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Theorem dialss 29925
Description: The value of partial isomorphism A is a subspace of partial vector space A. Part of Lemma M of [Crawley] p. 120 line 26. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dialss.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dialss.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dialss.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dialss.u  |-  U  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
dialss.i  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
dialss.s  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
Assertion
Ref Expression
dialss  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  (
I `  X )  e.  S )

Proof of Theorem dialss
StepHypRef Expression
1 eqidd 2254 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  (Scalar `  U )  =  (Scalar `  U ) )
2 dialss.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 eqid 2253 . . . . 5  |-  ( (
TEndo `  K ) `  W )  =  ( ( TEndo `  K ) `  W )
4 dialss.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
5 eqid 2253 . . . . 5  |-  (Scalar `  U )  =  (Scalar `  U )
6 eqid 2253 . . . . 5  |-  ( Base `  (Scalar `  U )
)  =  ( Base `  (Scalar `  U )
)
72, 3, 4, 5, 6dvabase 29885 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  (Scalar `  U ) )  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
)
87eqcomd 2258 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( TEndo `  K
) `  W )  =  ( Base `  (Scalar `  U ) ) )
98adantr 453 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  (
( TEndo `  K ) `  W )  =  (
Base `  (Scalar `  U
) ) )
10 eqid 2253 . . . . 5  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
11 eqid 2253 . . . . 5  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
122, 10, 4, 11dvavbase 29891 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  U
)  =  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
1312eqcomd 2258 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( LTrn `  K
) `  W )  =  ( Base `  U
) )
1413adantr 453 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  (
( LTrn `  K ) `  W )  =  (
Base `  U )
)
15 eqidd 2254 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U
) )
16 eqidd 2254 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  ( .s `  U )  =  ( .s `  U
) )
17 dialss.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
1817a1i 12 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  S  =  ( LSubSp `  U
) )
19 dialss.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
20 dialss.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
21 dialss.i . . 3  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
2219, 20, 2, 10, 21diass 29921 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  (
I `  X )  C_  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
2319, 20, 2, 21dian0 29918 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  (
I `  X )  =/=  (/) )
24 simpll 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
25 simpr1 966 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
)
26 simplr 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )
27 simpr2 967 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  a  e.  ( I `  X
) )
2819, 20, 2, 10, 21diael 29922 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  a  e.  ( I `  X
) )  ->  a  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
2924, 26, 27, 28syl3anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  a  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
30 eqid 2253 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  U )  =  ( .s `  U
)
312, 10, 3, 4, 30dvavsca 29895 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) )  ->  ( x ( .s `  U ) a )  =  ( x `  a ) )
3224, 25, 29, 31syl12anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
x ( .s `  U ) a )  =  ( x `  a ) )
3332oveq1d 5725 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( x ( .s
`  U ) a ) ( +g  `  U
) b )  =  ( ( x `  a ) ( +g  `  U ) b ) )
342, 10, 3tendocl 29645 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W )  /\  a  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( x `  a )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
3524, 25, 29, 34syl3anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
x `  a )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
36 simpr3 968 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  b  e.  ( I `  X
) )
3719, 20, 2, 10, 21diael 29922 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  b  e.  ( I `  X
) )  ->  b  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
3824, 26, 36, 37syl3anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  b  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
39 eqid 2253 . . . . . 6  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
402, 10, 4, 39dvavadd 29893 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( x `
 a )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  b  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) )  ->  ( ( x `
 a ) ( +g  `  U ) b )  =  ( ( x `  a
)  o.  b ) )
4124, 35, 38, 40syl12anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( x `  a
) ( +g  `  U
) b )  =  ( ( x `  a )  o.  b
) )
4233, 41eqtrd 2285 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( x ( .s
`  U ) a ) ( +g  `  U
) b )  =  ( ( x `  a )  o.  b
) )
432, 10ltrnco 29597 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x `  a )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  b  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( x `  a )  o.  b
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
4424, 35, 38, 43syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( x `  a
)  o.  b )  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
) )
45 hllat 28242 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
4645ad3antrrr 713 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  K  e.  Lat )
47 eqid 2253 . . . . . . 7  |-  ( ( trL `  K ) `
 W )  =  ( ( trL `  K
) `  W )
4819, 2, 10, 47trlcl 29042 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( x `
 a )  o.  b )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( ( x `  a )  o.  b
) )  e.  B
)
4924, 44, 48syl2anc 645 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( ( x `  a )  o.  b
) )  e.  B
)
5019, 2, 10, 47trlcl 29042 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x `  a )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( x `  a
