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Theorem dgrcolem2 20194
Description: Lemma for dgrco 20195. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrco.1  |-  M  =  (deg `  F )
dgrco.2  |-  N  =  (deg `  G )
dgrco.3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
dgrco.4  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
dgrco.5  |-  A  =  (coeff `  F )
dgrco.6  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
dgrco.7  |-  ( ph  ->  M  =  ( D  +  1 ) )
dgrco.8  |-  ( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_  D  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) )
Assertion
Ref Expression
dgrcolem2  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  o.  G ) )  =  ( M  x.  N
) )
Distinct variable groups:    A, f    f, F    f, M    f, N    D, f    f, G    ph, f
Allowed substitution hint:    S( f)

Proof of Theorem dgrcolem2
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrco.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
2 plyf 20119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  G : CC
--> CC )
31, 2syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G : CC --> CC )
43ffvelrnda 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( G `
 x )  e.  CC )
5 dgrco.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
6 plyf 20119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F : CC
--> CC )
75, 6syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : CC --> CC )
87ffvelrnda 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( G `  x )  e.  CC )  ->  ( F `  ( G `  x ) )  e.  CC )
94, 8syldan 458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( F `
 ( G `  x ) )  e.  CC )
10 dgrco.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  =  (coeff `  F )
1110coef3 20153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  A : NN0
--> CC )
125, 11syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
13 dgrco.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  M  =  (deg `  F )
14 dgrcl 20154 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  (deg `  F
)  e.  NN0 )
155, 14syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (deg `  F )  e.  NN0 )
1613, 15syl5eqel 2522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
1712, 16ffvelrnd 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A `  M
)  e.  CC )
1817adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( A `
 M )  e.  CC )
1916adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  M  e. 
NN0 )
204, 19expcld 11525 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( G `  x ) ^ M )  e.  CC )
2118, 20mulcld 9110 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) )  e.  CC )
229, 21npcand 9417 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( ( F `  ( G `  x )
)  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) )  +  ( ( A `
 M )  x.  ( ( G `  x ) ^ M
) ) )  =  ( F `  ( G `  x )
) )
2322mpteq2dva 4297 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( F `
 ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) )  +  ( ( A `  M
)  x.  ( ( G `  x ) ^ M ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( F `  ( G `
 x ) ) ) )
24 cnex 9073 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  _V
2524a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
269, 21subcld 9413 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( F `  ( G `
 x ) )  -  ( ( A `
 M )  x.  ( ( G `  x ) ^ M
) ) )  e.  CC )
27 eqidd 2439 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `
 x ) )  -  ( ( A `
 M )  x.  ( ( G `  x ) ^ M
) ) ) ) )
28 eqidd 2439 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( ( G `  x ) ^ M ) ) ) )
2925, 26, 21, 27, 28offval2 6324 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( F `
 ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) )  o F  +  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( F `  ( G `  x )
)  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) )  +  ( ( A `
 M )  x.  ( ( G `  x ) ^ M
) ) ) ) )
303feqmptd 5781 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( G `
 x ) ) )
317feqmptd 5781 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  =  ( y  e.  CC  |->  ( F `
 y ) ) )
32 fveq2 5730 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( G `  x )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( G `  x ) ) )
334, 30, 31, 32fmptco 5903 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
)  =  ( x  e.  CC  |->  ( F `
 ( G `  x ) ) ) )
3423, 29, 333eqtr4rd 2481 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
)  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `  x )
)  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) )  o F  +  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) ) )
3534fveq2d 5734 . . . 4  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  o.  G ) )  =  (deg `  ( (
x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `  x )
)  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) )  o F  +  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) ) ) )
3635adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  (deg `  ( F  o.  G
) )  =  (deg
`  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `
 x ) )  -  ( ( A `
 M )  x.  ( ( G `  x ) ^ M
) ) ) )  o F  +  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( ( G `  x ) ^ M ) ) ) ) ) )
3725, 9, 21, 33, 28offval2 6324 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F  o.  G )  o F  -  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( ( G `  x ) ^ M
) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `
 ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) ) )
38 plyssc 20121 . . . . . . . . 9  |-  (Poly `  S )  C_  (Poly `  CC )
3938, 5sseldi 3348 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  CC ) )
4038, 1sseldi 3348 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  CC ) )
41 addcl 9074 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( z  +  w
)  e.  CC )
4241adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  CC  /\  w  e.  CC ) )  -> 
( z  +  w
)  e.  CC )
43 mulcl 9076 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( z  x.  w
)  e.  CC )
