MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divrecd Unicode version

Theorem divrecd 9507
Description: Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divrecd  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  =  ( A  x.  ( 1  /  B ) ) )

Proof of Theorem divrecd
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divrec 9408 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  =  ( A  x.  (
1  /  B ) ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1187 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  =  ( A  x.  ( 1  /  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2421  (class class class)co 5792   CCcc 8703   0cc0 8705   1c1 8706    x. cmul 8710    / cdiv 9391
This theorem is referenced by:  prodgt0  9569  ltdiv1  9588  ltrec  9605  lediv12a  9617  expsub  11115  expdiv  11118  rlimdiv  12084  isumdivc  12192  fsumdivc  12213  trirecip  12283  geo2sum  12291  geo2lim  12293  ege2le3  12333  eftlub  12351  eirrlem  12444  prmreclem4  12928  abvdiv  15564  cnsubrg  16394  nmdvr  18143  nmoi2  18201  cphdivcl  18580  ipcau2  18626  ovolsca  18836  dvsincos  19290  plyeq0lem  19554  plydivlem4  19638  aalioulem4  19677  geolim3  19681  aaliou3lem8  19687  taylthlem2  19715  advlogexp  19964  cxpsub  19991  divcxp  19996  dvcxp1  20044  lawcoslem1  20075  dvatan  20193  leibpi  20200  log2tlbnd  20203  fsumharmonic  20267  basellem8  20287  chebbnd1  20583  rplogsumlem2  20596  rpvmasumlem  20598  dchrmusumlema  20604  dchrisum0lema  20625  dchrisum0lem1  20627  dchrisum0lem2a  20628  dchrisum0lem2  20629  dchrmusumlem  20633  mulogsumlem  20642  mulogsum  20643  logdivsum  20644  mulog2sumlem1  20645  vmalogdivsum2  20649  2vmadivsumlem  20651  log2sumbnd  20655  logdivbnd  20667  selberg4lem1  20671  selberg34r  20682  pntrlog2bndlem2  20689  pntrlog2bndlem4  20691  pntrlog2bndlem6  20694  pntpbnd2  20698  smcnlem  21230  ipasslem5  21373  cntrset  24969  irrapxlem5  26278  pell14qrdivcl  26317  m1expaddsub  26788
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-iota 6225  df-riota 6272  df-er 6628  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392
  Copyright terms: Public domain W3C validator