Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem9 Unicode version

Theorem divalglem9 12862
 Description: Lemma for divalg 12864. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem8.1
divalglem8.2
divalglem8.3
divalglem8.4
divalglem9.5
Assertion
Ref Expression
divalglem9
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem divalglem9
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divalglem9.5 . . . 4
2 divalglem8.1 . . . . 5
3 divalglem8.2 . . . . 5
4 divalglem8.3 . . . . 5
5 divalglem8.4 . . . . 5
62, 3, 4, 5divalglem2 12856 . . . 4
71, 6eqeltri 2471 . . 3
82, 3, 4, 5, 1divalglem5 12858 . . . 4
98simpri 449 . . 3
10 breq1 4170 . . . 4
1110rspcev 3009 . . 3
127, 9, 11mp2an 654 . 2
13 oveq2 6042 . . . . . . . . . . . . . . 15
1413breq2d 4179 . . . . . . . . . . . . . 14
1514, 5elrab2 3051 . . . . . . . . . . . . 13
1615simplbi 447 . . . . . . . . . . . 12
1716nn0zd 10319 . . . . . . . . . . 11
18 oveq2 6042 . . . . . . . . . . . . . . 15
1918breq2d 4179 . . . . . . . . . . . . . 14
2019, 5elrab2 3051 . . . . . . . . . . . . 13
2120simplbi 447 . . . . . . . . . . . 12
2221nn0zd 10319 . . . . . . . . . . 11
23 zsubcl 10265 . . . . . . . . . . . . 13
242, 23mpan 652 . . . . . . . . . . . 12
25 zsubcl 10265 . . . . . . . . . . . . 13
262, 25mpan 652 . . . . . . . . . . . 12
2724, 26anim12i 550 . . . . . . . . . . 11
2817, 22, 27syl2an 464 . . . . . . . . . 10
2915simprbi 451 . . . . . . . . . . 11
3020simprbi 451 . . . . . . . . . . 11
3129, 30anim12i 550 . . . . . . . . . 10
32 dvds2sub 12823 . . . . . . . . . . 11
333, 32mp3an1 1266 . . . . . . . . . 10
3428, 31, 33sylc 58 . . . . . . . . 9
35 zcn 10233 . . . . . . . . . . . 12
36 zcn 10233 . . . . . . . . . . . 12
372zrei 10234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3837recni 9049 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3938subidi 9317 . . . . . . . . . . . . . . 15
4039oveq1i 6044 . . . . . . . . . . . . . 14
41 0cn 9031 . . . . . . . . . . . . . . 15
42 subsub2 9275 . . . . . . . . . . . . . . 15
4341, 42mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . . . 14
4440, 43syl5eq 2445 . . . . . . . . . . . . 13
45 sub4 9292 . . . . . . . . . . . . . 14
4638, 38, 45mpanl12 664 . . . . . . . . . . . . 13
47 subcl 9251 . . . . . . . . . . . . . . 15
4847ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . 14
4948addid2d 9213 . . . . . . . . . . . . 13
5044, 46, 493eqtr3d 2441 . . . . . . . . . . . 12
5135, 36, 50syl2an 464 . . . . . . . . . . 11
5217, 22, 51syl2an 464 . . . . . . . . . 10
5352breq2d 4179 . . . . . . . . 9
5434, 53mpbid 202 . . . . . . . 8
55 zsubcl 10265 . . . . . . . . . . 11
5655ancoms 440 . . . . . . . . . 10
57 absdvdsb 12809 . . . . . . . . . 10
583, 56, 57sylancr 645 . . . . . . . . 9
5917, 22, 58syl2an 464 . . . . . . . 8
6054, 59mpbid 202 . . . . . . 7
61 nnabscl 12070 . . . . . . . . . . 11
623, 4, 61mp2an 654 . . . . . . . . . 10
6362nnzi 10251 . . . . . . . . 9
64 divides 12795 . . . . . . . . 9
6563, 56, 64sylancr 645 . . . . . . . 8
6617, 22, 65syl2an 464 . . . . . . 7
6760, 66mpbid 202 . . . . . 6
6867adantr 452 . . . . 5
692, 3, 4, 5divalglem8 12861 . . . . . 6
7069rexlimdv 2786 . . . . 5
7168, 70mpd 15 . . . 4
7271ex 424 . . 3
7372rgen2a 2729 . 2
74 breq1 4170 . . 3
7574reu4 3085 . 2
7612, 73, 75mpbir2an 887 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1649   wcel 1721   wne 2564  wral 2663  wrex 2664  wreu 2665  crab 2667   class class class wbr 4167  ccnv 4831  cfv 5408  (class class class)co 6034  csup 7394  cc 8935  cr 8936  cc0 8937   caddc 8940   cmul 8942   clt 9067   cle 9068   cmin 9237  cn 9946  cn0 10167  cz 10228  cabs 11980   cdivides 12793 This theorem is referenced by:  divalglem10  12863 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2382  ax-sep 4285  ax-nul 4293  ax-pow 4332  ax-pr 4358  ax-un 4655  ax-cnex 8993  ax-resscn 8994  ax-1cn 8995  ax-icn 8996  ax-addcl 8997  ax-addrcl 8998  ax-mulcl 8999  ax-mulrcl 9000  ax-mulcom 9001  ax-addass 9002  ax-mulass 9003  ax-distr 9004  ax-i2m1 9005  ax-1ne0 9006  ax-1rid 9007  ax-rnegex 9008  ax-rrecex 9009  ax-cnre 9010  ax-pre-lttri 9011  ax-pre-lttrn 9012  ax-pre-ltadd 9013  ax-pre-mulgt0 9014  ax-pre-sup 9015 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2526  df-ne 2566  df-nel 2567  df-ral 2668  df-rex 2669  df-reu 2670  df-rmo 2671  df-rab 2672  df-v 2915  df-sbc 3119  df-csb 3209  df-dif 3280  df-un 3282  df-in 3284  df-ss 3291  df-pss 3293  df-nul 3586  df-if 3697  df-pw 3758  df-sn 3777  df-pr 3778  df-tp 3779  df-op 3780  df-uni 3972  df-iun 4051  df-br 4168  df-opab 4222  df-mpt 4223  df-tr 4258  df-eprel 4449  df-id 4453  df-po 4458  df-so 4459  df-fr 4496  df-we 4498  df-ord 4539  df-on 4540  df-lim 4541  df-suc 4542  df-om 4800  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5372  df-fun 5410  df-fn 5411  df-f 5412  df-f1 5413  df-fo 5414  df-f1o 5415  df-fv 5416  df-ov 6037  df-oprab 6038  df-mpt2 6039  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-riota 6499  df-recs 6583  df-rdg 6618  df-er 6855  df-en 7060  df-dom 7061  df-sdom 7062  df-sup 7395  df-pnf 9069  df-mnf 9070  df-xr 9071  df-ltxr 9072  df-le 9073  df-sub 9239  df-neg 9240  df-div 9624  df-nn 9947  df-2 10004  df-3 10005  df-n0 10168  df-z 10229  df-uz 10435  df-rp 10559  df-fz 10990  df-seq 11265  df-exp 11324  df-cj 11845  df-re 11846  df-im 11847  df-sqr 11981  df-abs 11982  df-dvds 12794
 Copyright terms: Public domain W3C validator