Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  diarnN Unicode version

Theorem diarnN 31766
Description: Partial isomorphism A maps onto the set of all closed subspaces of partial vector space A. Part of Lemma M of [Crawley] p. 121 line 12, with closed subspaces rather than subspaces. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvadia.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvadia.u  |-  U  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
dvadia.i  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
dvadia.n  |-  ._|_  =  ( ( ocA `  K
) `  W )
dvadia.s  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
Assertion
Ref Expression
diarnN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ran  I  =  {
x  e.  S  | 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x } )
Distinct variable groups:    x, H    x, I    x, K    x, S    x, W
Allowed substitution hints:    U( x)    ._|_ ( x)

Proof of Theorem diarnN
StepHypRef Expression
1 dvadia.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dvadia.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
3 dvadia.i . . . 4  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
4 dvadia.s . . . 4  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
51, 2, 3, 4diasslssN 31696 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ran  I  C_  S
)
6 dfss5 3538 . . 3  |-  ( ran  I  C_  S  <->  ran  I  =  ( S  i^i  ran  I ) )
75, 6sylib 189 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ran  I  =  ( S  i^i  ran  I
) )
8 dvadia.n . . . . . . 7  |-  ._|_  =  ( ( ocA `  K
) `  W )
91, 3, 8doca3N 31764 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  ran  I )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  x )
109ex 424 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( x  e.  ran  I  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) )
1110adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  S
)  ->  ( x  e.  ran  I  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  x ) )
121, 2, 3, 8, 4dvadiaN 31765 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  S  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) )  ->  x  e.  ran  I )
1312expr 599 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  S
)  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  x  ->  x  e.  ran  I ) )
1411, 13impbid 184 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  S
)  ->  ( x  e.  ran  I  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) )
1514rabbi2dva 3541 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( S  i^i  ran  I )  =  {
x  e.  S  | 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x } )
167, 15eqtrd 2467 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ran  I  =  {
x  e.  S  | 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2701    i^i cin 3311    C_ wss 3312   ran crn 4870   ` cfv 5445   LSubSpclss 15996   HLchlt 29987   LHypclh 30620   DVecAcdveca 31638   DIsoAcdia 31665   ocAcocaN 31756
This theorem is referenced by:  diaf1oN  31767
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-undef 6534  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-oadd 6719  df-er 6896  df-map 7011  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-5 10050  df-6 10051  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-fz 11033  df-struct 13459  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-plusg 13530  df-mulr 13531  df-sca 13533  df-vsca 13534  df-poset 14391  df-plt 14403  df-lub 14419  df-glb 14420  df-join 14421  df-meet 14422  df-p0 14456  df-p1 14457  df-lat 14463  df-clat 14525  df-lss 15997  df-oposet 29813  df-cmtN 29814  df-ol 29815  df-oml 29816  df-covers 29903  df-ats 29904  df-atl 29935  df-cvlat 29959  df-hlat 29988  df-llines 30134  df-lplanes 30135  df-lvols 30136  df-lines 30137  df-psubsp 30139  df-pmap 30140  df-padd 30432  df-lhyp 30624  df-laut 30625  df-ldil 30740  df-ltrn 30741  df-trl 30795  df-tendo 31391  df-edring 31393  df-dveca 31639  df-disoa 31666  df-docaN 31757
  Copyright terms: Public domain W3C validator