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Theorem difreicc 11017
Description: The class difference of  RR and a closed interval. (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)
Assertion
Ref Expression
difreicc  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( RR  \  ( A [,] B ) )  =  ( (  -oo (,) A )  u.  ( B (,)  +oo ) ) )

Proof of Theorem difreicc
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldif 3322 . . 3  |-  ( x  e.  ( RR  \ 
( A [,] B
) )  <->  ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  ( A [,] B
) ) )
2 rexr 9119 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
3 rexr 9119 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
4 elicc1 10949 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( A [,] B )  <->  ( x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B
) ) )
52, 3, 4syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] B )  <-> 
( x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
65adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] B
)  <->  ( x  e. 
RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B
) ) )
76notbid 286 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  x  e.  ( A [,] B
)  <->  -.  ( x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B
) ) )
8 3anass 940 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B )  <->  ( x  e.  RR*  /\  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
98notbii 288 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B )  <->  -.  (
x  e.  RR*  /\  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
10 ianor 475 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( x  e.  RR*  /\  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  <->  ( -.  x  e.  RR*  \/  -.  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
11 rexr 9119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
1211pm2.24d 137 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  ( -.  x  e.  RR*  ->  ( x  e.  (  -oo (,) A )  \/  x  e.  ( B (,)  +oo ) ) ) )
1312adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  x  e.  RR*  ->  ( x  e.  (  -oo (,) A
)  \/  x  e.  ( B (,)  +oo ) ) ) )
14 ianor 475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( A  <_  x  /\  x  <_  B )  <-> 
( -.  A  <_  x  \/  -.  x  <_  B ) )
1511ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  A  <_  x )  ->  x  e.  RR* )
16 mnflt 10711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  -oo  <  x )
1716ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  A  <_  x )  ->  -oo  <  x )
18 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
19 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
20 ltnle 9144 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( x  <  A  <->  -.  A  <_  x )
)
2120bicomd 193 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( -.  A  <_  x 
<->  x  <  A ) )
2218, 19, 21syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  A  <_  x  <->  x  <  A ) )
2322biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  A  <_  x )  ->  x  <  A )
24 mnfxr 10703 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -oo  e.  RR*
252ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  A  <_  x )  ->  A  e.  RR* )
26 elioo1 10945 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  (
x  e.  (  -oo (,) A )  <->  ( x  e.  RR*  /\  -oo  <  x  /\  x  <  A
) ) )
2724, 25, 26sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  A  <_  x )  -> 
( x  e.  ( 
-oo (,) A )  <->  ( x  e.  RR*  /\  -oo  <  x  /\  x  <  A
) ) )
2815, 17, 23, 27mpbir3and 1137 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  A  <_  x )  ->  x  e.  (  -oo (,) A ) )
2928ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  A  <_  x  ->  x  e.  (  -oo (,) A ) ) )
30 ltnle 9144 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( B  <  x  <->  -.  x  <_  B )
)
3130adantll 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( B  < 
x  <->  -.  x  <_  B ) )
3211ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  B  <  x )  ->  x  e.  RR* )
33 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  B  <  x )  ->  B  <  x )
34 ltpnf 10710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <  +oo )
3534ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  B  <  x )  ->  x  <  +oo )
363ad3antlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  B  <  x )  ->  B  e.  RR* )
37 pnfxr 10702 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  +oo  e.  RR*
38 elioo1 10945 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( B (,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR*  /\  B  < 
x  /\  x  <  +oo ) ) )
3936, 37, 38sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  B  <  x )  ->  (
x  e.  ( B (,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR*  /\  B  < 
x  /\  x  <  +oo ) ) )
4032, 33, 35, 39mpbir3and 1137 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  B  <  x )  ->  x  e.  ( B (,)  +oo ) )
