MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dipdir Unicode version

Theorem dipdir 21412
Description: Distributive law for inner product. Equation I3 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dipdir.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
dipdir.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
dipdir.7  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
Assertion
Ref Expression
dipdir  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( A G B ) P C )  =  ( ( A P C )  +  ( B P C ) ) )

Proof of Theorem dipdir
StepHypRef Expression
1 dipdir.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 fveq2 5485 . . . . . . 7  |-  ( U  =  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( BaseSet `  U )  =  ( BaseSet `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) )
31, 2syl5eq 2328 . . . . . 6  |-  ( U  =  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  X  =  ( BaseSet `  if ( U  e.  CPreHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) )
43eleq2d 2351 . . . . 5  |-  ( U  =  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( A  e.  X  <->  A  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ) )
53eleq2d 2351 . . . . 5  |-  ( U  =  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( B  e.  X  <->  B  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ) )
63eleq2d 2351 . . . . 5  |-  ( U  =  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( C  e.  X  <->  C  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ) )
74, 5, 63anbi123d 1254 . . . 4  |-  ( U  =  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  <->  ( A  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  /\  B  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  /\  C  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ) ) )
8 dipdir.2 . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( +v `  U
)
9 fveq2 5485 . . . . . . . . 9  |-  ( U  =  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( +v `  U
)  =  ( +v
`  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
108, 9syl5eq 2328 . . . . . . . 8  |-  ( U  =  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  G  =  ( +v
`  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
1110oveqd 5836 . . . . . . 7  |-  ( U  =  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( A G B )  =  ( A ( +v `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) B ) )
1211oveq1d 5834 . . . . . 6  |-  ( U  =  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( A G B ) P C )  =  ( ( A ( +v `  if ( U  e.  CPreHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) B ) P C ) )
13 dipdir.7 . . . . . . . 8  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
14 fveq2 5485 . . . . . . . 8  |-  ( U  =  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( .i OLD `  U
)  =  ( .i
OLD `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) )
1513, 14syl5eq 2328 . . . . . . 7  |-  ( U  =  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  P  =  ( .i
OLD `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) )
1615oveqd 5836 . . . . . 6  |-  ( U  =  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( A ( +v `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) B ) P C )  =  ( ( A ( +v
`  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) B ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) C ) )
1712, 16eqtrd 2316 . . . . 5  |-  ( U  =  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( A G B ) P C )  =  ( ( A ( +v `  if ( U  e.  CPreHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) B ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) C ) )
1815oveqd 5836 . . . . . 6  |-  ( U  =  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( A P C )  =  ( A ( .i OLD `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) C ) )
1915oveqd 5836 . . . . . 6  |-  ( U  =  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( B P C )  =  ( B ( .i OLD `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) C ) )
2018, 19oveq12d 5837 . . . . 5  |-  ( U  =  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( A P C )  +  ( B P C ) )  =  ( ( A ( .i OLD `  if ( U  e.  CPreHil
OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) C )  +  ( B ( .i
OLD `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) C ) ) )
2117, 20eqeq12d 2298 . . . 4  |-  ( U  =  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( ( A G B ) P C )  =  ( ( A P C )  +  ( B P C ) )  <-> 
( ( A ( +v `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) B ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) C )  =  ( ( A ( .i OLD `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) C )  +  ( B ( .i
OLD `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) C ) ) ) )
227, 21imbi12d 313 . . 3  |-  ( U  =  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  (
( A G B ) P C )  =  ( ( A P C )  +  ( B P C ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CPreHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  /\  B  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  /\  C  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) )  ->  (
( A ( +v
`  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) B ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) C )  =  ( ( A ( .i OLD `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) C )  +  ( B ( .i
OLD `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) C ) ) ) ) )
23 eqid 2284 . . . 4  |-  ( BaseSet `  if ( U  e.  CPreHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  =  (
BaseSet `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)
24 eqid 2284 . . . 4  |-  ( +v
`  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)  =  ( +v
`  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)
25 eqid 2284 . . . 4  |-  ( .s
OLD `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  =  ( .s
OLD `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )
26 eqid 2284 . . . 4  |-  ( .i
OLD `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  =  ( .i
OLD `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )
27 elimphu 21391 . . . 4  |-  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  e.  CPreHil OLD
2823, 24, 25, 26, 27ipdiri 21400 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CPreHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  /\  B  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  /\  C  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) )  ->  (
( A ( +v
`  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) B ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) C )  =  ( ( A ( .i OLD `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) C )  +  ( B ( .i
OLD `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) C ) ) )
2922, 28dedth 3607 . 2  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( ( A G B ) P C )  =  ( ( A P C )  +  ( B P C ) ) ) )
3029imp 420 1  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( A G B ) P C )  =  ( ( A P C )  +  ( B P C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 936    = wceq 1624    e. wcel 1685   ifcif 3566   <.cop 3644   ` cfv 5221  (class class class)co 5819    + caddc 8735    x. cmul 8737   abscabs 11713   +vcpv 21133   BaseSetcba 21134   .s
OLDcns 21135   .i OLDcdip 21265   CPreHil OLDccphlo 21382
This theorem is referenced by:  dipdi  21413  ip2dii  21414  dipsubdir  21418  ipblnfi  21426  hlipdir  21483
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810  ax-addf 8811  ax-mulf 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6655  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-sup 7189  df-oi 7220  df-card 7567  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-4 9801  df-n0 9961  df-z 10020  df-uz 10226  df-rp 10350  df-fz 10777  df-fzo 10865  df-seq 11041  df-exp 11099  df-hash 11332  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-clim 11956  df-sum 12153  df-grpo 20850  df-gid 20851  df-ginv 20852  df-ablo 20941  df-vc 21094  df-nv 21140  df-va 21143  df-ba 21144  df-sm 21145  df-0v 21146  df-nmcv 21148  df-dip 21266  df-ph 21383
  Copyright terms: Public domain W3C validator