Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihoml4 Unicode version

Theorem dihoml4 30697
Description: Orthomodular law for constructed vector space H. Lemma 3.3(1) in [Holland95] p. 215. (poml4N 29272 analog.) (Contributed by NM, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dihoml4.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihoml4.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dihoml4.s  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
dihoml4.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
dihoml4.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dihoml4.x  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
dihoml4.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
dihoml4.c  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y )
dihoml4.l  |-  ( ph  ->  X  C_  Y )
Assertion
Ref Expression
dihoml4  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  Y ) )  i^i 
Y )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )

Proof of Theorem dihoml4
StepHypRef Expression
1 dihoml4.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 dihoml4.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
3 eqid 2256 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
4 dihoml4.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
53, 4lssss 15621 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  S  ->  X  C_  ( Base `  U
) )
62, 5syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  C_  ( Base `  U ) )
7 dihoml4.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
8 eqid 2256 . . . . . . . 8  |-  ( (
DIsoH `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoH `  K ) `  W )
9 dihoml4.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
10 dihoml4.o . . . . . . . 8  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
117, 8, 9, 3, 10dochcl 30673 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  ( Base `  U ) )  ->  (  ._|_  `  X
)  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )
121, 6, 11syl2anc 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  X )  e.  ran  ( (
DIsoH `  K ) `  W ) )
137, 8, 10dochoc 30687 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  X
)  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )  =  ( 
._|_  `  X ) )
141, 12, 13syl2anc 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )  =  ( 
._|_  `  X ) )
1514ineq1d 3311 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )  i^i 
Y )  =  ( (  ._|_  `  X )  i^i  Y ) )
1615fveq2d 5427 . . 3  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )  i^i  Y ) )  =  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  Y )
) )
1716ineq1d 3311 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )  i^i  Y
) )  i^i  Y
)  =  ( ( 
._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  Y
) )  i^i  Y
) )
187, 9, 3, 10dochssv 30675 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  ( Base `  U ) )  ->  (  ._|_  `  X
)  C_  ( Base `  U ) )
191, 6, 18syl2anc 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  X ) 
C_  ( Base `  U
) )
207, 8, 9, 3, 10dochcl 30673 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  X
)  C_  ( Base `  U ) )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  e. 
ran  ( ( DIsoH `  K ) `  W
) )
211, 19, 20syl2anc 645 . . 3  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  e. 
ran  ( ( DIsoH `  K ) `  W
) )
22 dihoml4.c . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y )
23 dihoml4.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
243, 4lssss 15621 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  S  ->  Y  C_  ( Base `  U
) )
2523, 24syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  C_  ( Base `  U ) )
267, 8, 9, 3, 10, 1, 25dochoccl 30689 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )  <->  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  Y
) )  =  Y ) )
2722, 26mpbird 225 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )
28 dihoml4.l . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  C_  Y )
297, 9, 3, 10dochss 30685 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  C_  ( Base `  U )  /\  X  C_  Y )  -> 
(  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X ) )
301, 25, 28, 29syl3anc 1187 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  Y ) 
C_  (  ._|_  `  X
) )
317, 9, 3, 10dochss 30685 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  X
)  C_  ( Base `  U )  /\  (  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X )
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )
321, 19, 30, 31syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )
3332, 22sseqtrd 3156 . . 3  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  Y )
347, 8, 10, 1, 21, 27, 33dihoml4c 30696 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )  i^i  Y
) )  i^i  Y
)  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )
3517, 34eqtr3d 2290 1  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  Y ) )  i^i 
Y )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    i^i cin 3093    C_ wss 3094   ran crn 4627   ` cfv 4638   Basecbs 13075   LSubSpclss 15616   HLchlt 28670   LHypclh 29303   DVecHcdvh 30398   DIsoHcdih 30548   ocHcoch 30667
This theorem is referenced by:  dochexmidlem6  30785
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-fal 1316  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-iin 3849  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-tpos 6133  df-iota 6190  df-undef 6229  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-oadd 6416  df-er 6593  df-map 6707  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-4 9739  df-5 9740  df-6 9741  df-n0 9898  df-z 9957  df-uz 10163  df-fz 10714  df-struct 13077  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13080  df-sets 13081  df-ress 13082  df-plusg 13148  df-mulr 13149  df-sca 13151  df-vsca 13152  df-0g 13331  df-poset 14007  df-plt 14019  df-lub 14035  df-glb 14036  df-join 14037  df-meet 14038  df-p0 14072  df-p1 14073  df-lat 14079  df-clat 14141  df-mnd 14294  df-submnd 14343  df-grp 14416  df-minusg 14417  df-sbg 14418  df-subg 14545  df-cntz 14720  df-lsm 14874  df-cmn 15018  df-abl 15019  df-mgp 15253  df-ring 15267  df-ur 15269  df-oppr 15332  df-dvdsr 15350  df-unit 15351  df-invr 15381  df-dvr 15392  df-drng 15441  df-lmod 15556  df-lss 15617  df-lsp 15656  df-lvec 15783  df-lsatoms 28296  df-oposet 28496  df-ol 28498  df-oml 28499  df-covers 28586  df-ats 28587  df-atl 28618  df-cvlat 28642  df-hlat 28671  df-llines 28817  df-lplanes 28818  df-lvols 28819  df-lines 28820  df-psubsp 28822  df-pmap 28823  df-padd 29115  df-lhyp 29307  df-laut 29308  df-ldil 29423  df-ltrn 29424  df-trl 29478  df-tendo 30074  df-edring 30076  df-disoa 30349  df-dvech 30399  df-dib 30459  df-dic 30493  df-dih 30549  df-doch 30668
  Copyright terms: Public domain W3C validator