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Theorem divcn 18388
Description: Complex number division is a continuous function, when the second argument is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
addcn.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
divcn.k  |-  K  =  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )
Assertion
Ref Expression
divcn  |-  /  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  J
)

Proof of Theorem divcn
Dummy variables  u  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-div 9440 . . 3  |-  /  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( iota_ z  e.  CC ( y  x.  z )  =  x ) )
2 eldifsn 3762 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )
3 divval 9442 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  ->  (
x  /  y )  =  ( iota_ z  e.  CC ( y  x.  z )  =  x ) )
4 divrec 9456 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  ->  (
x  /  y )  =  ( x  x.  ( 1  /  y
) ) )
53, 4eqtr3d 2330 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  ->  ( iota_ z  e.  CC ( y  x.  z )  =  x )  =  ( x  x.  (
1  /  y ) ) )
653expb 1152 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  ->  ( iota_ z  e.  CC ( y  x.  z )  =  x )  =  ( x  x.  ( 1  /  y ) ) )
72, 6sylan2b 461 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( iota_ z  e.  CC ( y  x.  z )  =  x )  =  ( x  x.  ( 1  /  y ) ) )
87mpt2eq3ia 5929 . . 3  |-  ( x  e.  CC ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( iota_ z  e.  CC ( y  x.  z
)  =  x ) )  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( x  x.  (
1  /  y ) ) )
91, 8eqtri 2316 . 2  |-  /  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( x  x.  ( 1  /  y
) ) )
10 addcn.j . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
1110cnfldtopon 18308 . . . . 5  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
1211a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  J  e.  (TopOn `  CC ) )
13 divcn.k . . . . 5  |-  K  =  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )
14 difss 3316 . . . . . 6  |-  ( CC 
\  { 0 } )  C_  CC
15 resttopon 16908 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( CC  \  { 0 } )  C_  CC )  ->  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )  e.  (TopOn `  ( CC  \  { 0 } ) ) )
1612, 14, 15sylancl 643 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )  e.  (TopOn `  ( CC  \  { 0 } ) ) )
1713, 16syl5eqel 2380 . . . 4  |-  (  T. 
->  K  e.  (TopOn `  ( CC  \  {
0 } ) ) )
1812, 17cnmpt1st 17378 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  CC ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  x )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  J
) )
1912, 17cnmpt2nd 17379 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  CC ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  y )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  K
) )
20 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  z
) )  =  ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
z ) )
21 eldifsn 3762 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( z  e.  CC  /\  z  =/=  0 ) )
22 reccl 9447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  CC  /\  z  =/=  0 )  -> 
( 1  /  z
)  e.  CC )
2321, 22sylbi 187 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( 1  / 
z )  e.  CC )
2420, 23fmpti 5699 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  z
) ) : ( CC  \  { 0 } ) --> CC
25 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( if ( 1  <_  (
( abs `  x
)  x.  y ) ,  1 ,  ( ( abs `  x
)  x.  y ) )  x.  ( ( abs `  x )  /  2 ) )  =  ( if ( 1  <_  ( ( abs `  x )  x.  y ) ,  1 ,  ( ( abs `  x )  x.  y
) )  x.  (
( abs `  x
)  /  2 ) )
2625reccn2 12086 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. u  e.  RR+  A. w  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( 1  /  w
)  -  ( 1  /  x ) ) )  <  y ) )
27 ovres 6003 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  w  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC 
\  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) w )  =  ( x ( abs  o.  -  ) w ) )
28 eldifi 3311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  x  e.  CC )
29 eldifi 3311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  w  e.  CC )
30 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
3130cnmetdval 18296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( x ( abs 
o.  -  ) w
)  =  ( abs `  ( x  -  w
) ) )
32 abssub 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( abs `  (
x  -  w ) )  =  ( abs `  ( w  -  x
) ) )
3331, 32eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( x ( abs 
o.  -  ) w
)  =  ( abs `  ( w  -  x
) ) )
3428, 29, 33syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  w  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x ( abs  o.  -  )
w )  =  ( abs `  ( w  -  x ) ) )
3527, 34eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  w  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC 
\  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) w )  =  ( abs `  ( w  -  x
) ) )
3635breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  w  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) w )  <  u  <->  ( abs `  ( w  -  x
) )  <  u
) )
37 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  x  ->  (
1  /  z )  =  ( 1  /  x ) )
38 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  /  x )  e. 
