MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcld Unicode version

Theorem divcld 9538
Description: Closure law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divcld  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  CC )

Proof of Theorem divcld
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divcl 9432 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  CC )
51, 2, 3, 4syl3anc 1182 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1686    =/= wne 2448  (class class class)co 5860   CCcc 8737   0cc0 8739    / cdiv 9425
This theorem is referenced by:  dmdcan2d  9568  hashf1  11397  abs1m  11821  abslem2  11825  sqreulem  11845  sqreu  11846  o1fsum  12273  divrcnv  12313  divcnv  12314  geolim  12328  geolim2  12329  geo2sum  12331  geo2lim  12333  eftcl  12357  efaddlem  12376  tancl  12411  tanval2  12415  qredeq  12787  pcaddlem  12938  pjthlem1  18803  iblss  19161  itgeqa  19170  iblconst  19174  iblabsr  19186  iblmulc2  19187  itgsplit  19192  dvlem  19248  dvmulbr  19290  dvcobr  19297  dvrec  19306  dvcnvlem  19325  dveflem  19328  dvsincos  19330  dvlip  19342  c1liplem1  19345  lhop1lem  19362  lhop1  19363  lhop2  19364  lhop  19365  ftc1lem4  19388  vieta1lem2  19693  vieta1  19694  elqaalem3  19703  aareccl  19708  aalioulem1  19714  taylfvallem1  19738  tayl0  19743  taylply2  19749  taylply  19750  dvtaylp  19751  taylthlem2  19755  ulmdvlem1  19779  tanregt0  19903  eff1olem  19912  argregt0  19966  argrege0  19967  argimgt0  19968  logcnlem4  19994  advlogexp  20004  logtaylsum  20010  logtayl2  20011  root1eq1  20097  angcld  20105  angrteqvd  20106  cosangneg2d  20107  angrtmuld  20108  ang180lem1  20109  ang180lem2  20110  ang180lem3  20111  ang180lem4  20112  ang180lem5  20113  lawcoslem1  20115  lawcos  20116  isosctrlem2  20121  isosctrlem3  20122  angpieqvdlem  20127  angpieqvdlem2  20128  angpieqvd  20130  dcubic1lem  20141  dcubic2  20142  dcubic1  20143  dcubic  20144  mcubic  20145  cubic2  20146  dquartlem1  20149  dquartlem2  20150  dquart  20151  quart1cl  20152  quart1lem  20153  quart1  20154  quartlem3  20157  quartlem4  20158  quart  20159  tanatan  20217  atantayl  20235  atantayl2  20236  atantayl3  20237  log2cnv  20242  birthdaylem2  20249  efrlim  20266  dfef2  20267  cxploglim2  20275  fsumharmonic  20307  ftalem4  20315  ftalem5  20316  basellem8  20327  logexprlim  20466  bposlem9  20533  2sqlem3  20607  dchrmusum2  20645  dchrvmasum2lem  20647  dchrvmasumiflem1  20652  dchrvmasumiflem2  20653  dchrvmaeq0  20655  dchrisum0re  20664  dchrisum0lem1b  20666  dchrisum0lem1  20667  dchrisum0lem2a  20668  dchrisum0lem2  20669  dchrisum0lem3  20670  dchrisum0  20671  mudivsum  20681  vmalogdivsum2  20689  vmalogdivsum  20690  2vmadivsumlem  20691  selberg2  20702  selberg3lem1  20708  selberg3  20710  selberg4lem1  20711  selbergr  20719  selberg3r  20720  selberg4r  20721  selberg34r  20722  pntrlog2bndlem1  20728  pntrlog2bndlem2  20729  pntrlog2bndlem3  20730  pntrlog2bndlem4  20731  pntrlog2bndlem5  20732  pjhthlem1  21972  eigvalcl  22543  riesz3i  22644  bcm1n  23034  logbcl  23401  subfacval2  23720  colinearalg  24540  axcontlem8  24601  bpolycl  24789  bpolysum  24790  bpolydiflem  24791  bpoly4  24796  areacirclem2  24936  areacirclem5  24940  areacirc  24942  cntotbnd  26531  pellexlem2  26926  pellexlem6  26930  jm2.19  27097  jm2.27c  27111  proot1ex  27531  clim1fr1  27738  wallispilem4  27828  wallispilem5  27829  wallispi  27830  wallispi2lem1  27831  wallispi2lem2  27832  wallispi2  27833  stirlinglem1  27834  stirlinglem3  27836  stirlinglem4  27837  stirlinglem5  27838  stirlinglem6  27839  stirlinglem7  27840  stirlinglem13  27846  stirlinglem14  27847  stirlinglem15  27848  sigardiv  27862  sharhght  27866  cotcl  28233
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-riota 6306  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426
  Copyright terms: Public domain W3C validator