Theorem divdirt 5750

Description: Distribution of division over addition.

Assertion

Ref	Expression
divdirt	|- ((A e. CC /\ B e. CC /\ (C e. CC /\ C =/= 0)) -> ((A + B) / C) = ((A / C) + (B / C)))

Proof of Theorem divdirt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3968	. . . . . . . 8 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> (A + B) = (if(A e. CC, A, 0) + B))
2	1	opreq1d 3975	. . . . . . 7 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> ((A + B) / C) = ((if(A e. CC, A, 0) + B) / C))
3		opreq1 3968	. . . . . . . 8 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> (A / C) = (if(A e. CC, A, 0) / C))
4	3	opreq1d 3975	. . . . . . 7 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> ((A / C) + (B / C)) = ((if(A e. CC, A, 0) / C) + (B / C)))
5	2, 4	eqeq12d 1489	. . . . . 6 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> (((A + B) / C) = ((A / C) + (B / C)) <-> ((if(A e. CC, A, 0) + B) / C) = ((if(A e. CC, A, 0) / C) + (B / C))))
6	5	imbi2d 612	. . . . 5 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> ((C =/= 0 -> ((A + B) / C) = ((A / C) + (B / C))) <-> (C =/= 0 -> ((if(A e. CC, A, 0) + B) / C) = ((if(A e. CC, A, 0) / C) + (B / C)))))
7		opreq2 3969	. . . . . . . 8 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> (if(A e. CC, A, 0) + B) = (if(A e. CC, A, 0) + if(B e. CC, B, 0)))
8	7	opreq1d 3975	. . . . . . 7 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> ((if(A e. CC, A, 0) + B) / C) = ((if(A e. CC, A, 0) + if(B e. CC, B, 0)) / C))
9		opreq1 3968	. . . . . . . 8 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> (B / C) = (if(B e. CC, B, 0) / C))
10	9	opreq2d 3976	. . . . . . 7 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> ((if(A e. CC, A, 0) / C) + (B / C)) = ((if(A e. CC, A, 0) / C) + (if(B e. CC, B, 0) / C)))
11	8, 10	eqeq12d 1489	. . . . . 6 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> (((if(A e. CC, A, 0) + B) / C) = ((if(A e. CC, A, 0) / C) + (B / C)) <-> ((if(A e. CC, A, 0) + if(B e. CC, B, 0)) / C) = ((if(A e. CC, A, 0) / C) + (if(B e. CC, B, 0) / C))))
12	11	imbi2d 612	. . . . 5 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> ((C =/= 0 -> ((if(A e. CC, A, 0) + B) / C) = ((if(A e. CC, A, 0) / C) + (B / C))) <-> (C =/= 0 -> ((if(A e. CC, A, 0) + if(B e. CC, B, 0)) / C) = ((if(A e. CC, A, 0) / C) + (if(B e. CC, B, 0) / C)))))
13		neeq1 1590	. . . . . 6 |- (C = if(C e. CC, C, 0) -> (C =/= 0 <-> if(C e. CC, C, 0) =/= 0))
14		opreq2 3969	. . . . . . 7 |- (C = if(C e. CC, C, 0) -> ((if(A e. CC, A, 0) + if(B e. CC, B, 0)) / C) = ((if(A e. CC, A, 0) + if(B e. CC, B, 0)) / if(C e. CC, C, 0)))
15		opreq2 3969	. . . . . . . 8 |- (C = if(C e. CC, C, 0) -> (if(A e. CC, A, 0) / C) = (if(A e. CC, A, 0) / if(C e. CC, C, 0)))
16		opreq2 3969	. . . . . . . 8 |- (C = if(C e. CC, C, 0) -> (if(B e. CC, B, 0) / C) = (if(B e. CC, B, 0) / if(C e. CC, C, 0)))
17	15, 16	opreq12d 3978	. . . . . . 7 |- (C = if(C e. CC, C, 0) -> ((if(A e. CC, A, 0) / C) + (if(B e. CC, B, 0) / C)) = ((if(A e. CC, A, 0) / if(C e. CC, C, 0)) + (if(B e. CC, B, 0) / if(C e. CC, C, 0))))
18	14, 17	eqeq12d 1489	. . . . . 6 |- (C = if(C e. CC, C, 0) -> (((if(A e. CC, A, 0) + if(B e. CC, B, 0)) / C) = ((if(A e. CC, A, 0) / C) + (if(B e. CC, B, 0) / C)) <-> ((if(A e. CC, A, 0) + if(B e. CC, B, 0)) / if(C e. CC, C, 0)) = ((if(A e. CC, A, 0) / if(C e. CC, C, 0)) + (if(B e. CC, B, 0) / if(C e. CC, C, 0)))))
19	13, 18	imbi12d 626	. . . . 5 |- (C = if(C e. CC, C, 0) -> ((C =/= 0 -> ((if(A e. CC, A, 0) + if(B e. CC, B, 0)) / C) = ((if(A e. CC, A, 0) / C) + (if(B e. CC, B, 0) / C))) <-> (if(C e. CC, C, 0) =/= 0 -> ((if(A e. CC, A, 0) + if(B e. CC, B, 0)) / if(C e. CC, C, 0)) = ((if(A e. CC, A, 0) / if(C e. CC, C, 0)) + (if(B e. CC, B, 0) / if(C e. CC, C, 0))))))
20		0cn 5328	. . . . . . 7 |- 0 e. CC
21	20	elimel 2394	. . . . . 6 |- if(A e. CC, A, 0) e. CC
22	20	elimel 2394	. . . . . 6 |- if(B e. CC, B, 0) e. CC
23	20	elimel 2394	. . . . . 6 |- if(C e. CC, C, 0) e. CC
24	21, 22, 23	divdirz 5749	. . . . 5 |- (if(C e. CC, C, 0) =/= 0 -> ((if(A e. CC, A, 0) + if(B e. CC, B, 0)) / if(C e. CC, C, 0)) = ((if(A e. CC, A, 0) / if(C e. CC, C, 0)) + (if(B e. CC, B, 0) / if(C e. CC, C, 0))))
25	6, 12, 19, 24	dedth3h 2388	. . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) -> (C =/= 0 -> ((A + B) / C) = ((A / C) + (B / C))))
26	25	3exp 832	. . 3 |- (A e. CC -> (B e. CC -> (C e. CC -> (C =/= 0 -> ((A + B) / C) = ((A / C) + (B / C))))))
27	26	imp4a 364	. 2 |- (A e. CC -> (B e. CC -> ((C e. CC /\ C =/= 0) -> ((A + B) / C) = ((A / C) + (B / C)))))
28	27	3imp 827	1 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ (C e. CC /\ C =/= 0)) -> ((A + B) / C) = ((A / C) + (B / C)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585  ifcif 2361  (class class class)co 3963  CCcc 5232  0cc0 5234   + caddc 5237   / cdiv 5294

This theorem is referenced by:  2halvest 6039  halfaddsubt 6041  nneo 6197  zneo 6200  recjt 6818  geolimilem 7235  efivalt 7447  ioo2bl 7912

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703

Copyright terms: Public domain