Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dirith2 Unicode version

Theorem dirith2 21210
 Description: Dirichlet's theorem: there are infinitely many primes in any arithmetic progression coprime to . Theorem 9.4.1 of [Shapiro], p. 375. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z ℤ/n
rpvmasum.l RHom
rpvmasum.a
rpvmasum.u Unit
rpvmasum.b
rpvmasum.t
Assertion
Ref Expression
dirith2

Proof of Theorem dirith2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnex 9995 . . . 4
2 inss1 3553 . . . . 5
3 prmnn 13070 . . . . . 6
43ssriv 3344 . . . . 5
52, 4sstri 3349 . . . 4
6 ssdomg 7144 . . . 4
71, 5, 6mp2 9 . . 3
87a1i 11 . 2
9 logno1 20515 . . . 4
10 rpvmasum.a . . . . . . . . . . 11
1110adantr 452 . . . . . . . . . 10
1211phicld 13149 . . . . . . . . 9
1312nnred 10004 . . . . . . . 8
1413adantr 452 . . . . . . 7
15 simpr 448 . . . . . . . . . 10
16 inss2 3554 . . . . . . . . . 10
17 ssfi 7320 . . . . . . . . . 10
1815, 16, 17sylancl 644 . . . . . . . . 9
1916sseli 3336 . . . . . . . . . 10
20 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14
215, 20sseldi 3338 . . . . . . . . . . . . 13
2221nnrpd 10636 . . . . . . . . . . . 12
23 relogcl 20461 . . . . . . . . . . . 12
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . 11
2524, 21nndivred 10037 . . . . . . . . . 10
2619, 25sylan2 461 . . . . . . . . 9
2718, 26fsumrecl 12516 . . . . . . . 8
2827adantr 452 . . . . . . 7
29 rpssre 10611 . . . . . . . 8
3013recnd 9103 . . . . . . . 8
31 o1const 12401 . . . . . . . 8
3229, 30, 31sylancr 645 . . . . . . 7
3329a1i 11 . . . . . . . . 9
34 1re 9079 . . . . . . . . . 10
3534a1i 11 . . . . . . . . 9
3615, 25fsumrecl 12516 . . . . . . . . 9
37 log1 20468 . . . . . . . . . . . . 13
3821nnge1d 10031 . . . . . . . . . . . . . 14
39 1rp 10605 . . . . . . . . . . . . . . 15
40 logleb 20486 . . . . . . . . . . . . . . 15
4139, 22, 40sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14
4238, 41mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13
4337, 42syl5eqbrr 4238 . . . . . . . . . . . 12
4424, 22, 43divge0d 10673 . . . . . . . . . . 11
4516a1i 11 . . . . . . . . . . 11
4615, 25, 44, 45fsumless 12563 . . . . . . . . . 10
4746adantr 452 . . . . . . . . 9
4833, 28, 35, 36, 47ello1d 12305 . . . . . . . 8
49 0re 9080 . . . . . . . . . 10
5049a1i 11 . . . . . . . . 9
5119, 44sylan2 461 . . . . . . . . . . 11
5218, 26, 51fsumge0 12562 . . . . . . . . . 10
5352adantr 452 . . . . . . . . 9
5428, 50, 53o1lo12 12320 . . . . . . . 8
5548, 54mpbird 224 . . . . . . 7
5614, 28, 32, 55o1mul2 12406 . . . . . 6
5713, 27remulcld 9105 . . . . . . . . 9
5857recnd 9103 . . . . . . . 8
5958adantr 452 . . . . . . 7
60 relogcl 20461 . . . . . . . . 9
6160adantl 453 . . . . . . . 8
6261recnd 9103 . . . . . . 7
63 rpvmasum.z . . . . . . . . 9 ℤ/n
64 rpvmasum.l . . . . . . . . 9 RHom
65 rpvmasum.u . . . . . . . . 9 Unit
66 rpvmasum.b . . . . . . . . 9
67 rpvmasum.t . . . . . . . . 9
6863, 64, 10, 65, 66, 67rplogsum 21209 . . . . . . . 8
6968adantr 452 . . . . . . 7
7059, 62, 69o1dif 12411 . . . . . 6
7156, 70mpbid 202 . . . . 5
7271ex 424 . . . 4
739, 72mtoi 171 . . 3
74 nnenom 11307 . . . . 5
75 sdomentr 7232 . . . . 5
7674, 75mpan2 653 . . . 4
77 isfinite2 7356 . . . 4
7876, 77syl 16 . . 3
7973, 78nsyl 115 . 2
80 bren2 7129 . 2
