MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcld Structured version   Unicode version

Theorem divcld 9782
Description: Closure law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divcld  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  CC )

Proof of Theorem divcld
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divcl 9676 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  CC )
51, 2, 3, 4syl3anc 1184 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725    =/= wne 2598  (class class class)co 6073   CCcc 8980   0cc0 8982    / cdiv 9669
This theorem is referenced by:  dmdcan2d  9812  hashf1  11698  abs1m  12131  abslem2  12135  sqreulem  12155  sqreu  12156  o1fsum  12584  divrcnv  12624  divcnv  12625  geolim  12639  geolim2  12640  geo2sum  12642  geo2lim  12644  eftcl  12668  efaddlem  12687  tancl  12722  tanval2  12726  qredeq  13098  pcaddlem  13249  pjthlem1  19330  iblss  19688  itgeqa  19697  iblconst  19701  iblabsr  19713  iblmulc2  19714  itgsplit  19719  dvlem  19775  dvmulbr  19817  dvcobr  19824  dvrec  19833  dvcnvlem  19852  dveflem  19855  dvsincos  19857  dvlip  19869  c1liplem1  19872  lhop1lem  19889  lhop1  19890  lhop2  19891  lhop  19892  ftc1lem4  19915  vieta1lem2  20220  vieta1  20221  elqaalem3  20230  aareccl  20235  aalioulem1  20241  taylfvallem1  20265  tayl0  20270  taylply2  20276  taylply  20277  dvtaylp  20278  taylthlem2  20282  ulmdvlem1  20308  tanregt0  20433  eff1olem  20442  argregt0  20497  argrege0  20498  argimgt0  20499  logcnlem4  20528  advlogexp  20538  logtaylsum  20544  logtayl2  20545  root1eq1  20631  angcld  20639  angrteqvd  20640  cosangneg2d  20641  angrtmuld  20642  ang180lem1  20643  ang180lem2  20644  ang180lem3  20645  ang180lem4  20646  ang180lem5  20647  lawcoslem1  20649  lawcos  20650  isosctrlem2  20655  isosctrlem3  20656  angpieqvdlem  20661  angpieqvdlem2  20662  angpieqvd  20664  dcubic1lem  20675  dcubic2  20676  dcubic1  20677  dcubic  20678  mcubic  20679  cubic2  20680  dquartlem1  20683  dquartlem2  20684  dquart  20685  quart1cl  20686  quart1lem  20687  quart1  20688  quartlem3  20691  quartlem4  20692  quart  20693  tanatan  20751  atantayl  20769  atantayl2  20770  atantayl3  20771  log2cnv  20776  birthdaylem2  20783  efrlim  20800  dfef2  20801  cxploglim2  20809  fsumharmonic  20842  ftalem4  20850  ftalem5  20851  basellem8  20862  logexprlim  21001  bposlem9  21068  2sqlem3  21142  dchrmusum2  21180  dchrvmasum2lem  21182  dchrvmasumiflem1  21187  dchrvmasumiflem2  21188  dchrvmaeq0  21190  dchrisum0re  21199  dchrisum0lem1b  21201  dchrisum0lem1  21202  dchrisum0lem2a  21203  dchrisum0lem2  21204  dchrisum0lem3  21205  dchrisum0  21206  mudivsum  21216  vmalogdivsum2  21224  vmalogdivsum  21225  2vmadivsumlem  21226  selberg2  21237  selberg3lem1  21243  selberg3  21245  selberg4lem1  21246  selbergr  21254  selberg3r  21255  selberg4r  21256  selberg34r  21257  pntrlog2bndlem1  21263  pntrlog2bndlem2  21264  pntrlog2bndlem3  21265  pntrlog2bndlem4  21266  pntrlog2bndlem5  21267  pjhthlem1  22885  eigvalcl  23456  riesz3i  23557  bcm1n  24143  divnumden2  24153  logbcl  24389  lgamgulmlem2  24806  lgamgulmlem3  24807  lgamgulmlem4  24808  lgamgulmlem5  24809  lgamgulmlem6  24810  lgamgulm2  24812  lgamcvg2  24831  gamcvg  24832  gamcvg2lem  24835  subfacval2  24865  divcnvlin  25204  fproddiv  25277  iprodgam  25311  colinearalg  25841  axcontlem8  25902  bpolycl  26090  bpolysum  26091  bpolydiflem  26092  bpoly4  26097  itg2addnclem  26246  iblmulc2nc  26260  ftc1cnnclem  26268  areacirclem2  26282  areacirclem5  26286  areacirc  26288  cntotbnd  26496  pellexlem2  26884  pellexlem6  26888  jm2.19  27055  jm2.27c  27069  proot1ex  27488  clim1fr1  27694  stoweidlem11  27727  stoweidlem26  27742  stoweidlem42  27758  wallispilem4  27784  wallispilem5  27785  wallispi  27786  wallispi2lem1  27787  wallispi2lem2  27788  wallispi2  27789  stirlinglem1  27790  stirlinglem3  27792  stirlinglem4  27793  stirlinglem5  27794  stirlinglem6  27795  stirlinglem7  27796  stirlinglem13  27802  stirlinglem14  27803  stirlinglem15  27804  sigardiv  27818  sharhght  27822  cotcl  28432
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670
  Copyright terms: Public domain W3C validator