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Theorem dialss 31683
Description: The value of partial isomorphism A is a subspace of partial vector space A. Part of Lemma M of [Crawley] p. 120 line 26. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dialss.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dialss.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dialss.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dialss.u  |-  U  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
dialss.i  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
dialss.s  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
Assertion
Ref Expression
dialss  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  (
I `  X )  e.  S )

Proof of Theorem dialss
Dummy variables  a 
b  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2436 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  (Scalar `  U )  =  (Scalar `  U ) )
2 dialss.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( (
TEndo `  K ) `  W )  =  ( ( TEndo `  K ) `  W )
4 dialss.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
5 eqid 2435 . . . . 5  |-  (Scalar `  U )  =  (Scalar `  U )
6 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( Base `  (Scalar `  U )
)  =  ( Base `  (Scalar `  U )
)
72, 3, 4, 5, 6dvabase 31643 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  (Scalar `  U ) )  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
)
87eqcomd 2440 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( TEndo `  K
) `  W )  =  ( Base `  (Scalar `  U ) ) )
98adantr 452 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  (
( TEndo `  K ) `  W )  =  (
Base `  (Scalar `  U
) ) )
10 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
11 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
122, 10, 4, 11dvavbase 31649 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  U
)  =  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
1312eqcomd 2440 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( LTrn `  K
) `  W )  =  ( Base `  U
) )
1413adantr 452 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  (
( LTrn `  K ) `  W )  =  (
Base `  U )
)
15 eqidd 2436 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U
) )
16 eqidd 2436 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  ( .s `  U )  =  ( .s `  U
) )
17 dialss.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
1817a1i 11 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  S  =  ( LSubSp `  U
) )
19 dialss.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
20 dialss.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
21 dialss.i . . 3  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
2219, 20, 2, 10, 21diass 31679 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  (
I `  X )  C_  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
2319, 20, 2, 21dian0 31676 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  (
I `  X )  =/=  (/) )
24 simpll 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
25 simpr1 963 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
)
26 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )
27 simpr2 964 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  a  e.  ( I `  X
) )
2819, 20, 2, 10, 21diael 31680 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  a  e.  ( I `  X
) )  ->  a  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
2924, 26, 27, 28syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  a  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
30 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  U )  =  ( .s `  U
)
312, 10, 3, 4, 30dvavsca 31653 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) )  ->  ( x ( .s `  U ) a )  =  ( x `  a ) )
3224, 25, 29, 31syl12anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
x ( .s `  U ) a )  =  ( x `  a ) )
3332oveq1d 6087 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( x ( .s
`  U ) a ) ( +g  `  U
) b )  =  ( ( x `  a ) ( +g  `  U ) b ) )
342, 10, 3tendocl 31403 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W )  /\  a  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( x `  a )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
3524, 25, 29, 34syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
x `  a )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
36 simpr3 965 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  b  e.  ( I `  X
) )
3719, 20, 2, 10, 21diael 31680 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  b  e.  ( I `  X
) )  ->  b  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
3824, 26, 36, 37syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  b  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
39 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
402, 10, 4, 39dvavadd 31651 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( x `
 a )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  b  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) )  ->  ( ( x `
 a ) ( +g  `  U ) b )  =  ( ( x `  a
)  o.  b ) )
4124, 35, 38, 40syl12anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( x `  a
) ( +g  `  U
) b )  =  ( ( x `  a )  o.  b
) )
4233, 41eqtrd 2467 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( x ( .s
`  U ) a ) ( +g  `  U
) b )  =  ( ( x `  a )  o.  b
) )
432, 10ltrnco 31355 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x `  a )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  b  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( x `  a )  o.  b
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
4424, 35, 38, 43syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( x `  a
)  o.  b )  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
) )
45 hllat 30000 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
4645ad3antrrr 711 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  K  e.  Lat )
47 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( ( trL `  K ) `
 W )  =  ( ( trL `  K
) `  W )
4819, 2, 10, 47trlcl 30800 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( x `
 a )  o.  b )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( ( x `  a )  o.  b
) )  e.  B
)
4924, 44, 48syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( ( x `  a )  o.  b
) )  e.  B
)
5019, 2, 10, 47trlcl 30800 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x `  a )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( x `  a
) )  e.  B
)
5124, 35, 50syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( x `  a
) )  e.  B
)
