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Theorem divcn 18334
Description: Complex number division is a continuous function, when the second argument is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
addcn.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
divcn.k  |-  K  =  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )
Assertion
Ref Expression
divcn  |-  /  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  J
)

Proof of Theorem divcn
StepHypRef Expression
1 df-div 9392 . . 3  |-  /  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( iota_ z  e.  CC ( y  x.  z )  =  x ) )
2 eldifsn 3723 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )
3 divval 9394 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  ->  (
x  /  y )  =  ( iota_ z  e.  CC ( y  x.  z )  =  x ) )
4 divrec 9408 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  ->  (
x  /  y )  =  ( x  x.  ( 1  /  y
) ) )
53, 4eqtr3d 2292 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  ->  ( iota_ z  e.  CC ( y  x.  z )  =  x )  =  ( x  x.  (
1  /  y ) ) )
653expb 1157 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  ->  ( iota_ z  e.  CC ( y  x.  z )  =  x )  =  ( x  x.  ( 1  /  y ) ) )
72, 6sylan2b 463 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( iota_ z  e.  CC ( y  x.  z )  =  x )  =  ( x  x.  ( 1  /  y ) ) )
87mpt2eq3ia 5847 . . 3  |-  ( x  e.  CC ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( iota_ z  e.  CC ( y  x.  z
)  =  x ) )  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( x  x.  (
1  /  y ) ) )
91, 8eqtri 2278 . 2  |-  /  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( x  x.  ( 1  /  y
) ) )
10 addcn.j . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
1110cnfldtopon 18254 . . . . 5  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
1211a1i 12 . . . 4  |-  (  T. 
->  J  e.  (TopOn `  CC ) )
13 divcn.k . . . . 5  |-  K  =  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )
14 difss 3278 . . . . . 6  |-  ( CC 
\  { 0 } )  C_  CC
15 resttopon 16854 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( CC  \  { 0 } )  C_  CC )  ->  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )  e.  (TopOn `  ( CC  \  { 0 } ) ) )
1612, 14, 15sylancl 646 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )  e.  (TopOn `  ( CC  \  { 0 } ) ) )
1713, 16syl5eqel 2342 . . . 4  |-  (  T. 
->  K  e.  (TopOn `  ( CC  \  {
0 } ) ) )
1812, 17cnmpt1st 17324 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  CC ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  x )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  J
) )
1912, 17cnmpt2nd 17325 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  CC ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  y )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  K
) )
20 eqid 2258 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  z
) )  =  ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
z ) )
21 eldifsn 3723 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( z  e.  CC  /\  z  =/=  0 ) )
22 reccl 9399 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  CC  /\  z  =/=  0 )  -> 
( 1  /  z
)  e.  CC )
2321, 22sylbi 189 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( 1  / 
z )  e.  CC )
2420, 23fmpti 5617 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  z
) ) : ( CC  \  { 0 } ) --> CC
25 eqid 2258 . . . . . . . . . 10  |-  ( if ( 1  <_  (
( abs `  x
)  x.  y ) ,  1 ,  ( ( abs `  x
)  x.  y ) )  x.  ( ( abs `  x )  /  2 ) )  =  ( if ( 1  <_  ( ( abs `  x )  x.  y ) ,  1 ,  ( ( abs `  x )  x.  y
) )  x.  (
( abs `  x
)  /  2 ) )
2625reccn2 12035 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. u  e.  RR+  A. w  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( 1  /  w
)  -  ( 1  /  x ) ) )  <  y ) )
27 ovres 5921 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  w  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC 
\  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) w )  =  ( x ( abs  o.  -  ) w ) )
28 eldifi 3273 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  x  e.  CC )
29 eldifi 3273 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  w  e.  CC )
30 eqid 2258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
3130cnmetdval 18242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( x ( abs 
o.  -  ) w
)  =  ( abs `  ( x  -  w
) ) )
32 abssub 11775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( abs `  (
x  -  w ) )  =  ( abs `  ( w  -  x
) ) )
3331, 32eqtrd 2290 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( x ( abs 
o.  -  ) w
)  =  ( abs `  ( w  -  x
) ) )
3428, 29, 33syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  w  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x ( abs  o.  -  )
w )  =  ( abs `  ( w  -  x ) ) )
3527, 34eqtrd 2290 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  w  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC 
\  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) w )  =  ( abs `  ( w  -  x
) ) )
3635breq1d 4007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  w  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) w )  <  u  <->  ( abs `  ( w  -  x
) )  <  u
) )
37 oveq2 5800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  x  ->  (
1  /  z )  =  ( 1  /  x ) )
38 ovex 5817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  /  x )  e. 
_V
3937, 20, 38fvmpt 5536 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  z
) ) `  x
)  =  ( 1  /  x ) )
40 oveq2 5800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  w  ->  (
1  /  z )  =  ( 1  /  w ) )
41 ovex 5817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  /  w )  e. 
