Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divdivdiv Unicode version

Theorem divdivdiv 9394
 Description: Division of two ratios. Theorem I.15 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
divdivdiv

Proof of Theorem divdivdiv
StepHypRef Expression
1 simprrl 743 . . . . . . 7
2 simprll 741 . . . . . . 7
3 simprlr 742 . . . . . . 7
4 divcl 9363 . . . . . . 7
51, 2, 3, 4syl3anc 1187 . . . . . 6
6 simpll 733 . . . . . . 7
7 simplrl 739 . . . . . . 7
8 simplrr 740 . . . . . . 7
9 divcl 9363 . . . . . . 7
106, 7, 8, 9syl3anc 1187 . . . . . 6
115, 10mulcomd 8789 . . . . 5
12 simplr 734 . . . . . 6
13 simprl 735 . . . . . 6
14 divmuldiv 9393 . . . . . 6
156, 1, 12, 13, 14syl22anc 1188 . . . . 5
1611, 15eqtrd 2288 . . . 4
1716oveq2d 5773 . . 3
18 simprr 736 . . . . . . 7
19 divmuldiv 9393 . . . . . . 7
202, 1, 18, 13, 19syl22anc 1188 . . . . . 6
212, 1mulcomd 8789 . . . . . . . 8
2221oveq1d 5772 . . . . . . 7
231, 2mulcld 8788 . . . . . . . 8
24 simprrr 744 . . . . . . . . 9
251, 2, 24, 3mulne0d 9353 . . . . . . . 8
26 divid 9384 . . . . . . . 8
2723, 25, 26syl2anc 645 . . . . . . 7
2822, 27eqtrd 2288 . . . . . 6
2920, 28eqtrd 2288 . . . . 5
3029oveq1d 5772 . . . 4
31 divcl 9363 . . . . . 6
322, 1, 24, 31syl3anc 1187 . . . . 5
3332, 5, 10mulassd 8791 . . . 4
3410mulid2d 8786 . . . 4
3530, 33, 343eqtr3d 2296 . . 3
3617, 35eqtr3d 2290 . 2
376, 1mulcld 8788 . . . 4
387, 2mulcld 8788 . . . 4
39 mulne0 9343 . . . . 5
4039ad2ant2lr 731 . . . 4
41 divcl 9363 . . . 4
4237, 38, 40, 41syl3anc 1187 . . 3
43 divne0 9369 . . . 4
4443adantl 454 . . 3
45 divmul 9360 . . 3
4610, 42, 32, 44, 45syl112anc 1191 . 2
4736, 46mpbird 225 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wb 178   wa 360   wceq 1619   wcel 1621   wne 2419  (class class class)co 5757  cc 8668  cc0 8670  c1 8671   cmul 8675   cdiv 9356 This theorem is referenced by:  recdiv  9399  divcan7  9402  divdiv1  9404  divdiv2  9405  divdivdivi  9456  divdivdivd  9516  qreccl  10268  pnt2  20689 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-iota 6190  df-riota 6237  df-er 6593  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357
 Copyright terms: Public domain W3C validator