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Theorem divcn 18368
Description: Complex number division is a continuous function, when the second argument is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
addcn.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
divcn.k  |-  K  =  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )
Assertion
Ref Expression
divcn  |-  /  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  J
)
Dummy variables  u  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem divcn
StepHypRef Expression
1 df-div 9421 . . 3  |-  /  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( iota_ z  e.  CC ( y  x.  z )  =  x ) )
2 eldifsn 3752 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )
3 divval 9423 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  ->  (
x  /  y )  =  ( iota_ z  e.  CC ( y  x.  z )  =  x ) )
4 divrec 9437 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  ->  (
x  /  y )  =  ( x  x.  ( 1  /  y
) ) )
53, 4eqtr3d 2320 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  ->  ( iota_ z  e.  CC ( y  x.  z )  =  x )  =  ( x  x.  (
1  /  y ) ) )
653expb 1154 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  ->  ( iota_ z  e.  CC ( y  x.  z )  =  x )  =  ( x  x.  ( 1  /  y ) ) )
72, 6sylan2b 463 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( iota_ z  e.  CC ( y  x.  z )  =  x )  =  ( x  x.  ( 1  /  y ) ) )
87mpt2eq3ia 5876 . . 3  |-  ( x  e.  CC ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( iota_ z  e.  CC ( y  x.  z
)  =  x ) )  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( x  x.  (
1  /  y ) ) )
91, 8eqtri 2306 . 2  |-  /  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( x  x.  ( 1  /  y
) ) )
10 addcn.j . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
1110cnfldtopon 18288 . . . . 5  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
1211a1i 12 . . . 4  |-  (  T. 
->  J  e.  (TopOn `  CC ) )
13 divcn.k . . . . 5  |-  K  =  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )
14 difss 3306 . . . . . 6  |-  ( CC 
\  { 0 } )  C_  CC
15 resttopon 16888 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( CC  \  { 0 } )  C_  CC )  ->  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )  e.  (TopOn `  ( CC  \  { 0 } ) ) )
1612, 14, 15sylancl 645 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )  e.  (TopOn `  ( CC  \  { 0 } ) ) )
1713, 16syl5eqel 2370 . . . 4  |-  (  T. 
->  K  e.  (TopOn `  ( CC  \  {
0 } ) ) )
1812, 17cnmpt1st 17358 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  CC ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  x )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  J
) )
1912, 17cnmpt2nd 17359 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  CC ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  y )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  K
) )
20 eqid 2286 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  z
) )  =  ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
z ) )
21 eldifsn 3752 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( z  e.  CC  /\  z  =/=  0 ) )
22 reccl 9428 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  CC  /\  z  =/=  0 )  -> 
( 1  /  z
)  e.  CC )
2321, 22sylbi 189 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( 1  / 
z )  e.  CC )
2420, 23fmpti 5646 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  z
) ) : ( CC  \  { 0 } ) --> CC
25 eqid 2286 . . . . . . . . . 10  |-  ( if ( 1  <_  (
( abs `  x
)  x.  y ) ,  1 ,  ( ( abs `  x
)  x.  y ) )  x.  ( ( abs `  x )  /  2 ) )  =  ( if ( 1  <_  ( ( abs `  x )  x.  y ) ,  1 ,  ( ( abs `  x )  x.  y
) )  x.  (
( abs `  x
)  /  2 ) )
2625reccn2 12066 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. u  e.  RR+  A. w  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( 1  /  w
)  -  ( 1  /  x ) ) )  <  y ) )
27 ovres 5950 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  w  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC 
\  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) w )  =  ( x ( abs  o.  -  ) w ) )
28 eldifi 3301 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  x  e.  CC )
29 eldifi 3301 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  w  e.  CC )
30 eqid 2286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
3130cnmetdval 18276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( x ( abs 
o.  -  ) w
)  =  ( abs `  ( x  -  w
) ) )
32 abssub 11806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( abs `  (
x  -  w ) )  =  ( abs `  ( w  -  x
) ) )
3331, 32eqtrd 2318 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( x ( abs 
o.  -  ) w
)  =  ( abs `  ( w  -  x
) ) )
3428, 29, 33syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  w  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x ( abs  o.  -  )
w )  =  ( abs `  ( w  -  x ) ) )
3527, 34eqtrd 2318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  w  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC 
\  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) w )  =  ( abs `  ( w  -  x
) ) )
3635breq1d 4036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  w  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) w )  <  u  <->  ( abs `  ( w  -  x
) )  <  u
) )
37 oveq2 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  x  ->  (
1  /  z )  =  ( 1  /  x ) )
38 ovex 5846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  /  x )  e. 
