MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divdird Structured version   Unicode version

Theorem divdird 9866
Description: Distribution of division over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divmuld.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
divassd.4  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divdird  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  /  C
)  =  ( ( A  /  C )  +  ( B  /  C ) ) )

Proof of Theorem divdird
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divmuld.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 divassd.4 . 2  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
5 divdir 9739 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )  -> 
( ( A  +  B )  /  C
)  =  ( ( A  /  C )  +  ( B  /  C ) ) )
61, 2, 3, 4, 5syl112anc 1189 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  /  C
)  =  ( ( A  /  C )  +  ( B  /  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1654    e. wcel 1728    =/= wne 2606  (class class class)co 6117   CCcc 9026   0cc0 9028    + caddc 9031    / cdiv 9715
This theorem is referenced by:  zesq  11540  sqreulem  12201  bitsp1o  12983  bitsmod  12986  pythagtriplem19  13245  fldivp1  13304  mul4sqlem  13359  4sqlem17  13367  metnrmlem3  18929  pcoass  19087  ovollb2lem  19422  opnmbllem  19531  dvaddbr  19862  dvmulbr  19863  ftc1lem4  19961  vieta1lem2  20266  cosargd  20541  tanarg  20552  cxpaddle  20674  cxpeq  20679  dcubic1lem  20721  dcubic2  20722  mcubic  20725  cubic2  20726  dquartlem1  20729  dquart  20731  cosatan  20799  atantan  20801  dvatan  20813  jensenlem2  20864  logdifbnd  20870  emcllem3  20874  emcllem5  20876  basellem3  20903  basellem8  20908  perfectlem2  21052  bclbnd  21102  lgseisenlem1  21171  lgsquad2lem1  21180  dchrvmasum2if  21229  selberg3  21291  selberg4  21293  selberg34r  21303  pntrlog2bndlem2  21310  pntrlog2bndlem4  21312  pntrlog2bndlem5  21313  pntrlog2bndlem6  21315  pntibndlem2  21323  dya2icoseg  24662  dmgmdivn0  24847  lgamgulmlem2  24849  lgamgulmlem5  24852  lgamcvg2  24874  lgam1  24883  divcnvlin  25247  iprodgam  25354  brbtwn2  25879  axsegconlem10  25900  axeuclidlem  25936  axcontlem8  25945  opnmbllem0  26282  dvtan  26297  ftc1cnnclem  26320  dvreasin  26332  areacirclem1  26334  reglogmul  27068  clim1fr1  27815  stirlinglem4  27914  stirlinglem6  27916  cotsqcscsq  28677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-resscn 9085  ax-1cn 9086  ax-icn 9087  ax-addcl 9088  ax-addrcl 9089  ax-mulcl 9090  ax-mulrcl 9091  ax-mulcom 9092  ax-addass 9093  ax-mulass 9094  ax-distr 9095  ax-i2m1 9096  ax-1ne0 9097  ax-1rid 9098  ax-rnegex 9099  ax-rrecex 9100  ax-cnre 9101  ax-pre-lttri 9102  ax-pre-lttrn 9103  ax-pre-ltadd 9104  ax-pre-mulgt0 9105
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-op 3852  df-uni 4045  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-riota 6585  df-er 6941  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-pnf 9160  df-mnf 9161  df-xr 9162  df-ltxr 9163  df-le 9164  df-sub 9331  df-neg 9332  df-div 9716
  Copyright terms: Public domain W3C validator