Theorem divrec2d 9750

Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	|- ( ph -> A e. CC )
divcld.2	|- ( ph -> B e. CC )
divcld.3	|- ( ph -> B =/= 0 )

Assertion

Ref	Expression
divrec2d	|- ( ph -> ( A / B ) = ( ( 1 / B ) x. A ) )

Proof of Theorem divrec2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		divcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		divcld.3	. 2 |- ( ph -> B =/= 0 )
4		divrec2 9651	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B =/= 0 ) -> ( A / B ) = ( ( 1 / B ) x. A ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1184	1 |- ( ph -> ( A / B ) = ( ( 1 / B ) x. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946   1c1 8947   x. cmul 8951   / cdiv 9633

This theorem is referenced by:  expaddzlem  11378  rediv  11891  imdiv  11898  geo2sum  12605  efaddlem  12650  sinhval  12710  sca2rab  19361  itg2mulclem  19591  itg2mulc  19592  dvmptdivc  19804  dvexp3  19815  dvlip  19830  dvradcnv  20290  tanregt0  20394  logtayl  20504  cxpeq  20594  chordthmlem2  20627  chordthmlem4  20629  dquartlem1  20644  asinlem3  20664  asinsin  20685  efiatan2  20710  atantayl2  20731  amgmlem  20781  basellem8  20823  chebbnd1lem3  21118  dchrmusum2  21141  dchrvmasumlem3  21146  dchrisum0lem1  21163  selberg2lem  21197  logdivbnd  21203  pntrsumo1  21212  pntrlog2bndlem5  21228  pntibndlem2  21238  pntlemr  21249  pntlemo  21254  nmblolbii  22253  blocnilem  22258  nmbdoplbi  23480  nmcoplbi  23484  nmbdfnlbi  23505  nmcfnlbi  23508  clim2div  25170  dvreasin  26179  areacirclem2  26181  areacirclem5  26185  wallispi2lem1  27687  stirlinglem4  27693  stirlinglem5  27694  stirlinglem15  27704

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634