5219, 2, 10, 47trlcl 30800 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  b  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  b )  e.  B
)
5324, 38, 52syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  b )  e.  B
)
54 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
5519, 54latjcl 14467 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  ( x `  a ) )  e.  B  /\  ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  b )  e.  B
)  ->  ( (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( x `  a
) ) ( join `  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  b ) )  e.  B )
5646, 51, 53, 55syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( ( trL `  K ) `  W
) `  ( x `  a ) ) (
join `  K )
( ( ( trL `  K ) `  W
) `  b )
)  e.  B )
57 simplrl 737 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  X  e.  B )
5820, 54, 2, 10, 47trlco 31363 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x `  a )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  b  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( ( trL `  K ) `  W
) `  ( (
x `  a )  o.  b ) )  .<_  ( ( ( ( trL `  K ) `
 W ) `  ( x `  a
) ) ( join `  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  b ) ) )
5924, 35, 38, 58syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( ( x `  a )  o.  b
) )  .<_  ( ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  ( x `  a
) ) ( join `  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  b ) ) )
6019, 2, 10, 47trlcl 30800 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  a  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  a )  e.  B
)
6124, 29, 60syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  a )  e.  B
)
6220, 2, 10, 47, 3tendotp 31397 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W )  /\  a  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( x `  a
) )  .<_  ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  a ) )
6324, 25, 29, 62syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( x `  a
) )  .<_  ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  a ) )
6419, 20, 2, 10, 47, 21diatrl 31681 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  a  e.  ( I `  X
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  a )  .<_  X )
6524, 26, 27, 64syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  a )  .<_  X )
6619, 20, 46, 51, 61, 57, 63, 65lattrd 14475 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( x `  a
) )  .<_  X )
6719, 20, 2, 10, 47, 21diatrl 31681 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  b  e.  ( I `  X
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  b )  .<_  X )
6824, 26, 36, 67syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  b )  .<_  X )
6919, 20, 54latjle12 14479 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( ( ( trL `  K ) `
 W ) `  ( x `  a
) )  e.  B  /\  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  b )  e.  B  /\  X  e.  B ) )  -> 
( ( ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  ( x `  a
) )  .<_  X  /\  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  b )  .<_  X )  <->  ( (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( x `  a
) ) ( join `  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  b ) )  .<_  X ) )
7046, 51, 53, 57, 69syl13anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( ( ( trL `  K ) `
 W ) `  ( x `  a
) )  .<_  X  /\  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  b )  .<_  X )  <->  ( (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( x `  a
) ) ( join `  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  b ) )  .<_  X ) )
7166, 68, 70mpbi2and 888 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( ( trL `  K ) `  W
) `  ( x `  a ) ) (
join `  K )
( ( ( trL `  K ) `  W
) `  b )
)  .<_  X )
7219, 20, 46, 49, 56, 57, 59, 71lattrd 14475 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( ( x `  a )  o.  b
) )  .<_  X )
7319, 20, 2, 10, 47, 21diaelval 31670 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  (
( ( x `  a )  o.  b
)  e.  ( I `
 X )  <->  ( (
( x `  a
)  o.  b )  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  /\  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( ( x `  a )  o.  b
) )  .<_  X ) ) )
7473adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( x `  a )  o.  b
)  e.  ( I `
 X )  <->  ( (
( x `  a
)  o.  b )  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  /\  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( ( x `  a )  o.  b
) )  .<_  X ) ) )
7544, 72, 74mpbir2and 889 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
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I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( x `  a
)  o.  b )  e.  ( I `  X ) )
7642, 75eqeltrd 2509 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( x ( .s
`  U ) a ) ( +g  `  U
) b )  e.  ( I `  X
) )
771, 9, 14, 15, 16, 18, 22, 23, 76islssd 16000 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  (
I `  X )  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204    o. ccom 4873   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   Basecbs 13457   +g cplusg 13517  Scalarcsca 13520   .scvsca 13521   lecple 13524   joincjn 14389   Latclat 14462   LSubSpclss 15996   HLchlt 29987   LHypclh 30620   LTrncltrn 30737   trLctrl 30794   TEndoctendo 31388   DVecAcdveca 31638   DIsoAcdia 31665
This theorem is referenced by:  diasslssN  31696  dia2dimlem5  31705  dia2dimlem7  31707  dia2dimlem9  31709  dia2dimlem10  31710  dia2dimlem13  31713  diblsmopel  31808
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-undef 6534  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-oadd 6719  df-er 6896  df-map 7011  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-5 10050  df-6 10051  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-fz 11033  df-struct 13459  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-plusg 13530  df-mulr 13531  df-sca 13533  df-vsca 13534  df-poset 14391  df-plt 14403  df-lub 14419  df-glb 14420  df-join 14421  df-meet 14422  df-p0 14456  df-p1 14457  df-lat 14463  df-clat 14525  df-lss 15997  df-oposet 29813  df-ol 29815  df-oml 29816  df-covers 29903  df-ats 29904  df-atl 29935  df-cvlat 29959  df-hlat 29988  df-llines 30134  df-lplanes 30135  df-lvols 30136  df-lines 30137  df-psubsp 30139  df-pmap 30140  df-padd 30432  df-lhyp 30624  df-laut 30625  df-ldil 30740  df-ltrn 30741  df-trl 30795  df-tendo 31391  df-edring 31393  df-dveca 31639  df-disoa 31666
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