4443adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  CC  /\  w  e.  CC ) )  -> 
( z  x.  w
)  e.  CC )
4539, 40, 42, 44plyco 20162 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
)  e.  (Poly `  CC ) )
46 eqidd 2439 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) )
47 oveq1 6090 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( G `  x )  ->  (
y ^ M )  =  ( ( G `
 x ) ^ M ) )
4847oveq2d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( G `  x )  ->  (
( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) )  =  ( ( A `
 M )  x.  ( ( G `  x ) ^ M
) ) )
494, 30, 46, 48fmptco 5903 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) )  o.  G )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( ( G `  x ) ^ M ) ) ) )
50 ssid 3369 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  C_  CC
5150a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
52 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  ( y ^ M ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) )
5352ply1term 20125 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  ( A `  M )  e.  CC  /\  M  e. 
NN0 )  ->  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )
5451, 17, 16, 53syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )
5554, 40, 42, 44plyco 20162 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) )  o.  G )  e.  (Poly `  CC ) )
5649, 55eqeltrrd 2513 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )
57 plysubcl 20143 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  o.  G
)  e.  (Poly `  CC )  /\  (
x  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( ( G `  x ) ^ M ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )  ->  (
( F  o.  G
)  o F  -  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) )  e.  (Poly `  CC )
)
5845, 56, 57syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F  o.  G )  o F  -  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( ( G `  x ) ^ M
) ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )
5937, 58eqeltrrd 2513 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )
6059adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `
 x ) )  -  ( ( A `
 M )  x.  ( ( G `  x ) ^ M
) ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )
6156adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )
62 dgrco.7 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  =  ( D  +  1 ) )
63 dgrco.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
64 nn0p1nn 10261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  NN0  ->  ( D  +  1 )  e.  NN )
6563, 64syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( D  +  1 )  e.  NN )
6662, 65eqeltrd 2512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
6766nngt0d 10045 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  M )
68 fveq2 5730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) )  =  0 p  ->  (deg `  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  =  (deg ` 
0 p ) )
69 dgr0 20182 . . . . . . . . . . 11  |-  (deg ` 
0 p )  =  0
7068, 69syl6eq 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) )  =  0 p  ->  (deg `  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  =  0 )
7170breq1d 4224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) )  =  0 p  ->  (
(deg `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  < 
M  <->  0  <  M
) )
7267, 71syl5ibrcom 215 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  =  0 p  -> 
(deg `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  < 
M ) )
73 idd 23 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (deg `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  < 
M  ->  (deg `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  < 
M ) )
74 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  (deg `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) )  =  (deg `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )
7513, 74dgrsub 20192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  (Poly `  CC )  /\  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )  ->  (deg `  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  <_  if ( M  <_  (deg `  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) ,  (deg
`  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) ,  M ) )
7639, 54, 75syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  <_  if ( M  <_  (deg `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) ) ,  (deg `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) ,  M ) )
7766nnne0d 10046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
7813, 10dgreq0 20185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( F  =  0 p  <->  ( A `  M )  =  0 ) )
795, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F  =  0 p  <->  ( A `  M )  =  0 ) )
80 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  =  0 p  -> 
(deg `  F )  =  (deg `  0 p
) )
8180, 69syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  =  0 p  -> 
(deg `  F )  =  0 )
8213, 81syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  =  0 p  ->  M  =  0 )
8379, 82syl6bir 222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( A `  M )  =  0  ->  M  =  0 ) )
8483necon3d 2641 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  =/=  0  ->  ( A `  M
)  =/=  0 ) )
8577, 84mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A `  M
)  =/=  0 )
8652dgr1term 20180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A `  M
)  e.  CC  /\  ( A `  M )  =/=  0  /\  M  e.  NN0 )  ->  (deg `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) )  =  M )
8717, 85, 16, 86syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (deg `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  =  M )
8887ifeq1d 3755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  if ( M  <_ 
(deg `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) ,  (deg `  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) ,  M
)  =  if ( M  <_  (deg `  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) ,  M ,  M ) )
89 ifid 3773 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( M  <_  (deg `  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) ,  M ,  M )  =  M