_V
3937, 20, 38fvmpt 5565 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  z
) ) `  x
)  =  ( 1  /  x ) )
40 oveq2 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  w  ->  (
1  /  z )  =  ( 1  /  w ) )
41 ovex 5846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  /  w )  e. 
_V
4240, 20, 41fvmpt 5565 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  z
) ) `  w
)  =  ( 1  /  w ) )
4339, 42oveqan12d 5840 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  w  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( ( ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
z ) ) `  x ) ( abs 
o.  -  ) (
( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `
 w ) )  =  ( ( 1  /  x ) ( abs  o.  -  )
( 1  /  w
) ) )
44 eldifsn 3752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
45 reccl 9428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( 1  /  x
)  e.  CC )
4644, 45sylbi 189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( 1  /  x )  e.  CC )
47 eldifsn 3752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )
48 reccl 9428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  CC  /\  w  =/=  0 )  -> 
( 1  /  w
)  e.  CC )
4947, 48sylbi 189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( 1  /  w )  e.  CC )
5030cnmetdval 18276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 1  /  x
)  e.  CC  /\  ( 1  /  w
)  e.  CC )  ->  ( ( 1  /  x ) ( abs  o.  -  )
( 1  /  w
) )  =  ( abs `  ( ( 1  /  x )  -  ( 1  /  w ) ) ) )
51 abssub 11806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 1  /  x
)  e.  CC  /\  ( 1  /  w
)  e.  CC )  ->  ( abs `  (
( 1  /  x
)  -  ( 1  /  w ) ) )  =  ( abs `  ( ( 1  /  w )  -  (
1  /  x ) ) ) )
5250, 51eqtrd 2318 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 1  /  x
)  e.  CC  /\  ( 1  /  w
)  e.  CC )  ->  ( ( 1  /  x ) ( abs  o.  -  )
( 1  /  w
) )  =  ( abs `  ( ( 1  /  w )  -  ( 1  /  x ) ) ) )
5346, 49, 52syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  w  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( ( 1  /  x ) ( abs  o.  -  )
( 1  /  w
) )  =  ( abs `  ( ( 1  /  w )  -  ( 1  /  x ) ) ) )
5443, 53eqtrd 2318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  w  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( ( ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
z ) ) `  x ) ( abs 
o.  -  ) (
( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `
 w ) )  =  ( abs `  (
( 1  /  w
)  -  ( 1  /  x ) ) ) )
5554breq1d 4036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  w  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( ( ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `
 x ) ( abs  o.  -  )
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `  w ) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( 1  /  w )  -  (
1  /  x ) ) )  <  y
) )
5636, 55imbi12d 313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  w  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( ( ( x ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) w )  < 
u  ->  ( (
( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `
 x ) ( abs  o.  -  )
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `  w ) )  <  y )  <-> 
( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( 1  /  w
)  -  ( 1  /  x ) ) )  <  y ) ) )
5756ralbidva 2562 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( A. w  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) w )  <  u  ->  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `  x ) ( abs  o.  -  ) ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  z
) ) `  w
) )  <  y
)  <->  A. w  e.  ( CC  \  { 0 } ) ( ( abs `  ( w  -  x ) )  <  u  ->  ( abs `  ( ( 1  /  w )  -  ( 1  /  x
) ) )  < 
y ) ) )
5857rexbidv 2567 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( E. u  e.  RR+  A. w  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) w )  <  u  ->  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `  x ) ( abs  o.  -  ) ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  z
) ) `  w
) )  <  y
)  <->  E. u  e.  RR+  A. w  e.  ( CC 
\  { 0 } ) ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  u  ->  ( abs `  (
( 1  /  w
)  -  ( 1  /  x ) ) )  <  y ) ) )