_V
3937, 20, 38fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  z
) ) `  x
)  =  ( 1  /  x ) )
40 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  w  ->  (
1  /  z )  =  ( 1  /  w ) )
41 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  /  w )  e. 
_V
4240, 20, 41fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  z
) ) `  w
)  =  ( 1  /  w ) )
4339, 42oveqan12d 5893 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  w  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( ( ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
z ) ) `  x ) ( abs 
o.  -  ) (
( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `
 w ) )  =  ( ( 1  /  x ) ( abs  o.  -  )
( 1  /  w
) ) )
44 eldifsn 3762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
45 reccl 9447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( 1  /  x
)  e.  CC )
4644, 45sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( 1  /  x )  e.  CC )
47 eldifsn 3762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )
48 reccl 9447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  -> 
( 1  /  w
)  e.  CC )
4947, 48sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( 1  /  w )  e.  CC )
5030cnmetdval 18296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 1  /  x
)  e.  CC  /\  ( 1  /  w
)  e.  CC )  ->  ( ( 1  /  x ) ( abs  o.  -  )
( 1  /  w
) )  =  ( abs `  ( ( 1  /  x )  -  ( 1  /  w ) ) ) )
51 abssub 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 1  /  x
)  e.  CC  /\  ( 1  /  w
)  e.  CC )  ->  ( abs `  (
( 1  /  x
)  -  ( 1  /  w ) ) )  =  ( abs `  ( ( 1  /  w )  -  (
1  /  x ) ) ) )
5250, 51eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 1  /  x
)  e.  CC  /\  ( 1  /  w
)  e.  CC )  ->  ( ( 1  /  x ) ( abs  o.  -  )
( 1  /  w
) )  =  ( abs `  ( ( 1  /  w )  -  ( 1  /  x ) ) ) )
5346, 49, 52syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  w  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( ( 1  /  x ) ( abs  o.  -  )
( 1  /  w
) )  =  ( abs `  ( ( 1  /  w )  -  ( 1  /  x ) ) ) )
5443, 53eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  w  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( ( ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
z ) ) `  x ) ( abs 
o.  -  ) (
( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `
 w ) )  =  ( abs `  (
( 1  /  w
)  -  ( 1  /  x ) ) ) )
5554breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  w  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( ( ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `
 x ) ( abs  o.  -  )
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `  w ) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( 1  /  w )  -  (
1  /  x ) ) )  <  y
) )
5636, 55imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  w  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( ( ( x ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) w )  < 
u  ->  ( (
( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `
 x ) ( abs  o.  -  )
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `  w ) )  <  y )  <-> 
( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( 1  /  w
)  -  ( 1  /  x ) ) )  <  y ) ) )
5756ralbidva 2572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( A. w  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) w )  <  u  ->  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `  x ) ( abs  o.  -  ) ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  z
) ) `  w
) )  <  y
)  <->  A. w  e.  ( CC  \  { 0 } ) ( ( abs `  ( w  -  x ) )  <  u  ->  ( abs `  ( ( 1  /  w )  -  ( 1  /  x
) ) )  < 
y ) ) )
5857rexbidv 2577 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( E. u  e.  RR+  A. w  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) w )  <  u  ->  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `  x ) ( abs  o.  -  ) ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  z
) ) `  w
) )  <  y
)  <->  E. u  e.  RR+  A. w  e.  ( CC 
\  { 0 } ) ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  u  ->  ( abs `  (
( 1  /  w
)  -  ( 1  /  x ) ) )  <  y ) ) )
5958adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( E. u  e.  RR+  A. w  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) w )  <  u  ->  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `  x ) ( abs  o.  -  ) ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  z
) ) `  w
) )  <  y
)  <->  E. u  e.  RR+  A. w  e.  ( CC 
\  { 0 } ) ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  u  ->  ( abs `  (
( 1  /  w
)  -  ( 1  /  x ) ) )  <  y ) ) )
6026, 59mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. u  e.  RR+  A. w  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) w )  <  u  ->  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `  x ) ( abs  o.  -  ) ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  z