9088, 89syl6eq 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  if ( M  <_ 
(deg `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) ,  (deg `  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) ,  M
)  =  M )
9176, 90breqtrd 4238 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  <_  M )
92 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (coeff `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) )  =  (coeff `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )
9310, 92coesub 20177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  (Poly `  CC )  /\  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )  ->  (coeff `  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  =  ( A  o F  -  (coeff `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) ) ) )
9439, 54, 93syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (coeff `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  =  ( A  o F  -  (coeff `  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) ) )
9594fveq1d 5732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (coeff `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) ) `  M )  =  ( ( A  o F  -  (coeff `  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) ) `  M ) )
96 ffn 5593 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A : NN0 --> CC  ->  A  Fn  NN0 )
9712, 96syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  Fn  NN0 )
9892coef3 20153 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) )  e.  (Poly `  CC )  ->  (coeff `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) ) : NN0 --> CC )
9954, 98syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (coeff `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) : NN0 --> CC )
100 ffn 5593 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (coeff `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) ) : NN0 --> CC  ->  (coeff `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) )  Fn 
NN0 )
10199, 100syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (coeff `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  Fn  NN0 )
102 nn0ex 10229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN0  e.  _V
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  NN0  e.  _V )
104 inidm 3552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( NN0 
i^i  NN0 )  =  NN0
105 eqidd 2439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( A `  M )  =  ( A `  M ) )
10652coe1term 20179 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A `  M
)  e.  CC  /\  M  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
(coeff `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) `
 M )  =  if ( M  =  M ,  ( A `
 M ) ,  0 ) )
10717, 16, 16, 106syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( (coeff `  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) `  M
)  =  if ( M  =  M , 
( A `  M
) ,  0 ) )
108 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  M  =  M
109 iftrue 3747 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  =  M  ->  if ( M  =  M ,  ( A `  M ) ,  0 )  =  ( A `
 M ) )
110108, 109ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( M  =  M , 
( A `  M
) ,  0 )  =  ( A `  M )
111107, 110syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( (coeff `  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) `  M
)  =  ( A `
 M ) )
112111adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( (coeff `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) ) `  M )  =  ( A `  M ) )
11397, 101, 103, 103, 104, 105, 112ofval 6316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( A  o F  -  (coeff `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) ) ) `
 M )  =  ( ( A `  M )  -  ( A `  M )
) )
11416, 113mpdan 651 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  o F  -  (coeff `  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) ) `  M )  =  ( ( A `  M
)  -  ( A `
 M ) ) )
11517subidd 9401 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A `  M )  -  ( A `  M )
)  =  0 )
11695, 114, 1153eqtrd 2474 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (coeff `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) ) `  M )  =  0 )
117 plysubcl 20143 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  (Poly `  CC )  /\  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )  ->  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )
11839, 54, 117syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )
119 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  (deg `  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  =  (deg `  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )
120 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  (coeff `  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  =  (coeff `  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )
121119, 120dgrlt 20186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  e.  (Poly `  CC )  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) )  =  0 p  \/  (deg `  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  <  M )  <-> 
( (deg `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  <_  M  /\  ( (coeff `  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) ) `  M )  =  0 ) ) )
122118, 16, 121syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) )  =  0 p  \/  (deg `  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  <  M )  <-> 
( (deg `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  <_  M  /\  ( (coeff `  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) ) `  M )  =  0 ) ) )
12391, 116, 122mpbir2and 890 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  =  0 p  \/  (deg `  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  <  M ) )
12472, 73, 123mpjaod 372 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  < 
M )
125124adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  (deg `  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  <  M )
126 dgrcl 20154 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) )  e.  (Poly `  CC )  ->  (deg `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  e. 
