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Theorem dih1dimatlem0 32053
Description: Lemma for dih1dimat 32055. (Contributed by NM, 11-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dih1dimat.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dih1dimat.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dih1dimat.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dih1dimat.a  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
dih1dimat.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dih1dimat.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dih1dimat.c  |-  C  =  ( Atoms `  K )
dih1dimat.p  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
dih1dimat.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dih1dimat.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
dih1dimat.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dih1dimat.o  |-  O  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
dih1dimat.d  |-  F  =  (Scalar `  U )
dih1dimat.j  |-  J  =  ( invr `  F
)
dih1dimat.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dih1dimat.m  |-  .x.  =  ( .s `  U )
dih1dimat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
dih1dimat.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
dih1dimat.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
dih1dimat.g  |-  G  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  ( ( ( J `  s
) `  f ) `  P ) )
Assertion
Ref Expression
dih1dimatlem0  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O )  ->  (
( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E
)  <->  ( ( i  e.  T  /\  p  e.  E )  /\  E. t  e.  E  (
i  =  ( t `
 f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    .<_ , h    B, h    f, i, p, s, t, E    t, F    C, h    i, G, p, t    t, h, J   
f, N, s, t   
f, h, K, i, p, s, t    T, f, h, i, p, s, t    U, f, h, s, t    f, H, h, i, p, s, t   
f, V, i, p, s, t    f, W, h, i, p, s, t    f, I, s   
i, O, p, t    P, h    t,  .x.
Allowed substitution hints:    A( t, f, h, i, s, p)    B( t, f, i, s, p)    C( t, f, i, s, p)    P( t,
f, i, s, p)    R( t, f, h, i, s, p)    S( t,
f, h, i, s, p)    .x. ( f, h, i, s, p)    U( i, p)    E( h)    F( f, h, i, s, p)    G( f, h, s)    I( t, h, i, p)    J( f, i, s, p)    .<_ ( t, f, i, s, p)    N( h, i, p)    O( f, h, s)    V( h)    .0. ( t, f, h, i, s, p)

Proof of Theorem dih1dimatlem0
StepHypRef Expression
1 simprl 733 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  -> 
i  =  ( p `
 G ) )
2 simpl1 960 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3 simprr 734 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  ->  p  e.  E )
4 dih1dimat.l . . . . . . . 8  |-  .<_  =  ( le `  K )
5 dih1dimat.c . . . . . . . 8  |-  C  =  ( Atoms `  K )
6 dih1dimat.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
7 dih1dimat.p . . . . . . . 8  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
84, 5, 6, 7lhpocnel2 30743 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( P  e.  C  /\  -.  P  .<_  W ) )
92, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  -> 
( P  e.  C  /\  -.  P  .<_  W ) )
10 simpl2r 1011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  -> 
s  e.  E )
11 simpl3 962 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  -> 
s  =/=  O )
12 dih1dimat.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  K
)
13 dih1dimat.t . . . . . . . . . . 11  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
14 dih1dimat.e . . . . . . . . . . 11  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
15 dih1dimat.o . . . . . . . . . . 11  |-  O  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
16 dih1dimat.u . . . . . . . . . . 11  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
17 dih1dimat.d . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  (Scalar `  U )
18 dih1dimat.j . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  ( invr `  F
)
1912, 6, 13, 14, 15, 16, 17, 18tendoinvcl 31829 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  s  =/=  O
)  ->  ( ( J `  s )  e.  E  /\  ( J `  s )  =/=  O ) )
2019simpld 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  s  =/=  O
)  ->  ( J `  s )  e.  E
)
212, 10, 11, 20syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  -> 
( J `  s
)  e.  E )
22 simpl2l 1010 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  -> 
f  e.  T )
236, 13, 14tendocl 31491 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( J `  s )  e.  E  /\  f  e.  T
