Theorem distrlem3pr 5129

Description: Lemma for distributive law for positive reals.

Assertion

Ref	Expression
distrlem3pr	|- (((A e. P. /\ (B e. P. /\ C e. P.)) /\ (x e. A /\ (y e. B /\ z e. C))) -> (x e. Q. /\ (y e. Q. /\ z e. Q.)))

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z   x,C,y,z

Proof of Theorem distrlem3pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		an6 902	. . 3 |- (((A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P.) /\ (x e. A /\ y e. B /\ z e. C)) <-> ((A e. P. /\ x e. A) /\ (B e. P. /\ y e. B) /\ (C e. P. /\ z e. C)))
2		elprpq 5095	. . . 4 |- ((A e. P. /\ x e. A) -> x e. Q.)
3		elprpq 5095	. . . 4 |- ((B e. P. /\ y e. B) -> y e. Q.)
4		elprpq 5095	. . . 4 |- ((C e. P. /\ z e. C) -> z e. Q.)
5	2, 3, 4	3anim123i 821	. . 3 |- (((A e. P. /\ x e. A) /\ (B e. P. /\ y e. B) /\ (C e. P. /\ z e. C)) -> (x e. Q. /\ y e. Q. /\ z e. Q.))
6	1, 5	sylbi 199	. 2 |- (((A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P.) /\ (x e. A /\ y e. B /\ z e. C)) -> (x e. Q. /\ y e. Q. /\ z e. Q.))
7		3anass 779	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P.) <-> (A e. P. /\ (B e. P. /\ C e. P.)))
8		3anass 779	. . 3 |- ((x e. A /\ y e. B /\ z e. C) <-> (x e. A /\ (y e. B /\ z e. C)))
9	7, 8	anbi12i 482	. 2 |- (((A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P.) /\ (x e. A /\ y e. B /\ z e. C)) <-> ((A e. P. /\ (B e. P. /\ C e. P.)) /\ (x e. A /\ (y e. B /\ z e. C))))
10		3anass 779	. 2 |- ((x e. Q. /\ y e. Q. /\ z e. Q.) <-> (x e. Q. /\ (y e. Q. /\ z e. Q.)))
11	6, 9, 10	3imtr3 218	1 |- (((A e. P. /\ (B e. P. /\ C e. P.)) /\ (x e. A /\ (y e. B /\ z e. C))) -> (x e. Q. /\ (y e. Q. /\ z e. Q.)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   e. wcel 958  Q.cnq 4979  P.cnp 4985

This theorem is referenced by:  distrlem4pr 5130

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-qs 4266  df-ni 5000  df-nq 5038  df-np 5086

Copyright terms: Public domain