NN0 )
127118, 126syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  e. 
NN0 )
128127nn0red 10277 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  e.  RR )
129128adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  (deg `  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  e.  RR )
13016nn0red 10277 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
131130adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  M  e.  RR )
132 nnre 10009 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
133132adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
134 nngt0 10031 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
135134adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  0  < 
N )
136 ltmul1 9862 . . . . . . 7  |-  ( ( (deg `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( (deg `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  < 
M  <->  ( (deg `  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  x.  N )  <  ( M  x.  N ) ) )
137129, 131, 133, 135, 136syl112anc 1189 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( (deg
`  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  <  M  <->  ( (deg `  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  x.  N )  <  ( M  x.  N ) ) )
138125, 137mpbid 203 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( (deg
`  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  x.  N )  <  ( M  x.  N ) )
1397ffvelrnda 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( F `
 y )  e.  CC )
14017adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( A `
 M )  e.  CC )
141 id 21 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  CC  ->  y  e.  CC )
142 expcl 11401 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  CC  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( y ^ M
)  e.  CC )
143141, 16, 142syl2anr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( y ^ M )  e.  CC )
144140, 143mulcld 9110 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( A `  M )  x.  ( y ^ M ) )  e.  CC )
14525, 139, 144, 31, 46offval2 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( F `
 y )  -  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) ) )
14632, 48oveq12d 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( G `  x )  ->  (
( F `  y
)  -  ( ( A `  M )  x.  ( y ^ M ) ) )  =  ( ( F `
 ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) )
1474, 30, 145, 146fmptco 5903 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  o.  G )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) ) )
148147fveq2d 5734 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (deg `  ( ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) )  o.  G
) )  =  (deg
`  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `
 ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) ) ) )
149 dgrco.8 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_  D  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) )
150124, 62breqtrd 4238 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  < 
( D  +  1 ) )
151 nn0leltp1 10335 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (deg `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  e. 
NN0  /\  D  e.  NN0 )  ->  ( (deg `  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  <_  D  <->  (deg `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  < 
( D  +  1 ) ) )
152127, 63, 151syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (deg `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  <_  D 
<->  (deg `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  < 
( D  +  1 ) ) )
153150, 152mpbird 225 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  <_  D )
154 fveq2 5730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  ->  (deg `  f
)  =  (deg `  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) ) )
155154breq1d 4224 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  ->  ( (deg `  f )  <_  D  <->  (deg
`  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  <_  D )
)
156 coeq1 5032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  ->  ( f  o.  G )  =  ( ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  o.  G ) )
157156fveq2d 5734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  (deg `  ( ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  o.  G ) ) )
158154oveq1d 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  ->  ( (deg `  f )  x.  N
)  =  ( (deg
`  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  x.  N ) )
159157, 158eqeq12d 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  ->  ( (deg `  ( f  o.  G
) )  =  ( (deg `  f )  x.  N )  <->  (deg `  (
( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  o.  G ) )  =  ( (deg `  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  x.  N ) ) )
160155, 159imbi12d 313 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  ->  ( ( (deg
`  f )  <_  D  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) )  <->  ( (deg `  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  <_  D  ->  (deg
`  ( ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) )  o.  G
