MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divrecd Unicode version

Theorem divrecd 9782
Description: Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divrecd  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  =  ( A  x.  ( 1  /  B ) ) )

Proof of Theorem divrecd
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divrec 9683 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  =  ( A  x.  (
1  /  B ) ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1184 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  =  ( A  x.  ( 1  /  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598  (class class class)co 6072   CCcc 8977   0cc0 8979   1c1 8980    x. cmul 8984    / cdiv 9666
This theorem is referenced by:  prodgt0  9844  ltdiv1  9863  ltrec  9880  lediv12a  9892  expsub  11415  expdiv  11418  rlimdiv  12427  isumdivc  12536  fsumdivc  12557  trirecip  12630  geo2sum  12638  geo2lim  12640  ege2le3  12680  eftlub  12698  eirrlem  12791  prmreclem4  13275  abvdiv  15913  cnsubrg  16747  nmdvr  18694  nmoi2  18752  cphdivcl  19133  ipcau2  19179  ovolsca  19399  dvsincos  19853  plyeq0lem  20117  plydivlem4  20201  aalioulem4  20240  geolim3  20244  aaliou3lem8  20250  taylthlem2  20278  advlogexp  20534  cxpsub  20561  divcxp  20566  dvcxp1  20614  lawcoslem1  20645  dvatan  20763  leibpi  20770  log2tlbnd  20773  fsumharmonic  20838  basellem8  20858  chebbnd1  21154  rplogsumlem2  21167  rpvmasumlem  21169  dchrmusumlema  21175  dchrisum0lema  21196  dchrisum0lem1  21198  dchrisum0lem2a  21199  dchrisum0lem2  21200  dchrmusumlem  21204  mulogsumlem  21213  mulogsum  21214  logdivsum  21215  mulog2sumlem1  21216  vmalogdivsum2  21220  2vmadivsumlem  21222  log2sumbnd  21226  logdivbnd  21238  selberg4lem1  21242  selberg34r  21253  pntrlog2bndlem2  21260  pntrlog2bndlem4  21262  pntrlog2bndlem6  21265  pntpbnd2  21269  smcnlem  22181  ipasslem5  22324  lgamgulmlem2  24802  lgamgulmlem3  24803  lgamgulmlem4  24804  prodfdiv  25213  areacirclem2  26228  areacirclem5  26232  irrapxlem5  26826  pell14qrdivcl  26865  m1expaddsub  27336  climdivf  27652  stoweidlem36  27699  wallispi  27733  stirlinglem7  27743
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-riota 6540  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667
  Copyright terms: Public domain W3C validator