) ) `  w
) )  <  y
) )
6160rgen2 2652 . . . . . . 7  |-  A. x  e.  ( CC  \  {
0 } ) A. y  e.  RR+  E. u  e.  RR+  A. w  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) w )  <  u  ->  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `  x ) ( abs  o.  -  ) ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  z
) ) `  w
) )  <  y
)
62 cnxmet 18298 . . . . . . . . 9  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
63 xmetres2 17941 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  ( CC  \  { 0 } )  C_  CC )  ->  ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) )  e.  ( * Met `  ( CC 
\  { 0 } ) ) )
6462, 14, 63mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) )  e.  ( * Met `  ( CC  \  { 0 } ) )
65 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC 
\  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) )
6610cnfldtopn 18307 . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
67 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) )  =  ( MetOpen `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) )
6865, 66, 67metrest 18086 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  ( CC  \  { 0 } )  C_  CC )  ->  ( Jt  ( CC 
\  { 0 } ) )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) ) )
6962, 14, 68mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) )
7013, 69eqtri 2316 . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) )
7170, 66metcn 18105 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) )  e.  ( * Met `  ( CC  \  { 0 } ) )  /\  ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )  ->  (
( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  z ) )  e.  ( K  Cn  J )  <->  ( (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
z ) ) : ( CC  \  {
0 } ) --> CC 
/\  A. x  e.  ( CC  \  { 0 } ) A. y  e.  RR+  E. u  e.  RR+  A. w  e.  ( CC  \  { 0 } ) ( ( x ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) w )  < 
u  ->  ( (
( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `
 x ) ( abs  o.  -  )
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `  w ) )  <  y ) ) ) )
7264, 62, 71mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
z ) )  e.  ( K  Cn  J
)  <->  ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  z
) ) : ( CC  \  { 0 } ) --> CC  /\  A. x  e.  ( CC 
\  { 0 } ) A. y  e.  RR+  E. u  e.  RR+  A. w  e.  ( CC 
\  { 0 } ) ( ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) w )  <  u  -> 
( ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  z
) ) `  x
) ( abs  o.  -  ) ( ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
z ) ) `  w ) )  < 
y ) ) )
7324, 61, 72mpbir2an 886 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  z
) )  e.  ( K  Cn  J )
7473a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  z ) )  e.  ( K  Cn  J ) )
75 oveq2 5882 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  (
1  /  z )  =  ( 1  / 
y ) )
7612, 17, 19, 17, 74, 75cnmpt21 17381 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  CC ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  / 
y ) )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  J
) )
7710mulcn 18387 . . . . 5  |-  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
7877a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J ) )
7912, 17, 18, 76, 78cnmpt22f 17385 . . 3  |-  (  T. 
->  ( x  e.  CC ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( x  x.  ( 1  /  y
) ) )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  J
) )
8079trud 1314 . 2  |-  ( x  e.  CC ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( x  x.  (
1  /  y ) ) )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  J )
819, 80eqeltri 2366 1  |-  /  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  J
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    T. wtru 1307    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    \ cdif 3162    C_ wss 3165   ifcif 3578   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    X. cxp 4703    |` cres 4707    o. ccom 4709   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   iota_crio 6313   CCcc 8751   0cc0 8753   1c1 8754    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   2c2 9811   RR+crp 10370   abscabs 11735   ↾t crest 13341   TopOpenctopn 13342   * Metcxmt 16385   MetOpencmopn 16388  ℂfldccnfld 16393  TopOnctopon 16648    Cn ccn 16970    tX ctx 17271
This theorem is referenced by:  cdivcncf  18436  evth  18473  dvcnvlem  19339  lhop1lem  19376
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903
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