5958adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( E. u  e.  RR+  A. w  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) w )  <  u  ->  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `  x ) ( abs  o.  -  ) ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  z
) ) `  w
) )  <  y
)  <->  E. u  e.  RR+  A. w  e.  ( CC 
\  { 0 } ) ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  u  ->  ( abs `  (
( 1  /  w
)  -  ( 1  /  x ) ) )  <  y ) ) )
6026, 59mpbird 225 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. u  e.  RR+  A. w  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) w )  <  u  ->  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `  x ) ( abs  o.  -  ) ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  z
) ) `  w
) )  <  y
) )
6160rgen2 2642 . . . . . . 7  |-  A. x  e.  ( CC  \  {
0 } ) A. y  e.  RR+  E. u  e.  RR+  A. w  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) w )  <  u  ->  (
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `  x ) ( abs  o.  -  ) ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  z
) ) `  w
) )  <  y
)
62 cnxmet 18278 . . . . . . . . 9  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
63 xmetres2 17921 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  ( CC  \  { 0 } )  C_  CC )  ->  ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) )  e.  ( * Met `  ( CC 
\  { 0 } ) ) )
6462, 14, 63mp2an 655 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) )  e.  ( * Met `  ( CC  \  { 0 } ) )
65 eqid 2286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC 
\  { 0 } )  X.  ( CC 
\  { 0 } ) ) )
6610cnfldtopn 18287 . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
67 eqid 2286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) )  =  ( MetOpen `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) )
6865, 66, 67metrest 18066 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  ( CC  \  { 0 } )  C_  CC )  ->  ( Jt  ( CC 
\  { 0 } ) )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) ) )
6962, 14, 68mp2an 655 . . . . . . . . . 10  |-  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) )
7013, 69eqtri 2306 . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) )
7170, 66metcn 18085 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) )  e.  ( * Met `  ( CC  \  { 0 } ) )  /\  ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )  ->  (
( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  z ) )  e.  ( K  Cn  J )  <->  ( (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
z ) ) : ( CC  \  {
0 } ) --> CC 
/\  A. x  e.  ( CC  \  { 0 } ) A. y  e.  RR+  E. u  e.  RR+  A. w  e.  ( CC  \  { 0 } ) ( ( x ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( CC  \  {
0 } )  X.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) w )  < 
u  ->  ( (
( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `
 x ) ( abs  o.  -  )
( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  z ) ) `  w ) )  <  y ) ) ) )
7264, 62, 71mp2an 655 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
z ) )  e.  ( K  Cn  J
)  <->  ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  z
) ) : ( CC  \  { 0 } ) --> CC  /\  A. x  e.  ( CC 
\  { 0 } ) A. y  e.  RR+  E. u  e.  RR+  A. w  e.  ( CC 
\  { 0 } ) ( ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( CC  \  { 0 } )  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) w )  <  u  -> 
( ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  z
) ) `  x
) ( abs  o.  -  ) ( ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
z ) ) `  w ) )  < 
y ) ) )
7324, 61, 72mpbir2an 888 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  z
) )  e.  ( K  Cn  J )
7473a1i 12 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  z ) )  e.  ( K  Cn  J ) )
75 oveq2 5829 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  (
1  /  z )  =  ( 1  / 
y ) )
7612, 17, 19, 17, 74, 75cnmpt21 17361 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  CC ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  / 
y ) )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  J
) )
7710mulcn 18367 . . . . 5  |-  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
7877a1i 12 . . . 4  |-  (  T. 
->  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J ) )
7912, 17, 18, 76, 78cnmpt22f 17365 . . 3  |-  (  T. 
->  ( x  e.  CC ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( x  x.  ( 1  /  y
