Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  diarnN Unicode version

Theorem diarnN 30449
Description: Partial isomorphism A maps onto the set of all closed subspaces of partial vector space A. Part of Lemma M of [Crawley] p. 121 line 12, with closed subspaces rather than subspaces. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvadia.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvadia.u  |-  U  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
dvadia.i  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
dvadia.n  |-  ._|_  =  ( ( ocA `  K
) `  W )
dvadia.s  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
Assertion
Ref Expression
diarnN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ran  I  =  {
x  e.  S  | 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x } )
Distinct variable groups:    x, H    x, I    x, K    x, S    x, W
Allowed substitution hints:    U( x)    ._|_ ( x)

Proof of Theorem diarnN
StepHypRef Expression
1 dvadia.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dvadia.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
3 dvadia.i . . . 4  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
4 dvadia.s . . . 4  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
51, 2, 3, 4diasslssN 30379 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ran  I  C_  S
)
6 sseqin2 3330 . . . 4  |-  ( ran  I  C_  S  <->  ( S  i^i  ran  I )  =  ran  I )
7 eqcom 2258 . . . 4  |-  ( ( S  i^i  ran  I
)  =  ran  I  <->  ran  I  =  ( S  i^i  ran  I )
)
86, 7bitri 242 . . 3  |-  ( ran  I  C_  S  <->  ran  I  =  ( S  i^i  ran  I ) )
95, 8sylib 190 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ran  I  =  ( S  i^i  ran  I
) )
10 dvadia.n . . . . . . 7  |-  ._|_  =  ( ( ocA `  K
) `  W )
111, 3, 10doca3N 30447 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  ran  I )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  x )
1211ex 425 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( x  e.  ran  I  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) )
1312adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  S
)  ->  ( x  e.  ran  I  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  x ) )
141, 2, 3, 10, 4dvadiaN 30448 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  S  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) )  ->  x  e.  ran  I )
1514expr 601 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  S
)  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  x  ->  x  e.  ran  I ) )
1613, 15impbid 185 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  S
)  ->  ( x  e.  ran  I  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) )
1716rabbi2dva 3319 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( S  i^i  ran  I )  =  {
x  e.  S  | 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x } )
189, 17eqtrd 2288 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ran  I  =  {
x  e.  S  | 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   {crab 2519    i^i cin 3093    C_ wss 3094   ran crn 4627   ` cfv 4638   LSubSpclss 15616   HLchlt 28670   LHypclh 29303   DVecAcdveca 30321   DIsoAcdia 30348   ocAcocaN 30439
This theorem is referenced by:  diaf1oN  30450
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-iin 3849  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-undef 6229  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-oadd 6416  df-er 6593  df-map 6707  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-4 9739  df-5 9740  df-6 9741  df-n0 9898  df-z 9957  df-uz 10163  df-fz 10714  df-struct 13077  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13080  df-plusg 13148  df-mulr 13149  df-sca 13151  df-vsca 13152  df-poset 14007  df-plt 14019  df-lub 14035  df-glb 14036  df-join 14037  df-meet 14038  df-p0 14072  df-p1 14073  df-lat 14079  df-clat 14141  df-lss 15617  df-oposet 28496  df-cmtN 28497  df-ol 28498  df-oml 28499  df-covers 28586  df-ats 28587  df-atl 28618  df-cvlat 28642  df-hlat 28671  df-llines 28817  df-lplanes 28818  df-lvols 28819  df-lines 28820  df-psubsp 28822  df-pmap 28823  df-padd 29115  df-lhyp 29307  df-laut 29308  df-ldil 29423  df-ltrn 29424  df-trl 29478  df-tendo 30074  df-edring 30076  df-dveca 30322  df-disoa 30349  df-docaN 30440
  Copyright terms: Public domain W3C validator