_V
4240, 20, 41fvmpt 5536 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  z
) ) `  w
)  =  ( 1  /  w ) )
4339, 42oveqan12d 5811 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  w  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( ( ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
z ) ) `  x ) ( abs 
o.  -  ) (
( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `
 w ) )  =  ( ( 1  /  x ) ( abs  o.  -  )
( 1  /  w
) ) )
44 eldifsn 3723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
45 reccl 9399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( 1  /  x
)  e.  CC )
4644, 45sylbi 189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( 1  /  x )  e.  CC )
47 eldifsn 3723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )
48 reccl 9399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  -> 
( 1  /  w
)  e.  CC )
4947, 48sylbi 189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( 1  /  w )  e.  CC )
5030cnmetdval 18242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 1  /  x
)  e.  CC  /\  ( 1  /  w
)  e.  CC )  ->  ( ( 1  /  x ) ( abs  o.  -  )
( 1  /  w
) )  =  ( abs `  ( ( 1  /  x )  -  ( 1  /  w ) ) ) )
51 abssub 11775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 1  /  x
)  e.  CC  /\  ( 1  /  w
)  e.  CC )  ->  ( abs `  (
( 1  /  x
)  -  ( 1  /  w ) ) )  =  ( abs `  ( ( 1  /  w )  -  (
1  /  x ) ) ) )
5250, 51eqtrd 2290 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 1  /  x
)  e.  CC  /\  ( 1  /  w
)  e.  CC )  ->  ( ( 1  /  x ) ( abs  o.  -  )
( 1  /  w
) )  =  ( abs `  ( ( 1  /  w )  -  ( 1  /  x ) ) ) )
5346, 49, 52syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  w  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( ( 1  /  x ) ( abs  o.  -  )
( 1  /  w
) )  =  ( abs `  ( ( 1  /  w )  -  ( 1  /  x ) ) ) )
5443, 53eqtrd 2290 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  w  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( ( ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
z ) ) `  x ) ( abs 
o.  -  ) (
( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `
 w ) )  =  ( abs `  (
( 1  /  w
)  -  ( 1  /  x ) ) ) )
5554breq1d 4007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  w  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( ( ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `
 x ) ( abs  o.  -  )
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `  w ) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( 1  /  w )  -  (
1  /  x ) ) )  <  y
) )
5636, 55imbi12d 313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  w  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( ( ( x ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) w )  < 
u  ->  ( (
( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `
 x ) ( abs  o.  -  )
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `  w ) )  <  y )  <-> 
( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( 1  /  w
)  -  ( 1  /  x ) ) )  <  y ) ) )
5756ralbidva 2534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( A. w  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) w )  <  u  ->  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `  x ) ( abs  o.  -  ) ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  z
) ) `  w
) )  <  y
)  <->  A. w  e.  ( CC  \  { 0 } ) ( ( abs `  ( w  -  x ) )  <  u  ->  ( abs `  ( ( 1  /  w )  -  ( 1  /  x
) ) )  < 
y ) ) )
5857rexbidv 2539 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( E. u  e.  RR+  A. w  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) w )  <  u  ->  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `  x ) ( abs  o.  -  ) ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  z
) ) `  w
) )  <  y
)  <->  E. u  e.  RR+  A. w  e.  ( CC 
\  { 0 } ) ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  u  ->  ( abs `  (
( 1  /  w
)  -  ( 1  /  x ) ) )  <  y ) ) )
5958adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( E. u  e.  RR+  A. w  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) w )  <  u  ->  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `  x ) ( abs  o.  -  ) ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  z
) ) `  w
) )  <  y
)  <->  E. u  e.  RR+  A. w  e.  ( CC 
\  { 0 } ) ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  u  ->  ( abs `  (
( 1  /  w
)  -  ( 1  /  x ) ) )  <  y ) ) )
6026, 59mpbird 225 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. u  e.  RR+  A. w  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) w )  <  u  ->  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `  x ) ( abs  o.  -  ) ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  z
) ) `  w
) )  <  y
) )
6160rgen2 2614 . . . . . . 7  |-  A. x  e.  ( CC  \  {
0 } ) A. y  e.  RR+  E. u  e.  RR+  A. w  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) w )  <  u  ->  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `  x ) ( abs  o.  -  ) ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  z
) ) `  w
) )  <  y
)
62 cnxmet 18244 . . . . . . . . 9  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
63 xmetres2 17887 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  ( CC  \  { 0 } )  C_  CC )  ->  ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) )  e.  ( * Met `  ( CC 
\  { 0 } ) ) )
6462, 14, 63mp2an 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) )  e.  ( * Met `  ( CC  \  { 0 } ) )
65 eqid 2258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC 
