MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrco Unicode version

Theorem dgrco 19618
Description: The degree of a composition of two polynomials is the product of the degrees. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrco.1  |-  M  =  (deg `  F )
dgrco.2  |-  N  =  (deg `  G )
dgrco.3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
dgrco.4  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
Assertion
Ref Expression
dgrco  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  o.  G ) )  =  ( M  x.  N
) )

Proof of Theorem dgrco
StepHypRef Expression
1 plyssc 19544 . . 3  |-  (Poly `  S )  C_  (Poly `  CC )
2 dgrco.3 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
31, 2sseldi 3153 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  CC ) )
4 dgrco.1 . . . 4  |-  M  =  (deg `  F )
5 dgrcl 19577 . . . . 5  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  (deg `  F
)  e.  NN0 )
62, 5syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  (deg `  F )  e.  NN0 )
74, 6syl5eqel 2342 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
8 breq2 4001 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
(deg `  f )  <_  x  <->  (deg `  f )  <_  0 ) )
98imbi1d 310 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
( (deg `  f
)  <_  x  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) )  <->  ( (deg `  f )  <_  0  ->  (deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) ) )
109ralbidv 2538 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  ( A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_  x  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) )  <->  A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  0  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) ) )
1110imbi2d 309 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  (
( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  x  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) )  <->  ( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_ 
0  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) ) ) )
12 breq2 4001 . . . . . . 7  |-  ( x  =  d  ->  (
(deg `  f )  <_  x  <->  (deg `  f )  <_  d ) )
1312imbi1d 310 . . . . . 6  |-  ( x  =  d  ->  (
( (deg `  f
)  <_  x  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) )  <->  ( (deg `  f )  <_  d  ->  (deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) ) )
1413ralbidv 2538 . . . . 5  |-  ( x  =  d  ->  ( A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_  x  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) )  <->  A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  d  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) ) )
1514imbi2d 309 . . . 4  |-  ( x  =  d  ->  (
( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  x  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) )  <->  ( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_ 
d  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) ) ) )
16 breq2 4001 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( d  +  1 )  ->  (
(deg `  f )  <_  x  <->  (deg `  f )  <_  ( d  +  1 ) ) )
1716imbi1d 310 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( d  +  1 )  ->  (
( (deg `  f
)  <_  x  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) )  <->  ( (deg `  f )  <_  (
d  +  1 )  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) ) )
1817ralbidv 2538 . . . . 5  |-  ( x  =  ( d  +  1 )  ->  ( A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_  x  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) )  <->  A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  ( d  +  1 )  -> 
(deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) ) )
1918imbi2d 309 . . . 4  |-  ( x  =  ( d  +  1 )  ->  (
( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  x  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) )  <->  ( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_ 
( d  +  1 )  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) ) ) )
20 breq2 4001 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  (
(deg `  f )  <_  x  <->  (deg `  f )  <_  M ) )
2120imbi1d 310 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
( (deg `  f
)  <_  x  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) )  <->  ( (deg `  f )  <_  M  ->  (deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) ) )
2221ralbidv 2538 . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  ( A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_  x  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) )  <->  A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  M  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) ) )
2322imbi2d 309 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  (
( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  x  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) )  <->  ( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_  M  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) ) ) )
24 dgrco.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  N  =  (deg `  G )
25 dgrco.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
26 dgrcl 19577 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  (deg `  G
)  e.  NN0 )
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (deg `  G )  e.  NN0 )
2824, 27syl5eqel 2342 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2928nn0cnd 9987 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
3029adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  ->  N  e.  CC )
3130mul02d 8978 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
( 0  x.  N
)  =  0 )
32 simprr 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