) )  e.  B
)
5124, 35, 50syl2anc 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( x `  a
) )  e.  B
)
5219, 2, 10, 47trlcl 29042 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  b  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  b )  e.  B
)
5324, 38, 52syl2anc 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  b )  e.  B
)
54 eqid 2253 . . . . . . 7  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
5519, 54latjcl 14000 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  ( x `  a ) )  e.  B  /\  ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  b )  e.  B
)  ->  ( (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( x `  a
) ) ( join `  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  b ) )  e.  B )
5646, 51, 53, 55syl3anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( ( trL `  K ) `  W
) `  ( x `  a ) ) (
join `  K )
( ( ( trL `  K ) `  W
) `  b )
)  e.  B )
57 simplrl 739 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  X  e.  B )
5820, 54, 2, 10, 47trlco 29605 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x `  a )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  b  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( ( trL `  K ) `  W
) `  ( (
x `  a )  o.  b ) )  .<_  ( ( ( ( trL `  K ) `
 W ) `  ( x `  a
) ) ( join `  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  b ) ) )
5924, 35, 38, 58syl3anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( ( x `  a )  o.  b
) )  .<_  ( ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  ( x `  a
) ) ( join `  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  b ) ) )
6019, 2, 10, 47trlcl 29042 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  a  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  a )  e.  B
)
6124, 29, 60syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  a )  e.  B
)
6220, 2, 10, 47, 3tendotp 29639 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W )  /\  a  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( x `  a
) )  .<_  ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  a ) )
6324, 25, 29, 62syl3anc 1187 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( x `  a
) )  .<_  ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  a ) )
6419, 20, 2, 10, 47, 21diatrl 29923 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  a  e.  ( I `  X
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  a )  .<_  X )
6524, 26, 27, 64syl3anc 1187 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  a )  .<_  X )
6619, 20, 46, 51, 61, 57, 63, 65lattrd 14008 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( x `  a
) )  .<_  X )
6719, 20, 2, 10, 47, 21diatrl 29923 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  b  e.  ( I `  X
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  b )  .<_  X )
6824, 26, 36, 67syl3anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  b )  .<_  X )
6919, 20, 54latjle12 14012 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( ( ( trL `  K ) `
 W ) `  ( x `  a
) )  e.  B  /\  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  b )  e.  B  /\  X  e.  B ) )  -> 
( ( ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  ( x `  a
) )  .<_  X  /\  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  b )  .<_  X )  <->  ( (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( x `  a
) ) ( join `  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  b ) )  .<_  X ) )
7046, 51, 53, 57, 69syl13anc 1189 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( ( ( trL `  K ) `
 W ) `  ( x `  a
) )  .<_  X  /\  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  b )  .<_  X )  <->  ( (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( x `  a
) ) ( join `  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  b ) )  .<_  X ) )
7166, 68, 70mpbi2and 892 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( ( trL `  K ) `  W
) `  ( x `  a ) ) (
join `  K )
( ( ( trL `  K ) `  W
) `  b )
)  .<_  X )
7219, 20, 46, 49, 56, 57, 59, 71lattrd 14008 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( ( x `  a )  o.  b
) )  .<_  X )
7319, 20, 2, 10, 47, 21diaelval 29912 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  (
( ( x `  a )  o.  b
)  e.  ( I `
 X )  <->  ( (
( x `  a
)  o.  b )  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  /\  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( ( x `  a )  o.  b
) )  .<_  X ) ) )
7473adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( x `  a )  o.  b
)  e.  ( I `
 X )  <->  ( (
( x `  a
)  o.  b )  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  /\  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( ( x `  a )  o.  b
) )  .<_  X ) ) )
7544, 72, 74mpbir2and 893 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( x `  a
)  o.  b )  e.  ( I `  X ) )
7642, 75eqeltrd 2327 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( x ( .s
`  U ) a ) ( +g  `  U
) b )  e.  ( I `  X
) )
771, 9, 14, 15, 16, 18, 22, 23, 76islssd 15528 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  (
I `  X )  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   class class class wbr 3920    o. ccom 4584   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   Basecbs 13022   +g cplusg 13082  Scalarcsca 13085   .scvsca 13086   lecple 13089   joincjn 13922   Latclat 13995   LSubSpclss 15524   HLchlt 28229   LHypclh 28862   LTrncltrn 28979   trLctrl 29036   TEndoctendo 29630   DVecAcdveca 29880   DIsoAcdia 29907
This theorem is referenced by:  diasslssN  29938  dia2dimlem5  29947  dia2dimlem7  29949  dia2dimlem9  29951  dia2dimlem10  29952  dia2dimlem13  29955  diblsmopel  30050
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-undef 6182  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-fz 10661  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-poset 13924  df-plt 13936  df-lub 13952  df-glb 13953  df-join 13954  df-meet 13955  df-p0 13989  df-p1 13990  df-lat 13996  df-clat 14058  df-lss 15525  df-oposet 28055  df-ol 28057  df-oml 28058  df-covers 28145  df-ats 28146  df-atl 28177  df-cvlat 28201  df-hlat 28230  df-llines 28376  df-lplanes 28377  df-lvols 28378  df-lines 28379  df-psubsp 28381  df-pmap 28382  df-padd 28674  df-lhyp 28866  df-laut 28867  df-ldil 28982  df-ltrn 28983  df-trl 29037  df-tendo 29633  df-edring 29635  df-dveca 29881  df-disoa 29908
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