MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divdird Unicode version

Theorem divdird 9761
Description: Distribution of division over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divmuld.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
divassd.4  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divdird  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  /  C
)  =  ( ( A  /  C )  +  ( B  /  C ) ) )

Proof of Theorem divdird
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divmuld.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 divassd.4 . 2  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
5 divdir 9634 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )  -> 
( ( A  +  B )  /  C
)  =  ( ( A  /  C )  +  ( B  /  C ) ) )
61, 2, 3, 4, 5syl112anc 1188 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  /  C
)  =  ( ( A  /  C )  +  ( B  /  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551  (class class class)co 6021   CCcc 8922   0cc0 8924    + caddc 8927    / cdiv 9610
This theorem is referenced by:  zesq  11430  sqreulem  12091  bitsp1o  12873  bitsmod  12876  pythagtriplem19  13135  fldivp1  13194  mul4sqlem  13249  4sqlem17  13257  metnrmlem3  18763  pcoass  18921  ovollb2lem  19252  opnmbllem  19361  dvaddbr  19692  dvmulbr  19693  ftc1lem4  19791  vieta1lem2  20096  cosargd  20371  tanarg  20382  cxpaddle  20504  cxpeq  20509  dcubic1lem  20551  dcubic2  20552  mcubic  20555  cubic2  20556  dquartlem1  20559  dquart  20561  cosatan  20629  atantan  20631  dvatan  20643  jensenlem2  20694  logdifbnd  20700  emcllem3  20704  emcllem5  20706  basellem3  20733  basellem8  20738  perfectlem2  20882  bclbnd  20932  lgseisenlem1  21001  lgsquad2lem1  21010  dchrvmasum2if  21059  selberg3  21121  selberg4  21123  selberg34r  21133  pntrlog2bndlem2  21140  pntrlog2bndlem4  21142  pntrlog2bndlem5  21143  pntrlog2bndlem6  21145  pntibndlem2  21153  dya2icoseg  24422  dmgmdivn0  24592  lgamgulmlem2  24594  lgamgulmlem5  24597  lgamcvg2  24619  lgam1  24628  divcnvlin  24992  brbtwn2  25559  axsegconlem10  25580  axeuclidlem  25616  axcontlem8  25625  ftc1cnnclem  25979  dvreasin  25981  areacirclem2  25983  reglogmul  26648  clim1fr1  27396  stirlinglem4  27495  stirlinglem6  27497  cotsqcscsq  27852
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-riota 6486  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611
  Copyright terms: Public domain W3C validator