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Theorem dialss 30504
Description: The value of partial isomorphism A is a subspace of partial vector space A. Part of Lemma M of [Crawley] p. 120 line 26. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dialss.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dialss.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dialss.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dialss.u  |-  U  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
dialss.i  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
dialss.s  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
Assertion
Ref Expression
dialss  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  (
I `  X )  e.  S )
Dummy variables  a 
b  x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem dialss
StepHypRef Expression
1 eqidd 2286 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  (Scalar `  U )  =  (Scalar `  U ) )
2 dialss.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 eqid 2285 . . . . 5  |-  ( (
TEndo `  K ) `  W )  =  ( ( TEndo `  K ) `  W )
4 dialss.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
5 eqid 2285 . . . . 5  |-  (Scalar `  U )  =  (Scalar `  U )
6 eqid 2285 . . . . 5  |-  ( Base `  (Scalar `  U )
)  =  ( Base `  (Scalar `  U )
)
72, 3, 4, 5, 6dvabase 30464 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  (Scalar `  U ) )  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
)
87eqcomd 2290 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( TEndo `  K
) `  W )  =  ( Base `  (Scalar `  U ) ) )
98adantr 453 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  (
( TEndo `  K ) `  W )  =  (
Base `  (Scalar `  U
) ) )
10 eqid 2285 . . . . 5  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
11 eqid 2285 . . . . 5  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
122, 10, 4, 11dvavbase 30470 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  U
)  =  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
1312eqcomd 2290 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( LTrn `  K
) `  W )  =  ( Base `  U
) )
1413adantr 453 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  (
( LTrn `  K ) `  W )  =  (
Base `  U )
)
15 eqidd 2286 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U
) )
16 eqidd 2286 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  ( .s `  U )  =  ( .s `  U
) )
17 dialss.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
1817a1i 12 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  S  =  ( LSubSp `  U
) )
19 dialss.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
20 dialss.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
21 dialss.i . . 3  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
2219, 20, 2, 10, 21diass 30500 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  (
I `  X )  C_  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
2319, 20, 2, 21dian0 30497 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  (
I `  X )  =/=  (/) )
24 simpll 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
25 simpr1 963 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
)
26 simplr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )
27 simpr2 964 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  a  e.  ( I `  X
) )
2819, 20, 2, 10, 21diael 30501 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  a  e.  ( I `  X
) )  ->  a  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
2924, 26, 27, 28syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  a  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
30 eqid 2285 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  U )  =  ( .s `  U
)
312, 10, 3, 4, 30dvavsca 30474 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) )  ->  ( x ( .s `  U ) a )  =  ( x `  a ) )
3224, 25, 29, 31syl12anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
x ( .s `  U ) a )  =  ( x `  a ) )
3332oveq1d 5835 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( x ( .s
`  U ) a ) ( +g  `  U
) b )  =  ( ( x `  a ) ( +g  `  U ) b ) )
342, 10, 3tendocl 30224 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W )  /\  a  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( x `  a )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
3524, 25, 29, 34syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
x `  a )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
36 simpr3 965 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  b  e.  ( I `  X
) )
3719, 20, 2, 10, 21diael 30501 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  b  e.  ( I `  X
) )  ->  b  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
3824, 26, 36, 37syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  b  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
39 eqid 2285 . . . . . 6  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
402, 10, 4, 39dvavadd 30472 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( x `
 a )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  b  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) )  ->  ( ( x `
 a ) ( +g  `  U ) b )  =  ( ( x `  a
)  o.  b ) )
4124, 35, 38, 40syl12anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( x `  a
) ( +g  `  U
) b )  =  ( ( x `  a )  o.  b
) )
4233, 41eqtrd 2317 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( x ( .s
`  U ) a ) ( +g  `  U
) b )  =  ( ( x `  a )  o.  b
) )
432, 10ltrnco 30176 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x `  a )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  b  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( x `  a )  o.  b
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
4424, 35, 38, 43syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( x `  a
)  o.  b )  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
) )
45 hllat 28821 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
4645ad3antrrr 712 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  K  e.  Lat )
47 eqid 2285 . . . . . . 7  |-  ( ( trL `  K ) `
 W )  =  ( ( trL `  K
) `  W )
4819, 2, 10, 47trlcl 29621 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( x `
 a )  o.  b )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( ( x `  a )  o.  b
) )  e.  B
)
4924, 44, 48syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( ( x `  a )  o.  b
) )  e.  B
)
5019, 2, 10, 47trlcl 29621 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x `  a )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( x `  a
) )  e.  B
)
5124, 35, 50syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( x `  a
