MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divrecd Unicode version

Theorem divrecd 9539
Description: Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divrecd  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  =  ( A  x.  ( 1  /  B ) ) )

Proof of Theorem divrecd
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divrec 9440 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  =  ( A  x.  (
1  /  B ) ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1182 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  =  ( A  x.  ( 1  /  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742    / cdiv 9423
This theorem is referenced by:  prodgt0  9601  ltdiv1  9620  ltrec  9637  lediv12a  9649  expsub  11149  expdiv  11152  rlimdiv  12119  isumdivc  12227  fsumdivc  12248  trirecip  12321  geo2sum  12329  geo2lim  12331  ege2le3  12371  eftlub  12389  eirrlem  12482  prmreclem4  12966  abvdiv  15602  cnsubrg  16432  nmdvr  18181  nmoi2  18239  cphdivcl  18618  ipcau2  18664  ovolsca  18874  dvsincos  19328  plyeq0lem  19592  plydivlem4  19676  aalioulem4  19715  geolim3  19719  aaliou3lem8  19725  taylthlem2  19753  advlogexp  20002  cxpsub  20029  divcxp  20034  dvcxp1  20082  lawcoslem1  20113  dvatan  20231  leibpi  20238  log2tlbnd  20241  fsumharmonic  20305  basellem8  20325  chebbnd1  20621  rplogsumlem2  20634  rpvmasumlem  20636  dchrmusumlema  20642  dchrisum0lema  20663  dchrisum0lem1  20665  dchrisum0lem2a  20666  dchrisum0lem2  20667  dchrmusumlem  20671  mulogsumlem  20680  mulogsum  20681  logdivsum  20682  mulog2sumlem1  20683  vmalogdivsum2  20687  2vmadivsumlem  20689  log2sumbnd  20693  logdivbnd  20705  selberg4lem1  20709  selberg34r  20720  pntrlog2bndlem2  20727  pntrlog2bndlem4  20729  pntrlog2bndlem6  20732  pntpbnd2  20736  smcnlem  21270  ipasslem5  21413  areacirclem2  24925  areacirclem5  24929  cntrset  25602  irrapxlem5  26911  pell14qrdivcl  26950  m1expaddsub  27421  climdivf  27738  wallispi  27819  stirlinglem7  27829
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424
  Copyright terms: Public domain W3C validator