MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan2d Unicode version

Theorem divcan2d 9554
Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divcan2d  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A  /  B ) )  =  A )

Proof of Theorem divcan2d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divcan2 9448 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( B  x.  ( A  /  B ) )  =  A )
51, 2, 3, 4syl3anc 1182 1  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A  /  B ) )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459  (class class class)co 5874   CCcc 8751   0cc0 8753    x. cmul 8758    / cdiv 9439
This theorem is referenced by:  nneo  10111  zeo2  10114  intfracq  10979  discr  11254  hashf1  11411  caurcvgr  12162  iseralt  12173  mertenslem1  12356  tanadd  12463  bitsmod  12643  mulgcd  12741  prmind2  12785  qredeq  12801  qredeu  12802  isprm5  12807  pythagtriplem19  12902  pcprendvds2  12910  pcpremul  12912  pcadd  12953  prmreclem1  12979  4sqlem19  13026  ablfac1lem  15319  pgpfac1lem3  15328  prmirredlem  16462  znrrg  16535  metnrmlem3  18381  lebnumlem3  18477  pcoass  18538  ipcau2  18680  minveclem3  18809  sca2rab  18887  ovolscalem1  18888  uniioombllem4  18957  uniioombl  18960  itg1mulc  19075  itg2const2  19112  dvrec  19320  dveflem  19342  lhop1  19377  vieta1  19708  elqaalem3  19717  abelthlem8  19831  tangtx  19889  tanregt0  19917  eff1olem  19926  eflogeq  19971  argregt0  19980  argrege0  19981  argimgt0  19982  cxpeq  20113  ang180lem5  20127  lawcoslem1  20129  isosctrlem2  20135  isosctrlem3  20136  dcubic1lem  20155  dcubic2  20156  dcubic1  20157  mcubic  20159  dquartlem1  20163  dquart  20165  quart1lem  20167  quart1  20168  quart  20173  atantayl2  20250  birthdaylem2  20263  ftalem5  20330  basellem3  20336  basellem4  20337  dvdsdivcl  20437  fsumdvdsdiaglem  20439  logexprlim  20480  mersenne  20482  perfectlem2  20485  perfect  20486  bposlem9  20547  lgsqrlem2  20597  lgseisenlem1  20604  lgseisenlem3  20606  lgsquadlem1  20609  lgsquad2lem1  20613  m1lgs  20617  2sqlem8  20627  rplogsumlem1  20649  dchrvmasumiflem2  20667  dchrisum0flblem2  20674  dchrisum0fno1  20676  dchrisum0lem1  20681  mulog2sumlem3  20701  selberglem2  20711  selberg3lem1  20722  selberg4lem1  20725  selberg3r  20734  selberg4r  20735  pntrlog2bndlem2  20743  pntlemg  20763  subfacval2  23733  circum  24022  axsegconlem10  24626  axeuclidlem  24662  bpoly4  24866  areacirclem2  25028  areacirclem5  25032  mslb1  25710  2wsms  25711  nn0prpwlem  26341  cntotbnd  26623  irrapxlem5  27014  pellexlem2  27018  jm2.22  27191  jm2.20nn  27193  stoweidlem62  27914  stirlinglem1  27926
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440
  Copyright terms: Public domain W3C validator