4140ex 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( B  < 
x  ->  x  e.  ( B (,)  +oo )
) )
4231, 41sylbird 227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  x  <_  B  ->  x  e.  ( B (,)  +oo )
) )
4329, 42orim12d 812 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( -.  A  <_  x  \/  -.  x  <_  B )  ->  ( x  e.  (  -oo (,) A
)  \/  x  e.  ( B (,)  +oo ) ) ) )
4414, 43syl5bi 209 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  ( A  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  (
x  e.  (  -oo (,) A )  \/  x  e.  ( B (,)  +oo ) ) ) )
4513, 44jaod 370 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( -.  x  e.  RR*  \/  -.  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  ->  ( x  e.  (  -oo (,) A
)  \/  x  e.  ( B (,)  +oo ) ) ) )
4610, 45syl5bi 209 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  (
x  e.  RR*  /\  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  -> 
( x  e.  ( 
-oo (,) A )  \/  x  e.  ( B (,)  +oo ) ) ) )
479, 46syl5bi 209 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  (
x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  (
x  e.  (  -oo (,) A )  \/  x  e.  ( B (,)  +oo ) ) ) )
487, 47sylbid 207 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  x  e.  ( A [,] B
)  ->  ( x  e.  (  -oo (,) A
)  \/  x  e.  ( B (,)  +oo ) ) ) )
4948expimpd 587 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
x  e.  (  -oo (,) A )  \/  x  e.  ( B (,)  +oo ) ) ) )
50 elun 3480 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( (  -oo (,) A )  u.  ( B (,)  +oo ) )  <->  ( x  e.  (  -oo (,) A
)  \/  x  e.  ( B (,)  +oo ) ) )
5149, 50syl6ibr 219 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  ( A [,] B
) )  ->  x  e.  ( (  -oo (,) A )  u.  ( B (,)  +oo ) ) ) )
52 ioossre 10961 . . . . . . . . 9  |-  (  -oo (,) A )  C_  RR
53 ioossre 10961 . . . . . . . . 9  |-  ( B (,)  +oo )  C_  RR
5452, 53unssi 3514 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
-oo (,) A )  u.  ( B (,)  +oo ) )  C_  RR
5554sseli 3336 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( (  -oo (,) A )  u.  ( B (,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR )
5655adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( (  -oo (,) A
)  u.  ( B (,)  +oo ) ) )  ->  x  e.  RR )
57 elioo2 10946 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  (
x  e.  (  -oo (,) A )  <->  ( x  e.  RR  /\  -oo  <  x  /\  x  <  A
) ) )
5824, 2, 57sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  RR  ->  (
x  e.  (  -oo (,) A )  <->  ( x  e.  RR  /\  -oo  <  x  /\  x  <  A
) ) )
5958adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( 
-oo (,) A )  <->  ( x  e.  RR  /\  -oo  <  x  /\  x  <  A
) ) )
6020biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( x  <  A  ->  -.  A  <_  x
) )
6160ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  ->  ( x  <  A  ->  -.  A  <_  x ) ) )
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (  -oo  <  x  ->  ( x  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  ->  ( x  <  A  ->  -.  A  <_  x ) ) ) )
6362com13 76 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  RR  ->  (
x  e.  RR  ->  ( 
-oo  <  x  ->  (
x  <  A  ->  -.  A  <_  x )
) ) )
6463adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  RR  ->  (  -oo  <  x  ->  ( x  <  A  ->  -.  A  <_  x
) ) ) )
65643impd 1167 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  RR  /\  -oo  <  x  /\  x  <  A
)  ->  -.  A  <_  x ) )
6659, 65sylbid 207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( 
-oo (,) A )  ->  -.  A  <_  x ) )
673adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR* )
6867, 37, 38sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( B (,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR*  /\  B  <  x  /\  x  <  +oo ) ) )
69 xrltnle 9133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  ( B  <  x  <->  -.  x  <_  B ) )
7069biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  ( B  <  x  ->  -.  x  <_  B ) )
7170ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( x  e.  RR*  ->  ( B  <  x  ->  -.  x  <_  B ) ) )
7271com3l 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( B  <  x  ->  ( B  e.  RR*  ->  -.  x  <_  B ) ) )
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  <  +oo  ->  ( x  e.  RR*  ->  ( B  <  x  ->  ( B  e.  RR*  ->  -.  x  <_  B ) ) ) )
7473com14 84 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( x  e.  RR*  ->  ( B  <  x  ->  (
x  <  +oo  ->  -.  x  <_  B ) ) ) )
753, 74syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  RR  ->  (
x  e.  RR*  ->  ( B  <  x  -> 
( x  <  +oo  ->  -.  x  <_  B
) ) ) )
7675adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  RR*  ->  ( B  <  x  ->  ( x  <  +oo  ->  -.  x  <_  B
) ) ) )
77763impd 1167 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e. 
