y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X ) )
5755, 56sylibr 203 . . 3  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X ) )
5851, 57unssd 3364 . 2  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
)  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) )
5948, 58eqssd 3209 1  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  TrPred ( R ,  A ,  X
)  =  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    u. cun 3163    C_ wss 3165   U_ciun 3921   Se wse 4366   Predcpred 24238   TrPredctrpred 24291
This theorem is referenced by:  dftrpred4g  24308
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-pred 24239  df-trpred 24292
  Copyright terms: Public domain W3C validator