Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  diarnN Unicode version

Theorem diarnN 30586
Description: Partial isomorphism A maps onto the set of all closed subspaces of partial vector space A. Part of Lemma M of [Crawley] p. 121 line 12, with closed subspaces rather than subspaces. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvadia.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvadia.u  |-  U  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
dvadia.i  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
dvadia.n  |-  ._|_  =  ( ( ocA `  K
) `  W )
dvadia.s  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
Assertion
Ref Expression
diarnN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ran  I  =  {
x  e.  S  | 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x } )
Distinct variable groups:    x, H    x, I    x, K    x, S    x, W
Allowed substitution hints:    U( x)    ._|_ ( x)

Proof of Theorem diarnN
StepHypRef Expression
1 dvadia.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dvadia.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
3 dvadia.i . . . 4  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
4 dvadia.s . . . 4  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
51, 2, 3, 4diasslssN 30516 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ran  I  C_  S
)
6 sseqin2 3389 . . . 4  |-  ( ran  I  C_  S  <->  ( S  i^i  ran  I )  =  ran  I )
7 eqcom 2286 . . . 4  |-  ( ( S  i^i  ran  I
)  =  ran  I  <->  ran  I  =  ( S  i^i  ran  I )
)
86, 7bitri 242 . . 3  |-  ( ran  I  C_  S  <->  ran  I  =  ( S  i^i  ran  I ) )
95, 8sylib 190 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ran  I  =  ( S  i^i  ran  I
) )
10 dvadia.n . . . . . . 7  |-  ._|_  =  ( ( ocA `  K
) `  W )
111, 3, 10doca3N 30584 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  ran  I )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  x )
1211ex 425 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( x  e.  ran  I  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) )
1312adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  S
)  ->  ( x  e.  ran  I  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  x ) )
141, 2, 3, 10, 4dvadiaN 30585 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  S  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) )  ->  x  e.  ran  I )
1514expr 600 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  S
)  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  x  ->  x  e.  ran  I ) )
1613, 15impbid 185 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  S
)  ->  ( x  e.  ran  I  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) )
1716rabbi2dva 3378 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( S  i^i  ran  I )  =  {
x  e.  S  | 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x } )
189, 17eqtrd 2316 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ran  I  =  {
x  e.  S  | 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685   {crab 2548    i^i cin 3152    C_ wss 3153   ran crn 4689   ` cfv 5221   LSubSpclss 15683   HLchlt 28807   LHypclh 29440   DVecAcdveca 30458   DIsoAcdia 30485   ocAcocaN 30576
This theorem is referenced by:  diaf1oN  30587
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-undef 6291  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6655  df-map 6769  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-4 9801  df-5 9802  df-6 9803  df-n0 9961  df-z 10020  df-uz 10226  df-fz 10777  df-struct 13144  df-ndx 13145  df-slot 13146  df-base 13147  df-plusg 13215  df-mulr 13216  df-sca 13218  df-vsca 13219  df-poset 14074  df-plt 14086  df-lub 14102  df-glb 14103  df-join 14104  df-meet 14105  df-p0 14139  df-p1 14140  df-lat 14146  df-clat 14208  df-lss 15684  df-oposet 28633  df-cmtN 28634  df-ol 28635  df-oml 28636  df-covers 28723  df-ats 28724  df-atl 28755  df-cvlat 28779  df-hlat 28808  df-llines 28954  df-lplanes 28955  df-lvols 28956  df-lines 28957  df-psubsp 28959  df-pmap 28960  df-padd 29252  df-lhyp 29444  df-laut 29445  df-ldil 29560  df-ltrn 29561  df-trl 29615  df-tendo 30211  df-edring 30213  df-dveca 30459  df-disoa 30486  df-docaN 30577
  Copyright terms: Public domain W3C validator