(deg `  f )  <_  0 )
33 dgrcl 19577 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  (Poly `  CC )  ->  (deg `  f
)  e.  NN0 )
3433ad2antrl 711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
(deg `  f )  e.  NN0 )
3534nn0ge0d 9988 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
0  <_  (deg `  f
) )
3634nn0red 9986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
(deg `  f )  e.  RR )
37 0re 8806 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
38 letri3 8875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (deg `  f )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
(deg `  f )  =  0  <->  ( (deg `  f )  <_  0  /\  0  <_  (deg `  f ) ) ) )
3936, 37, 38sylancl 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
( (deg `  f
)  =  0  <->  (
(deg `  f )  <_  0  /\  0  <_ 
(deg `  f )
) ) )
4032, 35, 39mpbir2and 893 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
(deg `  f )  =  0 )
4140oveq1d 5807 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
( (deg `  f
)  x.  N )  =  ( 0  x.  N ) )
4231, 41, 403eqtr4d 2300 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
( (deg `  f
)  x.  N )  =  (deg `  f
) )
43 fconstmpt 4720 . . . . . . . . 9  |-  ( CC 
X.  { ( f `
 0 ) } )  =  ( y  e.  CC  |->  ( f `
 0 ) )
44 0dgrb 19590 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  (Poly `  CC )  ->  ( (deg `  f )  =  0  <-> 
f  =  ( CC 
X.  { ( f `
 0 ) } ) ) )
4544ad2antrl 711 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
( (deg `  f
)  =  0  <->  f  =  ( CC  X.  { ( f ` 
0 ) } ) ) )
4640, 45mpbid 203 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
f  =  ( CC 
X.  { ( f `
 0 ) } ) )
4725adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  ->  G  e.  (Poly `  S
) )
48 plyf 19542 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  G : CC
--> CC )
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  ->  G : CC --> CC )
50 ffvelrn 5597 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G : CC --> CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( G `  y
)  e.  CC )
5149, 50sylan 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0
) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( G `  y )  e.  CC )
5249feqmptd 5509 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  ->  G  =  ( y  e.  CC  |->  ( G `  y ) ) )
53 fconstmpt 4720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( CC 
X.  { ( f `
 0 ) } )  =  ( x  e.  CC  |->  ( f `
 0 ) )
5446, 53syl6eq 2306 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
f  =  ( x  e.  CC  |->  ( f `
 0 ) ) )
55 eqidd 2259 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( G `  y )  ->  (
f `  0 )  =  ( f ` 
0 ) )
5651, 52, 54, 55fmptco 5625 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
( f  o.  G
)  =  ( y  e.  CC  |->  ( f `
 0 ) ) )
5743, 46, 563eqtr4a 2316 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
f  =  ( f  o.  G ) )
5857fveq2d 5462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
(deg `  f )  =  (deg `  ( f  o.  G ) ) )
5942, 58eqtr2d 2291 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
(deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) )
6059expr 601 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  (Poly `  CC ) )  ->  ( (deg `  f )  <_  0  ->  (deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) )
6160ralrimiva 2601 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_ 
0  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) )
62 fveq2 5458 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  g  ->  (deg `  f )  =  (deg
`  g ) )
6362breq1d 4007 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  g  ->  (
(deg `  f )  <_  d  <->  (deg `  g )  <_  d ) )
64 coeq1 4829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  (
f  o.  G )  =  ( g  o.  G ) )
6564fveq2d 5462 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  g  ->  (deg `  ( f  o.  G
) )  =  (deg
`  ( g  o.  G ) ) )
6662oveq1d 5807 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  g  ->  (
(deg `  f )  x.  N )  =  ( (deg `  g )  x.  N ) )
6765, 66eqeq12d 2272 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  g  ->  (
(deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N )  <-> 
(deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) )
6863, 67imbi12d 313 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  g  ->  (
( (deg `  f
)  <_  d  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) )  <->  ( (deg `  g )  <_  d  ->  (deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )
6968cbvralv 2739 . . . . . . 7  |-  ( A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  f )  <_  d  ->  (deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) )  <->  A. g  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  g )  <_ 
d  ->  (deg `  (
g  o.  G ) )  =  ( (deg
`  g )  x.  N ) ) )
7033ad2antrl 711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )  -> 
(deg `  f )  e.  NN0 )
7170nn0red 9986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )  -> 
(deg `  f )  e.  RR )
72 nn0p1nn 9970 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  e.  NN0  ->  ( d  +  1 )  e.  NN )
7372ad2antlr 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )  -> 
( d  +  1 )  e.  NN )
7473nnred 9729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )  -> 
( d  +  1 )  e.  RR )
7571, 74leloed 8930 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )  -> 
( (deg `  f
)  <_  ( d  +  1 )  <->  ( (deg `  f )  <  (
d  +  1 )  \/  (deg `  f
)  =  ( d  +  1 ) ) ) )
76 simplr 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )  -> 
d  e.  NN0 )
77 nn0leltp1 10042 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (deg `  f )  e.  NN0  /\  d  e. 
