Theorem difex2 2872

Description: If the subtrahend of a class difference exists, then the minuend exists iff the difference exists.

Assertion

Ref	Expression
difex2	|- (B e. C -> (A e. V <-> (A \ B) e. V))

Proof of Theorem difex2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difexg 2717	. 2 |- (A e. V -> (A \ B) e. V)
2		elisset 1813	. . . . . . . 8 |- (B e. C -> B e. V)
3	2	anim1i 334	. . . . . . 7 |- ((B e. C /\ (A \ B) e. V) -> (B e. V /\ (A \ B) e. V))
4	3	ancoms 436	. . . . . 6 |- (((A \ B) e. V /\ B e. C) -> (B e. V /\ (A \ B) e. V))
5		unexb 2868	. . . . . 6 |- ((B e. V /\ (A \ B) e. V) <-> (B u. (A \ B)) e. V)
6	4, 5	sylib 198	. . . . 5 |- (((A \ B) e. V /\ B e. C) -> (B u. (A \ B)) e. V)
7		undif2 2337	. . . . 5 |- (B u. (A \ B)) = (B u. A)
8	6, 7	syl5eqelr 1550	. . . 4 |- (((A \ B) e. V /\ B e. C) -> (B u. A) e. V)
9		ssun2 2190	. . . . 5 |- A (_ (B u. A)
10		ssexg 2716	. . . . 5 |- ((A (_ (B u. A) /\ (B u. A) e. V) -> A e. V)
11	9, 10	mpan 694	. . . 4 |- ((B u. A) e. V -> A e. V)
12	8, 11	syl 10	. . 3 |- (((A \ B) e. V /\ B e. C) -> A e. V)
13	12	expcom 374	. 2 |- (B e. C -> ((A \ B) e. V -> A e. V))
14	1, 13	impbid2 517	1 |- (B e. C -> (A e. V <-> (A \ B) e. V))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 956  Vcvv 1807   \ cdif 2040   u. cun 2041   (_ wss 2043

This theorem is referenced by:  elpwun 2906

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-uni 2499

Copyright terms: Public domain