) )  =  ( (deg `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  x.  N ) ) ) )
161160rspcv 3050 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) )  e.  (Poly `  CC )  ->  ( A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  D  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) )  ->  ( (deg `  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  <_  D  ->  (deg
`  ( ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) )  o.  G
) )  =  ( (deg `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  x.  N ) ) ) )
162118, 149, 153, 161syl3c 60 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (deg `  ( ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) )  o.  G
) )  =  ( (deg `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  x.  N ) )
163148, 162eqtr3d 2472 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `
 ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) ) )  =  ( (deg `  ( F  o F  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  x.  N ) )
164163adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) ) )  =  ( (deg `  ( F  o F  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  x.  N ) )
165 fconstmpt 4923 . . . . . . . . . . 11  |-  ( CC 
X.  { ( A `
 M ) } )  =  ( x  e.  CC  |->  ( A `
 M ) )
166165a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( CC  X.  {
( A `  M
) } )  =  ( x  e.  CC  |->  ( A `  M ) ) )
167 eqidd 2439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ M
) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ M ) ) )
16825, 18, 20, 166, 167offval2 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( CC  X.  { ( A `  M ) } )  o F  x.  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ M ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( ( G `  x ) ^ M ) ) ) )
169168fveq2d 5734 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (deg `  ( ( CC  X.  { ( A `
 M ) } )  o F  x.  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ M
) ) ) )  =  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( ( G `  x ) ^ M ) ) ) ) )
170 eqidd 2439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ M
) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ M ) ) )
1714, 30, 170, 47fmptco 5903 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  CC  |->  ( y ^ M ) )  o.  G )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ M ) ) )
172 ax-1cn 9050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
173172a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
174 plypow 20126 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  1  e.  CC  /\  M  e. 
NN0 )  ->  (
y  e.  CC  |->  ( y ^ M ) )  e.  (Poly `  CC ) )
17551, 173, 16, 174syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ M
) )  e.  (Poly `  CC ) )
176175, 40, 42, 44plyco 20162 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  CC  |->  ( y ^ M ) )  o.  G )  e.  (Poly `  CC ) )
177171, 176eqeltrrd 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ M
) )  e.  (Poly `  CC ) )
178 dgrmulc 20191 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A `  M
)  e.  CC  /\  ( A `  M )  =/=  0  /\  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ M ) )  e.  (Poly `  CC ) )  ->  (deg `  ( ( CC  X.  { ( A `  M ) } )  o F  x.  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ M ) ) ) )  =  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) )
17917, 85, 177, 178syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (deg `  ( ( CC  X.  { ( A `
 M ) } )  o F  x.  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ M
) ) ) )  =  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ M ) ) ) )
180169, 179eqtr3d 2472 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( ( G `  x ) ^ M
) ) ) )  =  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ M ) ) ) )
181180adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) )  =  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) )
182 dgrco.2 . . . . . . 7  |-  N  =  (deg `  G )
18366adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  M  e.  NN )
184 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
1851adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  G  e.  (Poly `  S )
)
186182, 183, 184, 185dgrcolem1 20193 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ M
) ) )  =  ( M  x.  N
) )
187181, 186eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) )  =  ( M  x.  N
) )
188138, 164, 1873brtr4d 4244 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) ) )  <  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) ) )
189 eqid 2438 . . . . 5  |-  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) ) )  =  (deg
`  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `
 ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) ) )
190 eqid 2438 . . . . 5  |-  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) )  =  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( ( G `  x ) ^ M
) ) ) )
191189, 190dgradd2 20188 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) )  e.  (Poly `  CC )  /\  (
