Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihoml4 Unicode version

Theorem dihoml4 30734
Description: Orthomodular law for constructed vector space H. Lemma 3.3(1) in [Holland95] p. 215. (poml4N 29309 analog.) (Contributed by NM, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dihoml4.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihoml4.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dihoml4.s  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
dihoml4.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
dihoml4.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dihoml4.x  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
dihoml4.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
dihoml4.c  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y )
dihoml4.l  |-  ( ph  ->  X  C_  Y )
Assertion
Ref Expression
dihoml4  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  Y ) )  i^i 
Y )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )

Proof of Theorem dihoml4
StepHypRef Expression
1 dihoml4.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 dihoml4.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
3 eqid 2258 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
4 dihoml4.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
53, 4lssss 15656 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  S  ->  X  C_  ( Base `  U
) )
62, 5syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  C_  ( Base `  U ) )
7 dihoml4.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
8 eqid 2258 . . . . . . . 8  |-  ( (
DIsoH `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoH `  K ) `  W )
9 dihoml4.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
10 dihoml4.o . . . . . . . 8  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
117, 8, 9, 3, 10dochcl 30710 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  ( Base `  U ) )  ->  (  ._|_  `  X
)  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )
121, 6, 11syl2anc 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  X )  e.  ran  ( (
DIsoH `  K ) `  W ) )
137, 8, 10dochoc 30724 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  X
)  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )  =  ( 
._|_  `  X ) )
141, 12, 13syl2anc 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )  =  ( 
._|_  `  X ) )
1514ineq1d 3344 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )  i^i 
Y )  =  ( (  ._|_  `  X )  i^i  Y ) )
1615fveq2d 5462 . . 3  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )  i^i  Y ) )  =  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  Y )
) )
1716ineq1d 3344 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )  i^i  Y
) )  i^i  Y
)  =  ( ( 
._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  Y
) )  i^i  Y
) )
187, 9, 3, 10dochssv 30712 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  C_  ( Base `  U ) )  ->  (  ._|_  `  X
)  C_  ( Base `  U ) )
191, 6, 18syl2anc 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  X ) 
C_  ( Base `  U
) )
207, 8, 9, 3, 10dochcl 30710 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  X
)  C_  ( Base `  U ) )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  e. 
ran  ( ( DIsoH `  K ) `  W
) )
211, 19, 20syl2anc 645 . . 3  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  e. 
ran  ( ( DIsoH `  K ) `  W
) )
22 dihoml4.c . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y )
23 dihoml4.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
243, 4lssss 15656 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  S  ->  Y  C_  ( Base `  U
) )
2523, 24syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  C_  ( Base `  U ) )
267, 8, 9, 3, 10, 1, 25dochoccl 30726 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )  <->  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  Y
) )  =  Y ) )
2722, 26mpbird 225 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  ran  (
( DIsoH `  K ) `  W ) )
28 dihoml4.l . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  C_  Y )
297, 9, 3, 10dochss 30722 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  C_  ( Base `  U )  /\  X  C_  Y )  -> 
(  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X ) )
301, 25, 28, 29syl3anc 1187 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  Y ) 
C_  (  ._|_  `  X
) )
317, 9, 3, 10dochss 30722 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  ._|_  `  X
)  C_  ( Base `  U )  /\  (  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X )
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )
321, 19, 30, 31syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )
3332, 22sseqtrd 3189 . . 3  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  Y )
347, 8, 10, 1, 21, 27, 33dihoml4c 30733 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )  i^i  Y
) )  i^i  Y
)  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )
3517, 34eqtr3d 2292 1  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  i^i  Y ) )  i^i 
Y )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    i^i cin 3126    C_ wss 3127   ran crn 4662   ` cfv 4673   Basecbs 13110   LSubSpclss 15651   HLchlt 28707   LHypclh 29340   DVecHcdvh 30435   DIsoHcdih 30585   ocHcoch 30704
This theorem is referenced by:  dochexmidlem6  30822
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-fal 1316  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-iin 3882  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-tpos 6168  df-iota 6225  df-undef 6264  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-oadd 6451  df-er 6628  df-map 6742  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-4 9774  df-5 9775  df-6 9776  df-n0 9933  df-z 9992  df-uz 10198  df-fz 10749  df-struct 13112  df-ndx 13113  df-slot 13114  df-base 13115  df-sets 13116  df-ress 13117  df-plusg 13183  df-mulr 13184  df-sca 13186  df-vsca 13187  df-0g 13366  df-poset 14042  df-plt 14054  df-lub 14070  df-glb 14071  df-join 14072  df-meet 14073  df-p0 14107  df-p1 14108  df-lat 14114  df-clat 14176  df-mnd 14329  df-submnd 14378  df-grp 14451  df-minusg 14452  df-sbg 14453  df-subg 14580  df-cntz 14755  df-lsm 14909  df-cmn 15053  df-abl 15054  df-mgp 15288  df-ring 15302  df-ur 15304  df-oppr 15367  df-dvdsr 15385  df-unit 15386  df-invr 15416  df-dvr 15427  df-drng 15476  df-lmod 15591  df-lss 15652  df-lsp 15691  df-lvec 15818  df-lsatoms 28333  df-oposet 28533  df-ol 28535  df-oml 28536  df-covers 28623  df-ats 28624  df-atl 28655  df-cvlat 28679  df-hlat 28708  df-llines 28854  df-lplanes 28855  df-lvols 28856  df-lines 28857  df-psubsp 28859  df-pmap 28860  df-padd 29152  df-lhyp 29344  df-laut 29345  df-ldil 29460  df-ltrn 29461  df-trl 29515  df-tendo 30111  df-edring 30113  df-disoa 30386  df-dvech 30436  df-dib 30496  df-dic 30530  df-dih 30586  df-doch 30705
  Copyright terms: Public domain W3C validator