)  ->  ( ( J `  s ) `  f )  e.  T
)
242, 21, 22, 23syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  -> 
( ( J `  s ) `  f
)  e.  T )
254, 5, 6, 13ltrnel 30863 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( J `
 s ) `  f )  e.  T  /\  ( P  e.  C  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( ( J `  s ) `  f
) `  P )  e.  C  /\  -.  (
( ( J `  s ) `  f
) `  P )  .<_  W ) )
262, 24, 9, 25syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  -> 
( ( ( ( J `  s ) `
 f ) `  P )  e.  C  /\  -.  ( ( ( J `  s ) `
 f ) `  P )  .<_  W ) )
27 dih1dimat.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  ( ( ( J `  s
) `  f ) `  P ) )
284, 5, 6, 13, 27ltrniotacl 31303 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  C  /\  -.  P  .<_  W )  /\  (
( ( ( J `
 s ) `  f ) `  P
)  e.  C  /\  -.  ( ( ( J `
 s ) `  f ) `  P
)  .<_  W ) )  ->  G  e.  T
)
292, 9, 26, 28syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  ->  G  e.  T )
306, 13, 14tendocl 31491 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  p  e.  E  /\  G  e.  T
)  ->  ( p `  G )  e.  T
)
312, 3, 29, 30syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  -> 
( p `  G
)  e.  T )
321, 31eqeltrd 2509 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  -> 
i  e.  T )
336, 14tendococl 31496 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  p  e.  E  /\  ( J `  s
)  e.  E )  ->  ( p  o.  ( J `  s
) )  e.  E
)
342, 3, 21, 33syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  -> 
( p  o.  ( J `  s )
)  e.  E )
35 simp1 957 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3683ad2ant1 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O )  ->  ( P  e.  C  /\  -.  P  .<_  W ) )
37203adant2l 1178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O )  ->  ( J `  s )  e.  E )
38 simp2l 983 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O )  ->  f  e.  T )
3935, 37, 38, 23syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O )  ->  (
( J `  s
) `  f )  e.  T )
4035, 39, 36, 25syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O )  ->  (
( ( ( J `
 s ) `  f ) `  P
)  e.  C  /\  -.  ( ( ( J `
 s ) `  f ) `  P
)  .<_  W ) )
4135, 36, 40, 28syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O )  ->  G  e.  T )
424, 5, 6, 13, 27ltrniotaval 31305 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  C  /\  -.  P  .<_  W )  /\  (
( ( ( J `
 s ) `  f ) `  P
)  e.  C  /\  -.  ( ( ( J `
 s ) `  f ) `  P
)  .<_  W ) )  ->  ( G `  P )  =  ( ( ( J `  s ) `  f
) `  P )
)
4335, 36, 40, 42syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O )  ->  ( G `  P )  =  ( ( ( J `  s ) `
 f ) `  P ) )
444, 5, 6, 13cdlemd 30931 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  (
( J `  s
) `  f )  e.  T )  /\  ( P  e.  C  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =  ( ( ( J `  s ) `  f
) `  P )
)  ->  G  =  ( ( J `  s ) `  f
) )
4535, 41, 39, 36, 43, 44syl311anc 1198 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O )  ->  G  =  ( ( J `
 s ) `  f ) )
4645adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  ->  G  =  ( ( J `  s ) `  f ) )
4746fveq2d 5724 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  -> 
( p `  G
)  =  ( p `
 ( ( J `
 s ) `  f ) ) )
486, 13, 14tendocoval 31490 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( p  e.  E  /\  ( J `
 s )  e.  E )  /\  f  e.  T )  ->  (
( p  o.  ( J `  s )
) `  f )  =  ( p `  ( ( J `  s ) `  f
) ) )
492, 3, 21, 22, 48syl121anc 1189 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  -> 
( ( p  o.  ( J `  s
) ) `  f
)  =  ( p `
 ( ( J `
 s ) `  f ) ) )
5047, 1, 493eqtr4d 2477 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  -> 
i  =  ( ( p  o.  ( J `
 s ) ) `
 f ) )
51 coass 5380 . . . . 5  |-  ( ( p  o.  ( J `
 s ) )  o.  s )  =  ( p  o.  (
( J `  s
)  o.  s ) )
5212, 6, 13, 14, 15, 16, 17, 18tendolinv 31830 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  s  =/=  O
)  ->  ( ( J `  s )  o.  s )  =  (  _I  |`  T )
)
532, 10, 11, 52syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  -> 
( ( J `  s )  o.  s
)  =  (  _I  |`  T ) )
5453coeq2d 5027 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  -> 
( p  o.  (
( J `  s
)  o.  s ) )  =  ( p  o.  (  _I  |`  T ) ) )
556, 13, 14tendo1mulr 31495 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  p  e.  E
)  ->  ( p  o.  (  _I  |`  T ) )  =  p )
562, 3, 55syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  -> 