\  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) )
6610cnfldtopn 18253 . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
67 eqid 2258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) )  =  ( MetOpen `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) )
6865, 66, 67metrest 18032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  ( CC  \  { 0 } )  C_  CC )  ->  ( Jt  ( CC 
\  { 0 } ) )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) ) )
6962, 14, 68mp2an 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) )
7013, 69eqtri 2278 . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) )
7170, 66metcn 18051 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) )  e.  ( * Met `  ( CC  \  { 0 } ) )  /\  ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )  ->  (
( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  z ) )  e.  ( K  Cn  J )  <->  ( (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
z ) ) : ( CC  \  {
0 } ) --> CC 
/\  A. x  e.  ( CC  \  { 0 } ) A. y  e.  RR+  E. u  e.  RR+  A. w  e.  ( CC  \  { 0 } ) ( ( x ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) w )  < 
u  ->  ( (
( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `
 x ) ( abs  o.  -  )
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `  w ) )  <  y ) ) ) )
7264, 62, 71mp2an 656 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
z ) )  e.  ( K  Cn  J
)  <->  ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  z
) ) : ( CC  \  { 0 } ) --> CC  /\  A. x  e.  ( CC 
\  { 0 } ) A. y  e.  RR+  E. u  e.  RR+  A. w  e.  ( CC 
\  { 0 } ) ( ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) w )  <  u  -> 
( ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  z
) ) `  x
) ( abs  o.  -  ) ( ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
z ) ) `  w ) )  < 
y ) ) )
7324, 61, 72mpbir2an 891 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  z
) )  e.  ( K  Cn  J )
7473a1i 12 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  z ) )  e.  ( K  Cn  J ) )
75 oveq2 5800 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  (
1  /  z )  =  ( 1  / 
y ) )
7612, 17, 19, 17, 74, 75cnmpt21 17327 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  CC ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  / 
y ) )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  J
) )
7710mulcn 18333 . . . . 5  |-  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
7877a1i 12 . . . 4  |-  (  T. 
->  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J ) )
7912, 17, 18, 76, 78cnmpt22f 17331 . . 3  |-  (  T. 
->  ( x  e.  CC ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( x  x.  ( 1  /  y
) ) )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  J
) )
8079trud 1320 . 2  |-  ( x  e.  CC ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( x  x.  (
1  /  y ) ) )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  J )
819, 80eqeltri 2328 1  |-  /  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  J
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    T. wtru 1312    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2421   A.wral 2518   E.wrex 2519    \ cdif 3124    C_ wss 3127   ifcif 3539   {csn 3614   class class class wbr 3997    e. cmpt 4051    X. cxp 4659    |` cres 4663    o. ccom 4665   -->wf 4669   ` cfv 4673  (class class class)co 5792    e. cmpt2 5794   iota_crio 6263   CCcc 8703   0cc0 8705   1c1 8706    x. cmul 8710    < clt 8835    <_ cle 8836    - cmin 9005    / cdiv 9391   2c2 9763   RR+crp 10321   abscabs 11684   ↾t crest 13287   TopOpenctopn 13288   * Metcxmt 16331   MetOpencmopn 16334  ℂfldccnfld 16339  TopOnctopon 16594    Cn ccn 16916    tX ctx 17217
This theorem is referenced by:  cdivcncf  18382  evth  18419  dvcnvlem  19285  lhop1lem  19322
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783  ax-mulf 8785
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-iin 3882  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-of 6012  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-2o 6448  df-oadd 6451  df-er 6628  df-map 6742  df-ixp 6786  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-fi 7133  df-sup 7162  df-oi 7193  df-card 7540  df-cda 7762  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-4 9774  df-5 9775  df-6 9776  df-7 9777  df-8 9778  df-9 9779  df-10 9780  df-n0 9933  df-z 9992  df-dec 10092  df-uz 10198  df-q 10284  df-rp 10322  df-xneg 10419  df-xadd 10420  df-xmul 10421  df-icc 10629  df-fz 10749  df-fzo 10837  df-seq 11013  df-exp 11071  df-hash 11304  df-cj 11549  df-re 11550  df-im 11551  df-sqr 11685  df-abs 11686  df-struct 13112  df-ndx 13113  df-slot 13114  df-base 13115  df-sets 13116  df-ress 13117  df-plusg 13183  df-mulr 13184  df-starv 13185  df-sca 13186  df-vsca 13187  df-tset 13189  df-ple 13190  df-ds 13192  df-hom 13194  df-cco 13195  df-rest 13289  df-topn 13290  df-topgen 13306  df-pt 13307  df-prds 13310  df-xrs 13365  df-0g 13366  df-gsum 13367  df-qtop 13372  df-imas 13373  df-xps 13375  df-mre 13450  df-mrc 13451  df-acs 13453  df-mnd 14329  df-submnd 14378  df-mulg 14454  df-cntz 14755  df-cmn 15053  df-xmet 16335  df-met 16336  df-bl 16337  df-mopn 16338  df-cnfld 16340  df-top 16598  df-bases 16600  df-topon 16601  df-topsp 16602  df-cn 16919  df-cnp 16920  df-tx 17219  df-hmeo 17408  df-xms 17847  df-ms 17848  df-tms 17849
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