NN0 )  ->  (
(deg `  f )  <_  d  <->  (deg `  f )  <  ( d  +  1 ) ) )
7870, 76, 77syl2anc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )  -> 
( (deg `  f
)  <_  d  <->  (deg `  f
)  <  ( d  +  1 ) ) )
79 fveq2 5458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  f  ->  (deg `  g )  =  (deg
`  f ) )
8079breq1d 4007 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  f  ->  (
(deg `  g )  <_  d  <->  (deg `  f )  <_  d ) )
81 coeq1 4829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  f  ->  (
g  o.  G )  =  ( f  o.  G ) )
8281fveq2d 5462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  f  ->  (deg `  ( g  o.  G
) )  =  (deg
`  ( f  o.  G ) ) )
8379oveq1d 5807 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  f  ->  (
(deg `  g )  x.  N )  =  ( (deg `  f )  x.  N ) )
8482, 83eqeq12d 2272 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  f  ->  (
(deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N )  <-> 
(deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) )
8580, 84imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  f  ->  (
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) )  <->  ( (deg `  f )  <_  d  ->  (deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) ) )
8685rcla4va 2857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) )  ->  (
(deg `  f )  <_  d  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) )
8786adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )  -> 
( (deg `  f
)  <_  d  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) )
8878, 87sylbird 228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )  -> 
( (deg `  f
)  <  ( d  +  1 )  -> 
(deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) )
89 eqid 2258 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (deg `  f )  =  (deg
`  f )
90 simprll 741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
( f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  g )  <_  d  ->  (deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) )  /\  (deg `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  f  e.  (Poly `  CC )
)
911, 25sseldi 3153 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  CC ) )
9291ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
( f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  g )  <_  d  ->  (deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) )  /\  (deg `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  G  e.  (Poly `  CC )
)
93 eqid 2258 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (coeff `  f )  =  (coeff `  f )
94 simplr 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
( f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  g )  <_  d  ->  (deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) )  /\  (deg `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  d  e.  NN0 )
95 simprr 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
( f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  g )  <_  d  ->  (deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) )  /\  (deg `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  (deg `  f )  =  ( d  +  1 ) )
96 simprlr 742 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
( f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  g )  <_  d  ->  (deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) )  /\  (deg `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) )
97 fveq2 5458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  h  ->  (deg `  g )  =  (deg
`  h ) )
9897breq1d 4007 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  h  ->  (
(deg `  g )  <_  d  <->  (deg `  h )  <_  d ) )
99 coeq1 4829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g  =  h  ->  (
g  o.  G )  =  ( h  o.  G ) )
10099fveq2d 5462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  h  ->  (deg `  ( g  o.  G
) )  =  (deg
`  ( h  o.  G ) ) )
10197oveq1d 5807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  h  ->  (
(deg `  g )  x.  N )  =  ( (deg `  h )  x.  N ) )
102100, 101eqeq12d 2272 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  h  ->  (
(deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N )  <-> 
(deg `  ( h  o.  G ) )  =  ( (deg `  h
)  x.  N ) ) )
10398, 102imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  h  ->  (
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) )  <->  ( (deg `  h )  <_  d  ->  (deg `  ( h  o.  G ) )  =  ( (deg `  h
)  x.  N ) ) ) )
104103cbvralv 2739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. g  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  g )  <_  d  ->  (deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) )  <->  A. h  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  h )  <_ 
d  ->  (deg `  (
h  o.  G ) )  =  ( (deg
`  h )  x.  N ) ) )
10596, 104sylib 190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
( f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  g )  <_  d  ->  (deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) )  /\  (deg `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  A. h  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  h
)  <_  d  ->  (deg
`  ( h  o.  G ) )  =  ( (deg `  h
)  x.  N ) ) )
10689, 24, 90, 92, 93, 94, 95, 105dgrcolem2 19617 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
