Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihf11 Unicode version

Theorem dihf11 30725
Description: The isomorphism H for a lattice  K is a one-to-one function. . Part of proof after Lemma N of [Crawley] p. 122 line 6. (Contributed by NM, 7-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihf11.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihf11.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihf11.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dihf11.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dihf11.s  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
Assertion
Ref Expression
dihf11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  I : B -1-1-> S
)
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem dihf11
StepHypRef Expression
1 dihf11.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 dihf11.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 dihf11.i . . 3  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
4 dihf11.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 dihf11.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
61, 2, 3, 4, 5dihf11lem 30724 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  I : B --> S )
71, 2, 3dih11 30723 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  ->  ( (
I `  x )  =  ( I `  y )  <->  x  =  y ) )
87biimpd 200 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  ->  ( (
I `  x )  =  ( I `  y )  ->  x  =  y ) )
983expb 1154 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( I `  x )  =  ( I `  y )  ->  x  =  y ) )
109ralrimivva 2637 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( I `  x )  =  ( I `  y )  ->  x  =  y ) )
11 dff13 5745 . 2  |-  ( I : B -1-1-> S  <->  ( I : B --> S  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( I `  x
)  =  ( I `
 y )  ->  x  =  y )
) )
126, 10, 11sylanbrc 647 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  I : B -1-1-> S
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 936    = wceq 1624    e. wcel 1685   A.wral 2545   -->wf 5218   -1-1->wf1 5219   ` cfv 5222   Basecbs 13143   LSubSpclss 15684   HLchlt 28808   LHypclh 29441   DVecHcdvh 30536   DIsoHcdih 30686
This theorem is referenced by:  dihfn  30726  dihcl  30728  dihcnvcl  30729  dihcnvid1  30730  dihcnvid2  30731  dih1dimatlem  30787  dihlspsnat  30791  dihglblem6  30798  dochocss  30824  dochnoncon  30849
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-fal 1313  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-tpos 6196  df-iota 6253  df-undef 6292  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-oadd 6479  df-er 6656  df-map 6770  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-4 9802  df-5 9803  df-6 9804  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-fz 10778  df-struct 13145  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13148  df-sets 13149  df-ress 13150  df-plusg 13216  df-mulr 13217  df-sca 13219  df-vsca 13220  df-0g 13399  df-poset 14075  df-plt 14087  df-lub 14103  df-glb 14104  df-join 14105  df-meet 14106  df-p0 14140  df-p1 14141  df-lat 14147  df-clat 14209  df-mnd 14362  df-submnd 14411  df-grp 14484  df-minusg 14485  df-sbg 14486  df-subg 14613  df-cntz 14788  df-lsm 14942  df-cmn 15086  df-abl 15087  df-mgp 15321  df-rng 15335  df-ur 15337  df-oppr 15400  df-dvdsr 15418  df-unit 15419  df-invr 15449  df-dvr 15460  df-drng 15509  df-lmod 15624  df-lss 15685  df-lsp 15724  df-lvec 15851  df-oposet 28634  df-ol 28636  df-oml 28637  df-covers 28724  df-ats 28725  df-atl 28756  df-cvlat 28780  df-hlat 28809  df-llines 28955  df-lplanes 28956  df-lvols 28957  df-lines 28958  df-psubsp 28960  df-pmap 28961  df-padd 29253  df-lhyp 29445  df-laut 29446  df-ldil 29561  df-ltrn 29562  df-trl 29616  df-tendo 30212  df-edring 30214  df-disoa 30487  df-dvech 30537  df-dib 30597  df-dic 30631  df-dih 30687
  Copyright terms: Public domain W3C validator