MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ditgcl Unicode version

Theorem ditgcl 19614
Description: Closure of a directed integral. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ditgcl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
ditgcl.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
ditgcl.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ( X [,] Y ) )
ditgcl.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( X [,] Y ) )
ditgcl.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  C  e.  V )
ditgcl.i  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  C )  e.  L ^1 )
Assertion
Ref Expression
ditgcl  |-  ( ph  ->  S__ [ A  ->  B ] C  _d x  e.  CC )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x    x, V    x, X    x, Y
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem ditgcl
StepHypRef Expression
1 ditgcl.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  ( X [,] Y ) )
2 ditgcl.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
3 ditgcl.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
4 elicc2 10909 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( A  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( A  e.  RR  /\  X  <_  A  /\  A  <_  Y ) ) )
52, 3, 4syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( A  e.  RR  /\  X  <_  A  /\  A  <_  Y ) ) )
61, 5mpbid 202 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  X  <_  A  /\  A  <_  Y ) )
76simp1d 969 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
8 ditgcl.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  ( X [,] Y ) )
9 elicc2 10909 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( B  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( B  e.  RR  /\  X  <_  B  /\  B  <_  Y ) ) )
102, 3, 9syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( B  e.  RR  /\  X  <_  B  /\  B  <_  Y ) ) )
118, 10mpbid 202 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  e.  RR  /\  X  <_  B  /\  B  <_  Y ) )
1211simp1d 969 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
13 simpr 448 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  B )
1413ditgpos 19612 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  S__ [ A  ->  B ] C  _d x  =  S. ( A (,) B ) C  _d x )
152rexrd 9069 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  RR* )
166simp2d 970 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  <_  A )
17 iooss1 10885 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  X  <_  A )  ->  ( A (,) B )  C_  ( X (,) B ) )
1815, 16, 17syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( X (,) B ) )
193rexrd 9069 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR* )
2011simp3d 971 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  <_  Y )
21 iooss2 10886 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  RR*  /\  B  <_  Y )  ->  ( X (,) B )  C_  ( X (,) Y ) )
2219, 20, 21syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X (,) B
)  C_  ( X (,) Y ) )
2318, 22sstrd 3303 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( X (,) Y ) )
2423sselda 3293 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  x  e.  ( X (,) Y ) )
25 ditgcl.c . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  C  e.  V )
2624, 25syldan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  C  e.  V )
27 ioombl 19328 . . . . . . 7  |-  ( A (,) B )  e. 
dom  vol
2827a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  dom  vol )
29 ditgcl.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  C )  e.  L ^1 )
3023, 28, 25, 29iblss 19565 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  C )  e.  L ^1 )
3126, 30itgcl 19544 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) C  _d x  e.  CC )
3231adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  S. ( A (,) B ) C  _d x  e.  CC )
3314, 32eqeltrd 2463 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  S__ [ A  ->  B ] C  _d x  e.  CC )
34 simpr 448 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  B  <_  A )
3512adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  B  e.  RR )
367adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  A  e.  RR )
3734, 35, 36ditgneg 19613 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  S__ [ A  ->  B ] C  _d x  =  -u S. ( B (,) A ) C  _d x )
3811simp2d 970 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  <_  B )
39 iooss1 10885 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  X  <_  B )  ->  ( B (,) A )  C_  ( X (,) A ) )
4015, 38, 39syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B (,) A
)  C_  ( X (,) A ) )
416simp3d 971 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  <_  Y )
42 iooss2 10886 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  e.  RR*  /\  A  <_  Y )  ->  ( X (,) A )  C_  ( X (,) Y ) )
4319, 41, 42syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X (,) A
)  C_  ( X (,) Y ) )
4440, 43sstrd 3303 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B (,) A
)  C_  ( X (,) Y ) )
4544sselda 3293 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) A ) )  ->  x  e.  ( X (,) Y ) )
4645, 25syldan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) A ) )  ->  C  e.  V )
47 ioombl 19328 . . . . . . . 8  |-  ( B (,) A )  e. 
dom  vol
4847a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B (,) A
)  e.  dom  vol )
4944, 48, 25, 29iblss 19565 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B (,) A ) 
|->  C )  e.  L ^1 )
5046, 49itgcl 19544 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. ( B (,) A ) C  _d x  e.  CC )
5150negcld 9332 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u S. ( B (,) A ) C  _d x  e.  CC )
5251adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  -u S. ( B (,) A ) C  _d x  e.  CC )
5337, 52eqeltrd 2463 . 2  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  S__ [ A  ->  B ] C  _d x  e.  CC )
547, 12, 33, 53lecasei 9114 1  |-  ( ph  ->  S__ [ A  ->  B ] C  _d x  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1717    C_ wss 3265   class class class wbr 4155    e. cmpt 4209   dom cdm 4820  (class class class)co 6022   CCcc 8923   RRcr 8924   RR*cxr 9054    <_ cle 9056   -ucneg 9226   (,)cioo 10850   [,]cicc 10853   volcvol 19229   L ^1cibl 19378   S.citg 19379   S__cdit 19380
This theorem is referenced by:  ditgsplit  19617  itgsubstlem  19801
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003  ax-addf 9004
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-disj 4126  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-of 6246  df-ofr 6247  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-2o 6663  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-pm 6959  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-sup 7383  df-oi 7414  df-card 7761  df-cda 7983  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-q 10509  df-rp 10547  df-xadd 10645  df-ioo 10854  df-ico 10856  df-icc 10857  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-fl 11131  df-mod 11180  df-seq 11253  df-exp 11312  df-hash 11548  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-clim 12211  df-rlim 12212  df-sum 12409  df-xmet 16621  df-met 16622  df-ovol 19230  df-vol 19231  df-mbf 19381  df-itg1 19382  df-itg2 19383  df-ibl 19384  df-itg 19385  df-ditg 19386  df-0p 19431
  Copyright terms: Public domain W3C validator