Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  diaf1oN Unicode version

Theorem diaf1oN 30079
Description: The partial isomorphism A for a lattice  K is a one-to-one, onto function. Part of Lemma M of [Crawley] p. 121 line 12, with closed subspaces rather than subspaces. See diadm 29984 for the domain. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvadia.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvadia.u  |-  U  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
dvadia.i  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
dvadia.n  |-  ._|_  =  ( ( ocA `  K
) `  W )
dvadia.s  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
Assertion
Ref Expression
diaf1oN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  I : dom  I -1-1-onto-> {
x  e.  S  | 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x } )
Distinct variable groups:    x, H    x, I    x, K    x, S    x, W
Allowed substitution hints:    U( x)    ._|_ ( x)

Proof of Theorem diaf1oN
StepHypRef Expression
1 dvadia.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dvadia.i . . . . 5  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
31, 2diaf11N 29998 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  I : dom  I -1-1-onto-> ran  I )
4 f1of1 5328 . . . 4  |-  ( I : dom  I -1-1-onto-> ran  I  ->  I : dom  I -1-1->
ran  I )
53, 4syl 17 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  I : dom  I -1-1->
ran  I )
6 dvadia.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
7 dvadia.n . . . . 5  |-  ._|_  =  ( ( ocA `  K
) `  W )
8 dvadia.s . . . . 5  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
91, 6, 2, 7, 8diarnN 30078 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ran  I  =  {
x  e.  S  | 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x } )
10 f1eq3 5291 . . . 4  |-  ( ran  I  =  { x  e.  S  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  x }  ->  ( I : dom  I -1-1-> ran  I  <->  I : dom  I -1-1-> {
x  e.  S  | 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x } ) )
119, 10syl 17 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( I : dom  I -1-1-> ran  I  <->  I : dom  I -1-1-> { x  e.  S  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x } ) )
125, 11mpbid 203 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  I : dom  I -1-1-> { x  e.  S  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x } )
13 dff1o5 5338 . 2  |-  ( I : dom  I -1-1-onto-> { x  e.  S  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  x }  <->  ( I : dom  I -1-1-> { x  e.  S  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  x }  /\  ran  I  =  { x  e.  S  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x } ) )
1412, 9, 13sylanbrc 648 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  I : dom  I -1-1-onto-> {
x  e.  S  | 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   {crab 2512   dom cdm 4580   ran crn 4581   -1-1->wf1 4589   -1-1-onto->wf1o 4591   ` cfv 4592   LSubSpclss 15524   HLchlt 28299   LHypclh 28932   DVecAcdveca 29950   DIsoAcdia 29977   ocAcocaN 30068
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-undef 6182  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-fz 10661  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-poset 13924  df-plt 13936  df-lub 13952  df-glb 13953  df-join 13954  df-meet 13955  df-p0 13989  df-p1 13990  df-lat 13996  df-clat 14058  df-lss 15525  df-oposet 28125  df-cmtN 28126  df-ol 28127  df-oml 28128  df-covers 28215  df-ats 28216  df-atl 28247  df-cvlat 28271  df-hlat 28300  df-llines 28446  df-lplanes 28447  df-lvols 28448  df-lines 28449  df-psubsp 28451  df-pmap 28452  df-padd 28744  df-lhyp 28936  df-laut 28937  df-ldil 29052  df-ltrn 29053  df-trl 29107  df-tendo 29703  df-edring 29705  df-dveca 29951  df-disoa 29978  df-docaN 30069
  Copyright terms: Public domain W3C validator