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Theorem dib1dim 31648
Description: Two expressions for the 1-dimensional subspaces of vector space H. (Contributed by NM, 24-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dib1dim.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dib1dim.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dib1dim.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dib1dim.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
dib1dim.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dib1dim.o  |-  O  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
dib1dim.i  |-  I  =  ( ( DIsoB `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
dib1dim  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( I `  ( R `  F
) )  =  {
g  e.  ( T  X.  E )  |  E. s  e.  E  g  =  <. ( s `
 F ) ,  O >. } )
Distinct variable groups:    B, h    g, s, E    g, F, s    H, s    h, s, K    g, O, s    R, s    g, h, T, s    h, W, s
Allowed substitution hints:    B( g, s)    R( g, h)    E( h)    F( h)    H( g, h)    I(
g, h, s)    K( g)    O( h)    W( g)

Proof of Theorem dib1dim
Dummy variables  f 
t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 dib1dim.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
3 dib1dim.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 dib1dim.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
5 dib1dim.r . . . . 5  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
62, 3, 4, 5trlcl 30646 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( R `  F )  e.  B
)
7 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
87, 3, 4, 5trlle 30666 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( R `  F ) ( le
`  K ) W )
9 dib1dim.o . . . . 5  |-  O  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
10 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( (
DIsoA `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoA `  K ) `  W )
11 dib1dim.i . . . . 5  |-  I  =  ( ( DIsoB `  K
) `  W )
122, 7, 3, 4, 9, 10, 11dibval2 31627 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( R `
 F )  e.  B  /\  ( R `
 F ) ( le `  K ) W ) )  -> 
( I `  ( R `  F )
)  =  ( ( ( ( DIsoA `  K
) `  W ) `  ( R `  F
) )  X.  { O } ) )
131, 6, 8, 12syl12anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( I `  ( R `  F
) )  =  ( ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  ( R `  F ) )  X. 
{ O } ) )
14 relxp 4942 . . . 4  |-  Rel  (
( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  ( R `  F ) )  X. 
{ O } )
15 opelxp 4867 . . . . 5  |-  ( <.
f ,  t >.  e.  ( ( ( (
DIsoA `  K ) `  W ) `  ( R `  F )
)  X.  { O } )  <->  ( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  ( R `  F ) )  /\  t  e.  { O } ) )
16 dib1dim.e . . . . . . . . 9  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
173, 4, 5, 16, 10dia1dim 31544 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( (
( DIsoA `  K ) `  W ) `  ( R `  F )
)  =  { f  |  E. s  e.  E  f  =  ( s `  F ) } )
1817abeq2d 2513 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  ( R `  F ) )  <->  E. s  e.  E  f  =  ( s `  F
) ) )
1918anbi1d 686 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( (
f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W ) `  ( R `  F )
)  /\  t  e.  { O } )  <->  ( E. s  e.  E  f  =  ( s `  F )  /\  t  e.  { O } ) ) )
203, 4, 16tendocl 31249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( s `  F )  e.  T
)
21203expa 1153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E )  /\  F  e.  T )  ->  (
s `  F )  e.  T )
2221an32s 780 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  s  e.  E )  ->  (
s `  F )  e.  T )
232, 3, 4, 16, 9tendo0cl 31272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  O  e.  E )
2423ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  s  e.  E )  ->  O  e.  E )
2522, 24jca 519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  s  e.  E )  ->  (
( s `  F
)  e.  T  /\  O  e.  E )
)
26 eleq1 2464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( s `  F )  ->  (
f  e.  T  <->  ( s `  F )  e.  T
) )
27 eleq1 2464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  O  ->  (
t  e.  E  <->  O  e.  E ) )
2826, 27bi2anan9 844 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  ( s `
 F )  /\  t  =  O )  ->  ( ( f  e.  T  /\  t  e.  E )  <->  ( (
s `  F )  e.  T  /\  O  e.  E ) ) )
