Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dih11 Unicode version

Theorem dih11 30705
Description: The isomorphism H is one-to-one. Part of proof after Lemma N of [Crawley] p. 122 line 6. (Contributed by NM, 7-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dih11.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dih11.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dih11.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
dih11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  ->  ( (
I `  X )  =  ( I `  Y )  <->  X  =  Y ) )

Proof of Theorem dih11
StepHypRef Expression
1 eqss 3169 . 2  |-  ( ( I `  X )  =  ( I `  Y )  <->  ( (
I `  X )  C_  ( I `  Y
)  /\  ( I `  Y )  C_  (
I `  X )
) )
2 dih11.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
3 eqid 2258 . . . . 5  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
4 dih11.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 dih11.i . . . . 5  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
62, 3, 4, 5dihord 30704 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  ->  ( (
I `  X )  C_  ( I `  Y
)  <->  X ( le `  K ) Y ) )
72, 3, 4, 5dihord 30704 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B
)  ->  ( (
I `  Y )  C_  ( I `  X
)  <->  Y ( le `  K ) X ) )
873com23 1162 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  ->  ( (
I `  Y )  C_  ( I `  X
)  <->  Y ( le `  K ) X ) )
96, 8anbi12d 694 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  ->  ( (
( I `  X
)  C_  ( I `  Y )  /\  (
I `  Y )  C_  ( I `  X
) )  <->  ( X
( le `  K
) Y  /\  Y
( le `  K
) X ) ) )
10 simp1l 984 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  ->  K  e.  HL )
11 hllat 28803 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
1210, 11syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  ->  K  e.  Lat )
132, 3latasymb 14123 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X ( le `  K ) Y  /\  Y ( le `  K ) X )  <->  X  =  Y ) )
1412, 13syld3an1 1233 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  ->  ( ( X ( le `  K ) Y  /\  Y ( le `  K ) X )  <-> 
X  =  Y ) )
159, 14bitrd 246 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  ->  ( (
( I `  X
)  C_  ( I `  Y )  /\  (
I `  Y )  C_  ( I `  X
) )  <->  X  =  Y ) )
161, 15syl5bb 250 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  ->  ( (
I `  X )  =  ( I `  Y )  <->  X  =  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    C_ wss 3127   class class class wbr 3997   ` cfv 4673   Basecbs 13111   lecple 13178   Latclat 14114   HLchlt 28790   LHypclh 29423   DIsoHcdih 30668
This theorem is referenced by:  dihf11  30707  dihcnv11  30715  dih0bN  30721  dihlspsnat  30773  dihatexv  30778  dihatexv2  30779  dihmeet2  30786  dochvalr3  30803  djhljjN  30842  dihjat5N  30877
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-fal 1316  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-iin 3882  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-tpos 6168  df-iota 6225  df-undef 6264  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-oadd 6451  df-er 6628  df-map 6742  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-4 9774  df-5 9775  df-6 9776  df-n0 9934  df-z 9993  df-uz 10199  df-fz 10750  df-struct 13113  df-ndx 13114  df-slot 13115  df-base 13116  df-sets 13117  df-ress 13118  df-plusg 13184  df-mulr 13185  df-sca 13187  df-vsca 13188  df-0g 13367  df-poset 14043  df-plt 14055  df-lub 14071  df-glb 14072  df-join 14073  df-meet 14074  df-p0 14108  df-p1 14109  df-lat 14115  df-clat 14177  df-mnd 14330  df-submnd 14379  df-grp 14452  df-minusg 14453  df-sbg 14454  df-subg 14581  df-cntz 14756  df-lsm 14910  df-cmn 15054  df-abl 15055  df-mgp 15289  df-ring 15303  df-ur 15305  df-oppr 15368  df-dvdsr 15386  df-unit 15387  df-invr 15417  df-dvr 15428  df-drng 15477  df-lmod 15592  df-lss 15653  df-lsp 15692  df-lvec 15819  df-oposet 28616  df-ol 28618  df-oml 28619  df-covers 28706  df-ats 28707  df-atl 28738  df-cvlat 28762  df-hlat 28791  df-llines 28937  df-lplanes 28938  df-lvols 28939  df-lines 28940  df-psubsp 28942  df-pmap 28943  df-padd 29235  df-lhyp 29427  df-laut 29428  df-ldil 29543  df-ltrn 29544  df-trl 29598  df-tendo 30194  df-edring 30196  df-disoa 30469  df-dvech 30519  df-dib 30579  df-dic 30613  df-dih 30669
  Copyright terms: Public domain W3C validator