818, 79, 80sylanbrc 646 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2948   cin 3311   wss 3312  csn 3806   class class class wbr 4204   cmpt 4258  com 4836  ccnv 4868  cima 4872  cfv 5445  (class class class)co 6072   cen 7097   cdom 7098   csdm 7099  cfn 7100  cc 8977  cr 8978  cc0 8979  c1 8980   cmul 8984   cle 9110   cmin 9280   cdiv 9666  cn 9989  crp 10601  cfz 11032  cfl 11189  co1 12268  clo1 12269  csu 12467  cprime 13067  cphi 13141  Unitcui 15732  RHomczrh 16766  ℤ/nℤczn 16769  clog 20440 This theorem is referenced by:  dirith  21211 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057  ax-addf 9058  ax-mulf 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-fal 1329  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-isom 5454  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-of 6296  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-tpos 6470  df-rpss 6513  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-2o 6716  df-oadd 6719  df-omul 6720  df-er 6896  df-ec 6898  df-qs 6902  df-map 7011  df-pm 7012  df-ixp 7055  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-fi 7407  df-sup 7437  df-oi 7468  df-card 7815  df-acn 7818  df-cda 8037  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-5 10050  df-6 10051  df-7 10052  df-8 10053  df-9 10054  df-10 10055  df-n0 10211  df-z 10272  df-dec 10372  df-uz 10478  df-q 10564  df-rp 10602  df-xneg 10699  df-xadd 10700  df-xmul 10701  df-ioo 10909  df-ioc 10910  df-ico 10911  df-icc 10912  df-fz 11033  df-fzo 11124  df-fl 11190  df-mod 11239  df-seq 11312  df-exp 11371  df-fac 11555  df-bc 11582  df-hash 11607  df-word 11711  df-concat 11712  df-s1 11713  df-shft 11870  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-limsup 12253  df-clim 12270  df-rlim 12271  df-o1 12272  df-lo1 12273  df-sum 12468  df-ef 12658  df-e 12659  df-sin 12660  df-cos 12661  df-tan 12662  df-pi 12663  df-dvds 12841  df-gcd 12995  df-prm 13068  df-numer 13115  df-denom 13116  df-phi 13143  df-pc 13199  df-struct 13459  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-sets 13463  df-ress 13464  df-plusg 13530  df-mulr 13531  df-starv 13532  df-sca 13533  df-vsca 13534  df-tset 13536  df-ple 13537  df-ds 13539  df-unif 13540  df-hom 13541  df-cco 13542  df-rest 13638  df-topn 13639  df-topgen 13655  df-pt 13656  df-prds 13659  df-xrs 13714  df-0g 13715  df-gsum 13716  df-qtop 13721  df-imas 13722  df-divs 13723  df-xps 13724  df-mre 13799  df-mrc 13800  df-acs 13802  df-mnd 14678  df-mhm 14726  df-submnd 14727  df-grp 14800  df-minusg 14801  df-sbg 14802  df-mulg 14803  df-subg 14929  df-nsg 14930  df-eqg 14931  df-ghm 14992  df-gim 15034  df-ga 15055  df-cntz 15104  df-oppg 15130  df-od 15155  df-gex 15156  df-pgp 15157  df-lsm 15258  df-pj1 15259  df-cmn 15402  df-abl 15403  df-cyg 15476  df-dprd 15544  df-dpj 15545  df-mgp 15637  df-rng 15651  df-cring 15652  df-ur 15653  df-oppr 15716  df-dvdsr 15734  df-unit 15735  df-invr 15765  df-dvr 15776  df-rnghom 15807  df-drng 15825  df-subrg 15854  df-lmod 15940  df-lss 15997  df-lsp 16036  df-sra 16232  df-rgmod 16233  df-lidl 16234  df-rsp 16235  df-2idl 16291  df-psmet 16682  df-xmet 16683  df-met 16684  df-bl 16685  df-mopn 16686  df-fbas 16687  df-fg 16688  df-cnfld 16692  df-zrh 16770  df-zn 16773  df-top 16951  df-bases 16953  df-topon 16954  df-topsp 16955  df-cld 17071  df-ntr 17072  df-cls 17073  df-nei 17150  df-lp 17188  df-perf 17189  df-cn 17279  df-cnp 17280  df-haus 17367  df-cmp 17438  df-tx 17582  df-hmeo 17775  df-fil 17866  df-fm 17958  df-flim 17959  df-flf 17960  df-xms 18338  df-ms 18339  df-tms 18340  df-cncf 18896  df-0p 19550  df-limc 19741  df-dv 19742  df-ply 20095  df-idp 20096  df-coe 20097  df-dgr 20098  df-quot 20196  df-log 20442  df-cxp 20443  df-em 20819  df-cht 20867  df-vma 20868  df-chp 20869  df-ppi 20870  df-mu 20871  df-dchr 21005
 Copyright terms: Public domain W3C validator