x  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( ( G `  x ) ^ M ) ) )  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) ) )  <  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) ) )  ->  (deg `  (
( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) )  o F  +  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) ) )  =  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( ( G `  x ) ^ M ) ) ) ) )
19260, 61, 188, 191syl3anc 1185 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  (deg `  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( F `
 ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) )  o F  +  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) ) )  =  (deg
`  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( ( G `  x ) ^ M
) ) ) ) )
19336, 192, 1873eqtrd 2474 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  (deg `  ( F  o.  G
) )  =  ( M  x.  N ) )
194 0cn 9086 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
195 ffvelrn 5870 . . . . . . . 8  |-  ( ( G : CC --> CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( G `  0
)  e.  CC )
1963, 194, 195sylancl 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G `  0
)  e.  CC )
1977, 196ffvelrnd 5873 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  ( G `  0 )
)  e.  CC )
198 0dgr 20166 . . . . . 6  |-  ( ( F `  ( G `
 0 ) )  e.  CC  ->  (deg `  ( CC  X.  {
( F `  ( G `  0 )
) } ) )  =  0 )
199197, 198syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (deg `  ( CC  X.  { ( F `  ( G `  0 ) ) } ) )  =  0 )
20016nn0cnd 10278 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
201200mul01d 9267 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  x.  0 )  =  0 )
202199, 201eqtr4d 2473 . . . 4  |-  ( ph  ->  (deg `  ( CC  X.  { ( F `  ( G `  0 ) ) } ) )  =  ( M  x.  0 ) )
203202adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  (deg `  ( CC  X.  {
( F `  ( G `  0 )
) } ) )  =  ( M  x.  0 ) )
204196ad2antrr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  N  =  0 )  /\  x  e.  CC )  ->  ( G `  0
)  e.  CC )
205 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  N  =  0 )
206182, 205syl5eqr 2484 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  (deg `  G )  =  0 )
207 0dgrb 20167 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  ( (deg `  G )  =  0  <-> 
G  =  ( CC 
X.  { ( G `
 0 ) } ) ) )
2081, 207syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (deg `  G
)  =  0  <->  G  =  ( CC  X.  { ( G ` 
0 ) } ) ) )
209208adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  (
(deg `  G )  =  0  <->  G  =  ( CC  X.  { ( G `  0 ) } ) ) )
210206, 209mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  G  =  ( CC  X.  { ( G ` 
0 ) } ) )
211 fconstmpt 4923 . . . . . . 7  |-  ( CC 
X.  { ( G `
 0 ) } )  =  ( x  e.  CC  |->  ( G `
 0 ) )
212210, 211syl6eq 2486 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( G ` 
0 ) ) )
21331adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  F  =  ( y  e.  CC  |->  ( F `  y ) ) )
214 fveq2 5730 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( G ` 
0 )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( G `  0 ) ) )
215204, 212, 213, 214fmptco 5903 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  ( F  o.  G )  =  ( x  e.  CC  |->  ( F `  ( G `  0 ) ) ) )
216 fconstmpt 4923 . . . . 5  |-  ( CC 
X.  { ( F `
 ( G ` 
0 ) ) } )  =  ( x  e.  CC  |->  ( F `
 ( G ` 
0 ) ) )
217215, 216syl6eqr 2488 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  ( F  o.  G )  =  ( CC  X.  { ( F `  ( G `  0 ) ) } ) )
218217fveq2d 5734 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  (deg `  ( F  o.  G
) )  =  (deg
`  ( CC  X.  { ( F `  ( G `  0 ) ) } ) ) )
219205oveq2d 6099 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  ( M  x.  N )  =  ( M  x.  0 ) )
220203, 218, 2193eqtr4d 2480 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  (deg `  ( F  o.  G
) )  =  ( M  x.  N ) )
221 dgrcl 20154 . . . . 5  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  (deg `  G
)  e.  NN0 )
2221, 221syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  (deg `  G )  e.  NN0 )
223182, 222syl5eqel 2522 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
224 elnn0 10225 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
225223, 224sylib 190 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0
) )
226193, 220, 225mpjaodan 763 1  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  o.  G ) )  =  ( M  x.  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   ifcif 3741   {csn 3816   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268    X. cxp 4878    o. ccom 4884    Fn wfn 5451   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    o Fcof 6305   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    x. cmul 8997    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293   NNcn 10002   NN0cn0 10223   ^cexp 11384   0 pc0p 19563  Polycply 20105  coeffccoe 20107  degcdgr 20108
This theorem is referenced by:  dgrco  20195
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-0p 19564  df-ply 20109  df-coe 20111  df-dgr 20112
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