Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihoml4 Unicode version

Theorem dihoml4 32014
Description: Orthomodular law for constructed vector space H. Lemma 3.3(1) in [Holland95] p. 215. (poml4N 30589 analog.) (Contributed by NM, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dihoml4.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihoml4.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dihoml4.s  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
dihoml4.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
dihoml4.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dihoml4.x  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
dihoml4.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
dihoml4.c  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y )
dihoml4.l  |-  ( ph  ->  X  C_  Y )
Assertion
Ref Expression
dihoml4  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  Y ) )  i^i 
Y )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )

Proof of Theorem dihoml4
StepHypRef Expression
1 dihoml4.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 dihoml4.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
3 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
4 dihoml4.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
53, 4lssss 16001 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  S  ->  X  C_  ( Base `  U
) )
62, 5syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  C_  ( Base `  U ) )
7 dihoml4.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
8 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( (
DIsoH `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoH `  K ) `  W )
9 dihoml4.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
10 dihoml4.o . . . . . . . 8  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
117, 8, 9, 3, 10dochcl 31990 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  ( Base `  U ) )  ->  (  ._|_  `  X
)  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )
121, 6, 11syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  X )  e.  ran  ( (
DIsoH `  K ) `  W ) )
137, 8, 10dochoc 32004 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  X
)  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )  =  ( 
._|_  `  X ) )
141, 12, 13syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )  =  ( 
._|_  `  X ) )
1514ineq1d 3533 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )  i^i 
Y )  =  ( (  ._|_  `  X )  i^i  Y ) )
1615fveq2d 5723 . . 3  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )  i^i  Y ) )  =  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  Y )
) )
1716ineq1d 3533 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )  i^i  Y
) )  i^i  Y
)  =  ( ( 
._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  Y
) )  i^i  Y
) )
187, 9, 3, 10dochssv 31992 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  ( Base `  U ) )  ->  (  ._|_  `  X
)  C_  ( Base `  U ) )
191, 6, 18syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  X ) 
C_  ( Base `  U
) )
207, 8, 9, 3, 10dochcl 31990 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  X
)  C_  ( Base `  U ) )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  e. 
ran  ( ( DIsoH `  K ) `  W
) )
211, 19, 20syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  e. 
ran  ( ( DIsoH `  K ) `  W
) )
22 dihoml4.c . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y )
23 dihoml4.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
243, 4lssss 16001 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  S  ->  Y  C_  ( Base `  U
) )
2523, 24syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  C_  ( Base `  U ) )
267, 8, 9, 3, 10, 1, 25dochoccl 32006 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )  <->  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  Y
) )  =  Y ) )
2722, 26mpbird 224 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )
28 dihoml4.l . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  C_  Y )
297, 9, 3, 10dochss 32002 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  C_  ( Base `  U )  /\  X  C_  Y )  -> 
(  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X ) )
301, 25, 28, 29syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  Y ) 
C_  (  ._|_  `  X
) )
317, 9, 3, 10dochss 32002 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  X
)  C_  ( Base `  U )  /\  (  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X )
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )
321, 19, 30, 31syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )
3332, 22sseqtrd 3376 . . 3  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  Y )
347, 8, 10, 1, 21, 27, 33dihoml4c 32013 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )  i^i  Y
) )  i^i  Y
)  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )
3517, 34eqtr3d 2469 1  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  Y ) )  i^i 
Y )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    i^i cin 3311    C_ wss 3312   ran crn 4870   ` cfv 5445   Basecbs 13457   LSubSpclss 15996   HLchlt 29987   LHypclh 30620   DVecHcdvh 31715   DIsoHcdih 31865   ocHcoch 31984
This theorem is referenced by:  dochexmidlem6  32102
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-fal 1329  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-tpos 6470  df-undef 6534  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-oadd 6719  df-er 6896  df-map 7011  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-5 10050  df-6 10051  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-fz 11033  df-struct 13459  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-sets 13463  df-ress 13464  df-plusg 13530  df-mulr 13531  df-sca 13533  df-vsca 13534  df-0g 13715  df-poset 14391  df-plt 14403  df-lub 14419  df-glb 14420  df-join 14421  df-meet 14422  df-p0 14456  df-p1 14457  df-lat 14463  df-clat 14525  df-mnd 14678  df-submnd 14727  df-grp 14800  df-minusg 14801  df-sbg 14802  df-subg 14929  df-cntz 15104  df-lsm 15258  df-cmn 15402  df-abl 15403  df-mgp 15637  df-rng 15651  df-ur 15653  df-oppr 15716  df-dvdsr 15734  df-unit 15735  df-invr 15765  df-dvr 15776  df-drng 15825  df-lmod 15940  df-lss 15997  df-lsp 16036  df-lvec 16163  df-lsatoms 29613  df-oposet 29813  df-ol 29815  df-oml 29816  df-covers 29903  df-ats 29904  df-atl 29935  df-cvlat 29959  df-hlat 29988  df-llines 30134  df-lplanes 30135  df-lvols 30136  df-lines 30137  df-psubsp 30139  df-pmap 30140  df-padd 30432  df-lhyp 30624  df-laut 30625  df-ldil 30740  df-ltrn 30741  df-trl 30795  df-tendo 31391  df-edring 31393  df-disoa 31666  df-dvech 31716  df-dib 31776  df-dic 31810  df-dih 31866  df-doch 31985
  Copyright terms: Public domain W3C validator