RR*  /\  B  <  x  /\  x  <  +oo )  ->  -.  x  <_  B ) )
7868, 77sylbid 207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( B (,)  +oo )  ->  -.  x  <_  B
) )
7966, 78orim12d 812 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  (  -oo (,) A
)  \/  x  e.  ( B (,)  +oo ) )  ->  ( -.  A  <_  x  \/ 
-.  x  <_  B
) ) )
8050, 79syl5bi 209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( (  -oo (,) A
)  u.  ( B (,)  +oo ) )  -> 
( -.  A  <_  x  \/  -.  x  <_  B ) ) )
8180imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( (  -oo (,) A
)  u.  ( B (,)  +oo ) ) )  ->  ( -.  A  <_  x  \/  -.  x  <_  B ) )
8281, 14sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( (  -oo (,) A
)  u.  ( B (,)  +oo ) ) )  ->  -.  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) )
8382intnand 883 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( (  -oo (,) A
)  u.  ( B (,)  +oo ) ) )  ->  -.  ( x  e.  RR*  /\  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
8483, 8sylnibr 297 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( (  -oo (,) A
)  u.  ( B (,)  +oo ) ) )  ->  -.  ( x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B
) )
852, 3anim12i 550 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
8685adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( (  -oo (,) A
)  u.  ( B (,)  +oo ) ) )  ->  ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* ) )
874notbid 286 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( -.  x  e.  ( A [,] B )  <->  -.  (
x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
8886, 87syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( (  -oo (,) A
)  u.  ( B (,)  +oo ) ) )  ->  ( -.  x  e.  ( A [,] B
)  <->  -.  ( x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B
) ) )
8984, 88mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( (  -oo (,) A
)  u.  ( B (,)  +oo ) ) )  ->  -.  x  e.  ( A [,] B ) )
9056, 89jca 519 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( (  -oo (,) A
)  u.  ( B (,)  +oo ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  ( A [,] B
) ) )
9190ex 424 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( (  -oo (,) A
)  u.  ( B (,)  +oo ) )  -> 
( x  e.  RR  /\ 
-.  x  e.  ( A [,] B ) ) ) )
9251, 91impbid 184 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  ( A [,] B
) )  <->  x  e.  ( (  -oo (,) A )  u.  ( B (,)  +oo ) ) ) )
931, 92syl5bb 249 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( RR  \  ( A [,] B ) )  <-> 
x  e.  ( ( 
-oo (,) A )  u.  ( B (,)  +oo ) ) ) )
9493eqrdv 2433 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( RR  \  ( A [,] B ) )  =  ( (  -oo (,) A )  u.  ( B (,)  +oo ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    \ cdif 3309    u. cun 3310   class class class wbr 4204  (class class class)co 6072   RRcr 8978    +oocpnf 9106    -oocmnf 9107   RR*cxr 9108    < clt 9109    <_ cle 9110   (,)cioo 10905   [,]cicc 10908
This theorem is referenced by:  icccld  18789  iccmbl  19448  mbfimaicc  19513
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-ioo 10909  df-icc 10912
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