( p  o.  (  _I  |`  T ) )  =  p )
5754, 56eqtrd 2467 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  -> 
( p  o.  (
( J `  s
)  o.  s ) )  =  p )
5851, 57syl5req 2480 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  ->  p  =  ( (
p  o.  ( J `
 s ) )  o.  s ) )
59 fveq1 5719 . . . . . . 7  |-  ( t  =  ( p  o.  ( J `  s
) )  ->  (
t `  f )  =  ( ( p  o.  ( J `  s ) ) `  f ) )
6059eqeq2d 2446 . . . . . 6  |-  ( t  =  ( p  o.  ( J `  s
) )  ->  (
i  =  ( t `
 f )  <->  i  =  ( ( p  o.  ( J `  s
) ) `  f
) ) )
61 coeq1 5022 . . . . . . 7  |-  ( t  =  ( p  o.  ( J `  s
) )  ->  (
t  o.  s )  =  ( ( p  o.  ( J `  s ) )  o.  s ) )
6261eqeq2d 2446 . . . . . 6  |-  ( t  =  ( p  o.  ( J `  s
) )  ->  (
p  =  ( t  o.  s )  <->  p  =  ( ( p  o.  ( J `  s
) )  o.  s
) ) )
6360, 62anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( t  =  ( p  o.  ( J `  s
) )  ->  (
( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) )  <->  ( i  =  ( ( p  o.  ( J `  s
) ) `  f
)  /\  p  =  ( ( p  o.  ( J `  s
) )  o.  s
) ) ) )
6463rspcev 3044 . . . 4  |-  ( ( ( p  o.  ( J `  s )
)  e.  E  /\  ( i  =  ( ( p  o.  ( J `  s )
) `  f )  /\  p  =  (
( p  o.  ( J `  s )
)  o.  s ) ) )  ->  E. t  e.  E  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )
6534, 50, 58, 64syl12anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  ->  E. t  e.  E  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )
6632, 3, 65jca31 521 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  -> 
( ( i  e.  T  /\  p  e.  E )  /\  E. t  e.  E  (
i  =  ( t `
 f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) ) )
67 simp3r 986 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  /\  t  e.  E  /\  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )  ->  p  =  ( t  o.  s ) )
6867fveq1d 5722 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  /\  t  e.  E  /\  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )  ->  (
p `  ( ( J `  s ) `  f ) )  =  ( ( t  o.  s ) `  (
( J `  s
) `  f )
) )
69 simp1l1 1050 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  /\  t  e.  E  /\  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
70 simp2 958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  /\  t  e.  E  /\  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )  ->  t  e.  E )
71 simpl2r 1011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  -> 
s  e.  E )
72713ad2ant1 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  /\  t  e.  E  /\  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )  ->  s  e.  E )
736, 14tendococl 31496 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  t  e.  E  /\  s  e.  E
)  ->  ( t  o.  s )  e.  E
)
7469, 70, 72, 73syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  /\  t  e.  E  /\  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )  ->  (
t  o.  s )  e.  E )
75 simp1l3 1052 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  /\  t  e.  E  /\  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )  ->  s  =/=  O )
7669, 72, 75, 20syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  /\  t  e.  E  /\  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )  ->  ( J `  s )  e.  E )
77 simpl2l 1010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  -> 
f  e.  T )
78773ad2ant1 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  /\  t  e.  E  /\  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )  ->  f  e.  T )
796, 13, 14tendocoval 31490 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( t  o.  s )  e.  E  /\  ( J `
 s )  e.  E )  /\  f  e.  T )  ->  (
( ( t  o.  s )  o.  ( J `  s )
) `  f )  =  ( ( t  o.  s ) `  ( ( J `  s ) `  f
) ) )
8069, 74, 76, 78, 79syl121anc 1189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  /\  t  e.  E  /\  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )  ->  (
( ( t  o.  s )  o.  ( J `  s )
) `  f )  =  ( ( t  o.  s ) `  ( ( J `  s ) `  f
) ) )
81 coass 5380 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  o.  s )  o.  ( J `  s ) )  =  ( t  o.  (
s  o.  ( J `
 s ) ) )
8212, 6, 13, 14, 15, 16, 17, 18tendorinv 31831 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  s  =/=  O
)  ->  ( s  o.  ( J `  s
) )  =  (  _I  |`  T )
)
8369, 72, 75, 82syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  /\  t  e.  E  /\  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )  ->  (
s  o.  ( J `
 s ) )  =  (  _I  |`  T ) )