) )  e.  B
)
5219, 2, 10, 47trlcl 29621 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  b  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  b )  e.  B
)
5324, 38, 52syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  b )  e.  B
)
54 eqid 2285 . . . . . . 7  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
5519, 54latjcl 14151 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  ( x `  a ) )  e.  B  /\  ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  b )  e.  B
)  ->  ( (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( x `  a
) ) ( join `  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  b ) )  e.  B )
5646, 51, 53, 55syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( ( trL `  K ) `  W
) `  ( x `  a ) ) (
join `  K )
( ( ( trL `  K ) `  W
) `  b )
)  e.  B )
57 simplrl 738 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  X  e.  B )
5820, 54, 2, 10, 47trlco 30184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x `  a )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  b  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( ( trL `  K ) `  W
) `  ( (
x `  a )  o.  b ) )  .<_  ( ( ( ( trL `  K ) `
 W ) `  ( x `  a
) ) ( join `  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  b ) ) )
5924, 35, 38, 58syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( ( x `  a )  o.  b
) )  .<_  ( ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  ( x `  a
) ) ( join `  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  b ) ) )
6019, 2, 10, 47trlcl 29621 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  a  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  a )  e.  B
)
6124, 29, 60syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  a )  e.  B
)
6220, 2, 10, 47, 3tendotp 30218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W )  /\  a  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( x `  a
) )  .<_  ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  a ) )
6324, 25, 29, 62syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( x `  a
) )  .<_  ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  a ) )
6419, 20, 2, 10, 47, 21diatrl 30502 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  a  e.  ( I `  X
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  a )  .<_  X )
6524, 26, 27, 64syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  a )  .<_  X )
6619, 20, 46, 51, 61, 57, 63, 65lattrd 14159 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( x `  a
) )  .<_  X )
6719, 20, 2, 10, 47, 21diatrl 30502 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  b  e.  ( I `  X
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  b )  .<_  X )
6824, 26, 36, 67syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  b )  .<_  X )
6919, 20, 54latjle12 14163 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( ( ( trL `  K ) `
 W ) `  ( x `  a
) )  e.  B  /\  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  b )  e.  B  /\  X  e.  B ) )  -> 
( ( ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  ( x `  a
) )  .<_  X  /\  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  b )  .<_  X )  <->  ( (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( x `  a
) ) ( join `  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  b ) )  .<_  X ) )
7046, 51, 53, 57, 69syl13anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( ( ( trL `  K ) `
 W ) `  ( x `  a
) )  .<_  X  /\  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  b )  .<_  X )  <->  ( (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( x `  a
) ) ( join `  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  b ) )  .<_  X ) )
7166, 68, 70mpbi2and 889 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( ( trL `  K ) `  W
) `  ( x `  a ) ) (
join `  K )
( ( ( trL `  K ) `  W
) `  b )
)  .<_  X )
7219, 20, 46, 49, 56, 57, 59, 71lattrd 14159 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( ( x `  a )  o.  b
) )  .<_  X )
7319, 20, 2, 10, 47, 21diaelval 30491 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  (
( ( x `  a )  o.  b
)  e.  ( I `
 X )  <->  ( (
( x `  a
)  o.  b )  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  /\  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( ( x `  a )  o.  b
) )  .<_  X ) ) )
7473adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( x `  a )  o.  b
)  e.  ( I `
 X )  <->  ( (
( x `  a
)  o.  b )  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  /\  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( ( x `  a )  o.  b
) )  .<_  X ) ) )
7544, 72, 74mpbir2and 890 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( x `  a
)  o.  b )  e.  ( I `  X ) )
7642, 75eqeltrd 2359 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( x ( .s
`  U ) a ) ( +g  `  U
) b )  e.  ( I `  X
) )
771, 9, 14, 15, 16, 18, 22, 23, 76islssd 15688 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  (
I `  X )  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 936    = wceq 1624    e. wcel 1685   class class class wbr 4025    o. ccom 4693   ` cfv 5222  (class class class)co 5820   Basecbs 13143   +g cplusg 13203  Scalarcsca 13206   .scvsca 13207   lecple 13210   joincjn 14073   Latclat 14146   LSubSpclss 15684   HLchlt 28808   LHypclh 29441   LTrncltrn 29558   trLctrl 29615   TEndoctendo 30209   DVecAcdveca 30459   DIsoAcdia 30486
This theorem is referenced by:  diasslssN  30517  dia2dimlem5  30526  dia2dimlem7  30528  dia2dimlem9  30530  dia2dimlem10  30531  dia2dimlem13  30534  diblsmopel  30629
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-undef 6292  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-oadd 6479  df-er 6656  df-map 6770  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-4 9802  df-5 9803  df-6 9804  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-fz 10778  df-struct 13145  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13148  df-plusg 13216  df-mulr 13217  df-sca 13219  df-vsca 13220  df-poset 14075  df-plt 14087  df-lub 14103  df-glb 14104  df-join 14105  df-meet 14106  df-p0 14140  df-p1 14141  df-lat 14147  df-clat 14209  df-lss 15685  df-oposet 28634  df-ol 28636  df-oml 28637  df-covers 28724  df-ats 28725  df-atl 28756  df-cvlat 28780  df-hlat 28809  df-llines 28955  df-lplanes 28956  df-lvols 28957  df-lines 28958  df-psubsp 28960  df-pmap 28961  df-padd 29253  df-lhyp 29445  df-laut 29446  df-ldil 29561  df-ltrn 29562  df-trl 29616  df-tendo 30212  df-edring 30214  df-dveca 30460  df-disoa 30487
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