2925, 28syl5ibrcom 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  s  e.  E )  ->  (
( f  =  ( s `  F )  /\  t  =  O )  ->  ( f  e.  T  /\  t  e.  E ) ) )
3029rexlimdva 2790 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( E. s  e.  E  (
f  =  ( s `
 F )  /\  t  =  O )  ->  ( f  e.  T  /\  t  e.  E
) ) )
3130pm4.71rd 617 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( E. s  e.  E  (
f  =  ( s `
 F )  /\  t  =  O )  <->  ( ( f  e.  T  /\  t  e.  E
)  /\  E. s  e.  E  ( f  =  ( s `  F )  /\  t  =  O ) ) ) )
32 elsn 3789 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  { O }  <->  t  =  O )
3332anbi2i 676 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. s  e.  E  f  =  ( s `  F )  /\  t  e.  { O } )  <-> 
( E. s  e.  E  f  =  ( s `  F )  /\  t  =  O ) )
34 r19.41v 2821 . . . . . . . 8  |-  ( E. s  e.  E  ( f  =  ( s `
 F )  /\  t  =  O )  <->  ( E. s  e.  E  f  =  ( s `  F )  /\  t  =  O ) )
3533, 34bitr4i 244 . . . . . . 7  |-  ( ( E. s  e.  E  f  =  ( s `  F )  /\  t  e.  { O } )  <->  E. s  e.  E  ( f  =  ( s `  F )  /\  t  =  O ) )
36 df-3an 938 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  T  /\  t  e.  E  /\  E. s  e.  E  ( f  =  ( s `
 F )  /\  t  =  O )
)  <->  ( ( f  e.  T  /\  t  e.  E )  /\  E. s  e.  E  (
f  =  ( s `
 F )  /\  t  =  O )
) )
3731, 35, 363bitr4g 280 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( ( E. s  e.  E  f  =  ( s `  F )  /\  t  e.  { O } )  <-> 
( f  e.  T  /\  t  e.  E  /\  E. s  e.  E  ( f  =  ( s `  F )  /\  t  =  O ) ) ) )
3819, 37bitrd 245 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( (
f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W ) `  ( R `  F )
)  /\  t  e.  { O } )  <->  ( f  e.  T  /\  t  e.  E  /\  E. s  e.  E  ( f  =  ( s `  F )  /\  t  =  O ) ) ) )
3915, 38syl5bb 249 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( <. f ,  t >.  e.  ( ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  ( R `  F ) )  X. 
{ O } )  <-> 
( f  e.  T  /\  t  e.  E  /\  E. s  e.  E  ( f  =  ( s `  F )  /\  t  =  O ) ) ) )
4014, 39opabbi2dv 4981 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( (
( ( DIsoA `  K
) `  W ) `  ( R `  F
) )  X.  { O } )  =  { <. f ,  t >.  |  ( f  e.  T  /\  t  e.  E  /\  E. s  e.  E  ( f  =  ( s `  F )  /\  t  =  O ) ) } )
4113, 40eqtrd 2436 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( I `  ( R `  F
) )  =  { <. f ,  t >.  |  ( f  e.  T  /\  t  e.  E  /\  E. s  e.  E  ( f  =  ( s `  F )  /\  t  =  O ) ) } )
42 eqeq1 2410 . . . . 5  |-  ( g  =  <. f ,  t
>.  ->  ( g  = 
<. ( s `  F
) ,  O >.  <->  <. f ,  t >.  =  <. ( s `  F ) ,  O >. )
)
43 vex 2919 . . . . . 6  |-  f  e. 
_V
44 vex 2919 . . . . . 6  |-  t  e. 
_V
4543, 44opth 4395 . . . . 5  |-  ( <.
f ,  t >.  =  <. ( s `  F ) ,  O >.  <-> 
( f  =  ( s `  F )  /\  t  =  O ) )
4642, 45syl6bb 253 . . . 4  |-  ( g  =  <. f ,  t
>.  ->  ( g  = 
<. ( s `  F
) ,  O >.  <->  (
f  =  ( s `
 F )  /\  t  =  O )
) )
4746rexbidv 2687 . . 3  |-  ( g  =  <. f ,  t
>.  ->  ( E. s  e.  E  g  =  <. ( s `  F
) ,  O >.  <->  E. s  e.  E  (
f  =  ( s `
 F )  /\  t  =  O )
) )
4847rabxp 4873 . 2  |-  { g  e.  ( T  X.  E )  |  E. s  e.  E  g  =  <. ( s `  F ) ,  O >. }  =  { <. f ,  t >.  |  ( f  e.  T  /\  t  e.  E  /\  E. s  e.  E  ( f  =  ( s `
 F )  /\  t  =  O )
) }
4941, 48syl6eqr 2454 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( I `  ( R `  F
) )  =  {
g  e.  ( T  X.  E )  |  E. s  e.  E  g  =  <. ( s `
 F ) ,  O >. } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2667   {crab 2670   {csn 3774   <.cop 3777   class class class wbr 4172   {copab 4225    e. cmpt 4226    _I cid 4453    X. cxp 4835    |` cres 4839   ` cfv 5413   Basecbs 13424   lecple 13491   HLchlt 29833   LHypclh 30466   LTrncltrn 30583   trLctrl 30640   TEndoctendo 31234   DIsoAcdia 31511   DIsoBcdib 31621
This theorem is referenced by:  dib1dim2  31651
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-undef 6502  df-riota 6508  df-map 6979  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-p1 14424  df-lat 14430  df-clat 14492  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834  df-llines 29980  df-lplanes 29981  df-lvols 29982  df-lines 29983  df-psubsp 29985  df-pmap 29986  df-padd 30278  df-lhyp 30470  df-laut 30471  df-ldil 30586  df-ltrn 30587  df-trl 30641  df-tendo 31237  df-disoa 31512  df-dib 31622
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