8483coeq2d 5027 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  /\  t  e.  E  /\  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )  ->  (
t  o.  ( s  o.  ( J `  s ) ) )  =  ( t  o.  (  _I  |`  T ) ) )
856, 13, 14tendo1mulr 31495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  t  e.  E
)  ->  ( t  o.  (  _I  |`  T ) )  =  t )
8669, 70, 85syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  /\  t  e.  E  /\  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )  ->  (
t  o.  (  _I  |`  T ) )  =  t )
8784, 86eqtrd 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  /\  t  e.  E  /\  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )  ->  (
t  o.  ( s  o.  ( J `  s ) ) )  =  t )
8881, 87syl5eq 2479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  /\  t  e.  E  /\  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )  ->  (
( t  o.  s
)  o.  ( J `
 s ) )  =  t )
8988fveq1d 5722 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  /\  t  e.  E  /\  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )  ->  (
( ( t  o.  s )  o.  ( J `  s )
) `  f )  =  ( t `  f ) )
9068, 80, 893eqtr2rd 2474 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  /\  t  e.  E  /\  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )  ->  (
t `  f )  =  ( p `  ( ( J `  s ) `  f
) ) )
91 simp3l 985 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  /\  t  e.  E  /\  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )  ->  i  =  ( t `  f ) )
9245adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  ->  G  =  ( ( J `  s ) `  f ) )
93923ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  /\  t  e.  E  /\  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )  ->  G  =  ( ( J `
 s ) `  f ) )
9493fveq2d 5724 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  /\  t  e.  E  /\  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )  ->  (
p `  G )  =  ( p `  ( ( J `  s ) `  f
) ) )
9590, 91, 943eqtr4d 2477 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  /\  t  e.  E  /\  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )  ->  i  =  ( p `  G ) )
9695rexlimdv3a 2824 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  -> 
( E. t  e.  E  ( i  =  ( t `  f
)  /\  p  =  ( t  o.  s
) )  ->  i  =  ( p `  G ) ) )
9796impr 603 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( (
i  e.  T  /\  p  e.  E )  /\  E. t  e.  E  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) ) )  -> 
i  =  ( p `
 G ) )
98 simprlr 740 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( (
i  e.  T  /\  p  e.  E )  /\  E. t  e.  E  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) ) )  ->  p  e.  E )
9997, 98jca 519 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( (
i  e.  T  /\  p  e.  E )  /\  E. t  e.  E  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) ) )  -> 
( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E
) )
10066, 99impbida 806 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O )  ->  (
( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E
)  <->  ( ( i  e.  T  /\  p  e.  E )  /\  E. t  e.  E  (
i  =  ( t `
 f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   E.wrex 2698   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258    _I cid 4485    |` cres 4872    o. ccom 4874   ` cfv 5446   iota_crio 6534   Basecbs 13461  Scalarcsca 13524   .scvsca 13525   lecple 13528   occoc 13529   0gc0g 13715   invrcinvr 15768   LSubSpclss 16000   LSpanclspn 16039  LSAtomsclsa 29699   Atomscatm 29988   HLchlt 30075   LHypclh 30708   LTrncltrn 30825   trLctrl 30882   TEndoctendo 31476   DVecHcdvh 31803   DIsoHcdih 31953
This theorem is referenced by:  dih1dimatlem  32054
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-fal 1329  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-undef 6535  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-0g 13719  df-poset 14395  df-plt 14407  df-lub 14423  df-glb 14424  df-join 14425  df-meet 14426  df-p0 14460  df-p1 14461  df-lat 14467  df-clat 14529  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-invr 15769  df-dvr 15780  df-drng 15829  df-oposet 29901  df-ol 29903  df-oml 29904  df-covers 29991  df-ats 29992  df-atl 30023  df-cvlat 30047  df-hlat 30076  df-llines 30222  df-lplanes 30223  df-lvols 30224  df-lines 30225  df-psubsp 30227  df-pmap 30228  df-padd 30520  df-lhyp 30712  df-laut 30713  df-ldil 30828  df-ltrn 30829  df-trl 30883  df-tendo 31479  df-edring 31481  df-dvech 31804
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