( f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  g )  <_  d  ->  (deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) )  /\  (deg `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  (deg `  ( f  o.  G
) )  =  ( (deg `  f )  x.  N ) )
107106expr 601 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )  -> 
( (deg `  f
)  =  ( d  +  1 )  -> 
(deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) )
10888, 107jaod 371 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )  -> 
( ( (deg `  f )  <  (
d  +  1 )  \/  (deg `  f
)  =  ( d  +  1 ) )  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) )
10975, 108sylbid 208 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )  -> 
( (deg `  f
)  <_  ( d  +  1 )  -> 
(deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) )
110109expr 601 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  f  e.  (Poly `  CC )
)  ->  ( A. g  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  g )  <_  d  ->  (deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) )  ->  ( (deg `  f )  <_  (
d  +  1 )  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) ) )
111110ralrimdva 2608 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN0 )  ->  ( A. g  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  g )  <_  d  ->  (deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) )  ->  A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  ( d  +  1 )  -> 
(deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) ) )
11269, 111syl5bi 210 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN0 )  ->  ( A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  f )  <_  d  ->  (deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) )  ->  A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  ( d  +  1 )  -> 
(deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) ) )
113112expcom 426 . . . . 5  |-  ( d  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  d  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) )  ->  A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  ( d  +  1 )  -> 
(deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) ) ) )
114113a2d 25 . . . 4  |-  ( d  e.  NN0  ->  ( (
ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_ 
d  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) )  ->  ( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  f )  <_  (
d  +  1 )  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) ) ) )
11511, 15, 19, 23, 61, 114nn0ind 10075 . . 3  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_  M  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) ) )
1167, 115mpcom 34 . 2  |-  ( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_  M  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) )
1177nn0red 9986 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
118117leidd 9307 . 2  |-  ( ph  ->  M  <_  M )
119 fveq2 5458 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (deg `  f )  =  (deg
`  F ) )
120119, 4syl6eqr 2308 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (deg `  f )  =  M )
121120breq1d 4007 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
(deg `  f )  <_  M  <->  M  <_  M ) )
122 coeq1 4829 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
f  o.  G )  =  ( F  o.  G ) )
123122fveq2d 5462 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (deg `  ( f  o.  G
) )  =  (deg
`  ( F  o.  G ) ) )
124120oveq1d 5807 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
(deg `  f )  x.  N )  =  ( M  x.  N ) )
125123, 124eqeq12d 2272 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
(deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N )  <-> 
(deg `  ( F  o.  G ) )  =  ( M  x.  N
) ) )
126121, 125imbi12d 313 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  (
( (deg `  f
)  <_  M  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) )  <->  ( M  <_  M  ->  (deg `  ( F  o.  G )
)  =  ( M  x.  N ) ) ) )
127126rcla4v 2855 . 2  |-  ( F  e.  (Poly `  CC )  ->  ( A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  M  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) )  ->  ( M  <_  M  ->  (deg `  ( F  o.  G )
)  =  ( M  x.  N ) ) ) )
1283, 116, 118, 127syl3c 59 1  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  o.  G ) )  =  ( M  x.  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2518   {csn 3614   class class class wbr 3997    e. cmpt 4051    X. cxp 4659    o. ccom 4665   -->wf 4669   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   CCcc 8703   RRcr 8704   0cc0 8705   1c1 8706    + caddc 8708    x. cmul 8710    < clt 8835    <_ cle 8836   NNcn 9714   NN0cn0 9932  Polycply 19528  coeffccoe 19530  degcdgr 19531
This theorem is referenced by:  taylply2  19709  ftalem7  20278
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783  ax-addf 8784
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-of 6012  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-oadd 6451  df-er 6628  df-map 6742  df-pm 6743  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-sup 7162  df-oi 7193  df-card 7540  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-n0 9933  df-z 9992  df-uz 10198  df-rp 10322  df-fz 10749  df-fzo 10837  df-fl 10891  df-seq 11013  df-exp 11071  df-hash 11304  df-cj 11549  df-re 11550  df-im 11551  df-sqr 11685  df-abs 11686  df-clim 11927  df-rlim 11928  df-sum 12124  df-0p 18987  df-ply 19532  df-coe 19534  df-dgr 19535
  Copyright terms: Public domain W3C validator