MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  distop Unicode version

Theorem distop 16660
Description: The discrete topology on a set  A. Part of Example 2 in [Munkres] p. 77. (Contributed by FL, 17-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
distop  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  Top )

Proof of Theorem distop
StepHypRef Expression
1 uniss 3789 . . . . . 6  |-  ( x 
C_  ~P A  ->  U. x  C_ 
U. ~P A )
2 unipw 4162 . . . . . 6  |-  U. ~P A  =  A
31, 2syl6sseq 3166 . . . . 5  |-  ( x 
C_  ~P A  ->  U. x  C_  A )
4 vex 2743 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
54uniex 4453 . . . . . 6  |-  U. x  e.  _V
65elpw 3572 . . . . 5  |-  ( U. x  e.  ~P A  <->  U. x  C_  A )
73, 6sylibr 205 . . . 4  |-  ( x 
C_  ~P A  ->  U. x  e.  ~P A )
87ax-gen 1536 . . 3  |-  A. x
( x  C_  ~P A  ->  U. x  e.  ~P A )
98a1i 12 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A. x
( x  C_  ~P A  ->  U. x  e.  ~P A ) )
104elpw 3572 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~P A  <->  x  C_  A
)
11 vex 2743 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
1211elpw 3572 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~P A  <->  y  C_  A )
13 ssinss1 3339 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
C_  A  ->  (
x  i^i  y )  C_  A )
1413a1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
C_  A  ->  (
x  C_  A  ->  ( x  i^i  y ) 
C_  A ) )
1511inex2 4096 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  i^i  y )  e. 
_V
1615elpw 3572 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  i^i  y )  e.  ~P A  <->  ( x  i^i  y )  C_  A
)
1714, 16syl6ibr 220 . . . . . . . 8  |-  ( y 
C_  A  ->  (
x  C_  A  ->  ( x  i^i  y )  e.  ~P A ) )
1812, 17sylbi 189 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~P A  -> 
( x  C_  A  ->  ( x  i^i  y
)  e.  ~P A
) )
1918com12 29 . . . . . 6  |-  ( x 
C_  A  ->  (
y  e.  ~P A  ->  ( x  i^i  y
)  e.  ~P A
) )
2010, 19sylbi 189 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~P A  -> 
( y  e.  ~P A  ->  ( x  i^i  y )  e.  ~P A ) )
2120ralrimiv 2596 . . . 4  |-  ( x  e.  ~P A  ->  A. y  e.  ~P  A ( x  i^i  y )  e.  ~P A )
2221rgen 2579 . . 3  |-  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  A ( x  i^i  y )  e. 
~P A
2322a1i 12 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  A ( x  i^i  y )  e. 
~P A )
24 pwexg 4132 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  _V )
25 istopg 16568 . . 3  |-  ( ~P A  e.  _V  ->  ( ~P A  e.  Top  <->  ( A. x ( x  C_  ~P A  ->  U. x  e.  ~P A )  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  A ( x  i^i  y )  e.  ~P A ) ) )
2624, 25syl 17 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( ~P A  e.  Top  <->  ( A. x ( x  C_  ~P A  ->  U. x  e.  ~P A )  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  A ( x  i^i  y )  e.  ~P A ) ) )
279, 23, 26mpbir2and 893 1  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  Top )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1532    e. wcel 1621   A.wral 2516   _Vcvv 2740    i^i cin 3093    C_ wss 3094   ~Pcpw 3566   U.cuni 3768   Topctop 16558
This theorem is referenced by:  distopon  16661  distps  16679  discld  16753  restdis  16836  dishaus  17037  discmp  17052  dis2ndc  17113  dislly  17150  dis1stc  17152  txdis  17253  xkopt  17276  xkofvcn  17305  symgtgp  17711  usptoplem  24878  istopx  24879  locfindis  25637
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-v 2742  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-uni 3769  df-top 16563
  Copyright terms: Public domain W3C validator