Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  diarnN Unicode version

Theorem diarnN 30470
Description: Partial isomorphism A maps onto the set of all closed subspaces of partial vector space A. Part of Lemma M of [Crawley] p. 121 line 12, with closed subspaces rather than subspaces. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvadia.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvadia.u  |-  U  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
dvadia.i  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
dvadia.n  |-  ._|_  =  ( ( ocA `  K
) `  W )
dvadia.s  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
Assertion
Ref Expression
diarnN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ran  I  =  {
x  e.  S  | 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x } )
Distinct variable groups:    x, H    x, I    x, K    x, S    x, W
Allowed substitution hints:    U( x)    ._|_ ( x)

Proof of Theorem diarnN
StepHypRef Expression
1 dvadia.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dvadia.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
3 dvadia.i . . . 4  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
4 dvadia.s . . . 4  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
51, 2, 3, 4diasslssN 30400 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ran  I  C_  S
)
6 sseqin2 3349 . . . 4  |-  ( ran  I  C_  S  <->  ( S  i^i  ran  I )  =  ran  I )
7 eqcom 2258 . . . 4  |-  ( ( S  i^i  ran  I
)  =  ran  I  <->  ran  I  =  ( S  i^i  ran  I )
)
86, 7bitri 242 . . 3  |-  ( ran  I  C_  S  <->  ran  I  =  ( S  i^i  ran  I ) )
95, 8sylib 190 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ran  I  =  ( S  i^i  ran  I
) )
10 dvadia.n . . . . . . 7  |-  ._|_  =  ( ( ocA `  K
) `  W )
111, 3, 10doca3N 30468 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  ran  I )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  x )
1211ex 425 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( x  e.  ran  I  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) )
1312adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  S
)  ->  ( x  e.  ran  I  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  x ) )
141, 2, 3, 10, 4dvadiaN 30469 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  S  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) )  ->  x  e.  ran  I )
1514expr 601 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  S
)  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  x  ->  x  e.  ran  I ) )
1613, 15impbid 185 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  S
)  ->  ( x  e.  ran  I  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) )
1716rabbi2dva 3338 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( S  i^i  ran  I )  =  {
x  e.  S  | 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x } )
189, 17eqtrd 2288 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ran  I  =  {
x  e.  S  | 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   {crab 2520    i^i cin 3112    C_ wss 3113   ran crn 4648   ` cfv 4659   LSubSpclss 15637   HLchlt 28691   LHypclh 29324   DVecAcdveca 30342   DIsoAcdia 30369   ocAcocaN 30460
This theorem is referenced by:  diaf1oN  30471
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-iin 3868  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-iota 6211  df-undef 6250  df-riota 6258  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-1o 6433  df-oadd 6437  df-er 6614  df-map 6728  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-fin 6821  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-n 9701  df-2 9758  df-3 9759  df-4 9760  df-5 9761  df-6 9762  df-n0 9919  df-z 9978  df-uz 10184  df-fz 10735  df-struct 13098  df-ndx 13099  df-slot 13100  df-base 13101  df-plusg 13169  df-mulr 13170  df-sca 13172  df-vsca 13173  df-poset 14028  df-plt 14040  df-lub 14056  df-glb 14057  df-join 14058  df-meet 14059  df-p0 14093  df-p1 14094  df-lat 14100  df-clat 14162  df-lss 15638  df-oposet 28517  df-cmtN 28518  df-ol 28519  df-oml 28520  df-covers 28607  df-ats 28608  df-atl 28639  df-cvlat 28663  df-hlat 28692  df-llines 28838  df-lplanes 28839  df-lvols 28840  df-lines 28841  df-psubsp 28843  df-pmap 28844  df-padd 29136  df-lhyp 29328  df-laut 29329  df-ldil 29444  df-ltrn 29445  df-trl 29499  df-tendo 30095  df-edring 30097  df-dveca 30343  df-disoa 30370  df-docaN 30461
  Copyright terms: Public domain W3C validator