MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divdird Unicode version

Theorem divdird 9817
Description: Distribution of division over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divmuld.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
divassd.4  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divdird  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  /  C
)  =  ( ( A  /  C )  +  ( B  /  C ) ) )

Proof of Theorem divdird
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divmuld.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 divassd.4 . 2  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
5 divdir 9690 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )  -> 
( ( A  +  B )  /  C
)  =  ( ( A  /  C )  +  ( B  /  C ) ) )
61, 2, 3, 4, 5syl112anc 1188 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  /  C
)  =  ( ( A  /  C )  +  ( B  /  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598  (class class class)co 6072   CCcc 8977   0cc0 8979    + caddc 8982    / cdiv 9666
This theorem is referenced by:  zesq  11490  sqreulem  12151  bitsp1o  12933  bitsmod  12936  pythagtriplem19  13195  fldivp1  13254  mul4sqlem  13309  4sqlem17  13317  metnrmlem3  18879  pcoass  19037  ovollb2lem  19372  opnmbllem  19481  dvaddbr  19812  dvmulbr  19813  ftc1lem4  19911  vieta1lem2  20216  cosargd  20491  tanarg  20502  cxpaddle  20624  cxpeq  20629  dcubic1lem  20671  dcubic2  20672  mcubic  20675  cubic2  20676  dquartlem1  20679  dquart  20681  cosatan  20749  atantan  20751  dvatan  20763  jensenlem2  20814  logdifbnd  20820  emcllem3  20824  emcllem5  20826  basellem3  20853  basellem8  20858  perfectlem2  21002  bclbnd  21052  lgseisenlem1  21121  lgsquad2lem1  21130  dchrvmasum2if  21179  selberg3  21241  selberg4  21243  selberg34r  21253  pntrlog2bndlem2  21260  pntrlog2bndlem4  21262  pntrlog2bndlem5  21263  pntrlog2bndlem6  21265  pntibndlem2  21273  dya2icoseg  24615  dmgmdivn0  24800  lgamgulmlem2  24802  lgamgulmlem5  24805  lgamcvg2  24827  lgam1  24836  divcnvlin  25200  iprodgam  25308  brbtwn2  25792  axsegconlem10  25813  axeuclidlem  25849  axcontlem8  25858  mblfinlem  26190  ftc1cnnclem  26224  dvreasin  26226  areacirclem2  26228  reglogmul  26893  clim1fr1  27641  stirlinglem4  27740  stirlinglem6  27742  cotsqcscsq  28363
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-riota 6540  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667
  Copyright terms: Public domain W3C validator