) ) )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  J
) )
8079trud 1316 . 2  |-  ( x  e.  CC ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( x  x.  (
1  /  y ) ) )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  J )
819, 80eqeltri 2356 1  |-  /  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  J
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 936    T. wtru 1309    = wceq 1625    e. wcel 1687    =/= wne 2449   A.wral 2546   E.wrex 2547    \ cdif 3152    C_ wss 3155   ifcif 3568   {csn 3643   class class class wbr 4026    e. cmpt 4080    X. cxp 4688    |` cres 4692    o. ccom 4694   -->wf 5219   ` cfv 5223  (class class class)co 5821    e. cmpt2 5823   iota_crio 6292   CCcc 8732   0cc0 8734   1c1 8735    x. cmul 8739    < clt 8864    <_ cle 8865    - cmin 9034    / cdiv 9420   2c2 9792   RR+crp 10351   abscabs 11715   ↾t crest 13321   TopOpenctopn 13322   * Metcxmt 16365   MetOpencmopn 16368  ℂfldccnfld 16373  TopOnctopon 16628    Cn ccn 16950    tX ctx 17251
This theorem is referenced by:  cdivcncf  18416  evth  18453  dvcnvlem  19319  lhop1lem  19356
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1638  ax-8 1646  ax-13 1689  ax-14 1691  ax-6 1706  ax-7 1711  ax-11 1718  ax-12 1870  ax-ext 2267  ax-rep 4134  ax-sep 4144  ax-nul 4152  ax-pow 4189  ax-pr 4215  ax-un 4513  ax-inf2 7339  ax-cnex 8790  ax-resscn 8791  ax-1cn 8792  ax-icn 8793  ax-addcl 8794  ax-addrcl 8795  ax-mulcl 8796  ax-mulrcl 8797  ax-mulcom 8798  ax-addass 8799  ax-mulass 8800  ax-distr 8801  ax-i2m1 8802  ax-1ne0 8803  ax-1rid 8804  ax-rnegex 8805  ax-rrecex 8806  ax-cnre 8807  ax-pre-lttri 8808  ax-pre-lttrn 8809  ax-pre-ltadd 8810  ax-pre-mulgt0 8811  ax-pre-sup 8812  ax-mulf 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1633  df-eu 2150  df-mo 2151  df-clab 2273  df-cleq 2279  df-clel 2282  df-nfc 2411  df-ne 2451  df-nel 2452  df-ral 2551  df-rex 2552  df-reu 2553  df-rmo 2554  df-rab 2555  df-v 2793  df-sbc 2995  df-csb 3085  df-dif 3158  df-un 3160  df-in 3162  df-ss 3169  df-pss 3171  df-nul 3459  df-if 3569  df-pw 3630  df-sn 3649  df-pr 3650  df-tp 3651  df-op 3652  df-uni 3831  df-int 3866  df-iun 3910  df-iin 3911  df-br 4027  df-opab 4081  df-mpt 4082  df-tr 4117  df-eprel 4306  df-id 4310  df-po 4315  df-so 4316  df-fr 4353  df-se 4354  df-we 4355  df-ord 4396  df-on 4397  df-lim 4398  df-suc 4399  df-om 4658  df-xp 4696  df-rel 4697  df-cnv 4698  df-co 4699  df-dm 4700  df-rn 4701  df-res 4702  df-ima 4703  df-fun 5225  df-fn 5226  df-f 5227  df-f1 5228  df-fo 5229  df-f1o 5230  df-fv 5231  df-isom 5232  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpt2 5826  df-of 6041  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-iota 6254  df-riota 6301  df-recs 6385  df-rdg 6420  df-1o 6476  df-2o 6477  df-oadd 6480  df-er 6657  df-map 6771  df-ixp 6815  df-en 6861  df-dom 6862  df-sdom 6863  df-fin 6864  df-fi 7162  df-sup 7191  df-oi 7222  df-card 7569  df-cda 7791  df-pnf 8866  df-mnf 8867  df-xr 8868  df-ltxr 8869  df-le 8870  df-sub 9036  df-neg 9037  df-div 9421  df-nn 9744  df-2 9801  df-3 9802  df-4 9803  df-5 9804  df-6 9805  df-7 9806  df-8 9807  df-9 9808  df-10 9809  df-n0 9963  df-z 10022  df-dec 10122  df-uz 10228  df-q 10314  df-rp 10352  df-xneg 10449  df-xadd 10450  df-xmul 10451  df-icc 10659  df-fz 10779  df-fzo 10867  df-seq 11043  df-exp 11101  df-hash 11334  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-sqr 11716  df-abs 11717  df-struct 13146  df-ndx 13147  df-slot 13148  df-base 13149  df-sets 13150  df-ress 13151  df-plusg 13217  df-mulr 13218  df-starv 13219  df-sca 13220  df-vsca 13221  df-tset 13223  df-ple 13224  df-ds 13226  df-hom 13228  df-cco 13229  df-rest 13323  df-topn 13324  df-topgen 13340  df-pt 13341  df-prds 13344  df-xrs 13399  df-0g 13400  df-gsum 13401  df-qtop 13406  df-imas 13407  df-xps 13409  df-mre 13484  df-mrc 13485  df-acs 13487  df-mnd 14363  df-submnd 14412  df-mulg 14488  df-cntz 14789  df-cmn 15087  df-xmet 16369  df-met 16370  df-bl 16371  df-mopn 16372  df-cnfld 16374  df-top 16632  df-bases 16634  df-topon 16635  df-topsp 16636  df-cn 16953  df-cnp 16954  df-tx 17253  df-hmeo 17442  df-xms 17881  df-ms 17882  df-tms 17883
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