MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dipdir Unicode version

Theorem dipdir 21250
Description: Distributive law for inner product. Equation I3 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dipdir.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
dipdir.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
dipdir.7  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
Assertion
Ref Expression
dipdir  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( A G B ) P C )  =  ( ( A P C )  +  ( B P C ) ) )

Proof of Theorem dipdir
StepHypRef Expression
1 dipdir.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 fveq2 5377 . . . . . . 7  |-  ( U  =  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( BaseSet `  U )  =  ( BaseSet `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) )
31, 2syl5eq 2297 . . . . . 6  |-  ( U  =  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  X  =  ( BaseSet `  if ( U  e.  CPreHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) )
43eleq2d 2320 . . . . 5  |-  ( U  =  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( A  e.  X  <->  A  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ) )
53eleq2d 2320 . . . . 5  |-  ( U  =  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( B  e.  X  <->  B  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ) )
63eleq2d 2320 . . . . 5  |-  ( U  =  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( C  e.  X  <->  C  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ) )
74, 5, 63anbi123d 1257 . . . 4  |-  ( U  =  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  <->  ( A  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  /\  B  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  /\  C  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ) ) )
8 dipdir.2 . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( +v `  U
)
9 fveq2 5377 . . . . . . . . 9  |-  ( U  =  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( +v `  U
)  =  ( +v
`  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
108, 9syl5eq 2297 . . . . . . . 8  |-  ( U  =  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  G  =  ( +v
`  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
1110oveqd 5727 . . . . . . 7  |-  ( U  =  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( A G B )  =  ( A ( +v `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) B ) )
1211oveq1d 5725 . . . . . 6  |-  ( U  =  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( A G B ) P C )  =  ( ( A ( +v `  if ( U  e.  CPreHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) B ) P C ) )
13 dipdir.7 . . . . . . . 8  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
14 fveq2 5377 . . . . . . . 8  |-  ( U  =  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( .i OLD `  U
)  =  ( .i
OLD `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) )
1513, 14syl5eq 2297 . . . . . . 7  |-  ( U  =  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  P  =  ( .i
OLD `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) )
1615oveqd 5727 . . . . . 6  |-  ( U  =  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( A ( +v `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) B ) P C )  =  ( ( A ( +v
`  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) B ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) C ) )
1712, 16eqtrd 2285 . . . . 5  |-  ( U  =  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( A G B ) P C )  =  ( ( A ( +v `  if ( U  e.  CPreHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) B ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) C ) )
1815oveqd 5727 . . . . . 6  |-  ( U  =  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( A P C )  =  ( A ( .i OLD `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) C ) )
1915oveqd 5727 . . . . . 6  |-  ( U  =  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( B P C )  =  ( B ( .i OLD `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) C ) )
2018, 19oveq12d 5728 . . . . 5  |-  ( U  =  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( A P C )  +  ( B P C ) )  =  ( ( A ( .i OLD `  if ( U  e.  CPreHil
OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) C )  +  ( B ( .i
OLD `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) C ) ) )
2117, 20eqeq12d 2267 . . . 4  |-  ( U  =  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( ( A G B ) P C )  =  ( ( A P C )  +  ( B P C ) )  <-> 
( ( A ( +v `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) B ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) C )  =  ( ( A ( .i OLD `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) C )  +  ( B ( .i
OLD `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) C ) ) ) )
227, 21imbi12d 313 . . 3  |-  ( U  =  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  (
( A G B ) P C )  =  ( ( A P C )  +  ( B P C ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CPreHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  /\  B  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  /\  C  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) )  ->  (
( A ( +v
`  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) B ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) C )  =  ( ( A ( .i OLD `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) C )  +  ( B ( .i
OLD `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) C ) ) ) ) )
23 eqid 2253 . . . 4  |-  ( BaseSet `  if ( U  e.  CPreHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  =  (
BaseSet `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)
24 eqid 2253 . . . 4  |-  ( +v
`  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)  =  ( +v
`  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)
25 eqid 2253 . . . 4  |-  ( .s
OLD `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  =  ( .s
OLD `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )
26 eqid 2253 . . . 4  |-  ( .i
OLD `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  =  ( .i
OLD `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )
27 elimphu 21229 . . . 4  |-  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  e.  CPreHil OLD
2823, 24, 25, 26, 27ipdiri 21238 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CPreHil OLD
,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  /\  B  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  /\  C  e.  ( BaseSet `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) )  ->  (
( A ( +v
`  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) B ) ( .i OLD `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) C )  =  ( ( A ( .i OLD `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) C )  +  ( B ( .i
OLD `  if ( U  e.  CPreHil OLD ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) C ) ) )
2922, 28dedth 3511 . 2  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( ( A G B ) P C )  =  ( ( A P C )  +  ( B P C ) ) ) )
3029imp 420 1  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( A G B ) P C )  =  ( ( A P C )  +  ( B P C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   ifcif 3470   <.cop 3547   ` cfv 4592  (class class class)co 5710    + caddc 8620    x. cmul 8622   abscabs 11596   +vcpv 20971   BaseSetcba 20972   .s
OLDcns 20973   .i OLDcdip 21103   CPreHil OLDccphlo 21220
This theorem is referenced by:  dipdi  21251  ip2dii  21252  dipsubdir  21256  ipblnfi  21264  hlipdir  21321
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696  ax-mulf 8697
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-rp 10234  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-seq 10925  df-exp 10983  df-hash 11216  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-clim 11839  df-sum 12036  df-grpo 20688  df-gid 20689  df-ginv 20690  df-ablo 20779  df-vc 20932  df-nv 20978  df-va 20981  df-ba 20982  df-sm 20983  df-0v 20984  df-nmcv 20986  df-dip 21104  df-ph 21221
  Copyright terms: Public domain W3C validator