MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divstgpopn Structured version   Unicode version

Theorem divstgpopn 18187
Description: A quotient map in a topological group is an open map. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
divstgp.h  |-  H  =  ( G  /.s  ( G ~QG  Y
) )
divstgpopn.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
divstgpopn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
divstgpopn.k  |-  K  =  ( TopOpen `  H )
divstgpopn.f  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  [ x ] ( G ~QG  Y ) )
Assertion
Ref Expression
divstgpopn  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( F " S )  e.  K
)
Distinct variable groups:    x, G    x, J    x, S    x, X    x, H    x, K    x, Y
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem divstgpopn
Dummy variables  a  u  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imassrn 5249 . . . 4  |-  ( F
" S )  C_  ran  F
2 divstgp.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( G  /.s  ( G ~QG  Y
) )
32a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  H  =  ( G  /.s  ( G ~QG  Y ) ) )
4 divstgpopn.x . . . . . . 7  |-  X  =  ( Base `  G
)
54a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  X  =  ( Base `  G )
)
6 divstgpopn.f . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  [ x ] ( G ~QG  Y ) )
7 ovex 6142 . . . . . . 7  |-  ( G ~QG  Y )  e.  _V
87a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( G ~QG  Y
)  e.  _V )
9 simp1 958 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  G  e.  TopGrp )
103, 5, 6, 8, 9divslem 13806 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  F : X -onto-> ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )
11 forn 5691 . . . . 5  |-  ( F : X -onto-> ( X /. ( G ~QG  Y ) )  ->  ran  F  =  ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )
1210, 11syl 16 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ran  F  =  ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )
131, 12syl5sseq 3385 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( F " S )  C_  ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )
14 eceq1 6977 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  [ x ] ( G ~QG  Y )  =  [ y ] ( G ~QG  Y ) )
1514cbvmptv 4331 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X  |->  [ x ] ( G ~QG  Y ) )  =  ( y  e.  X  |->  [ y ] ( G ~QG  Y ) )
166, 15eqtri 2463 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( y  e.  X  |->  [ y ] ( G ~QG  Y ) )
1716mptpreima 5398 . . . . . . 7  |-  ( `' F " ( F
" S ) )  =  { y  e.  X  |  [ y ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F " S ) }
1817rabeq2i 2962 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( `' F " ( F " S
) )  <->  ( y  e.  X  /\  [ y ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F " S ) ) )
196funmpt2 5525 . . . . . . . . 9  |-  Fun  F
20 fvelima 5814 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  F  /\  [
y ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F
" S ) )  ->  E. z  e.  S  ( F `  z )  =  [ y ] ( G ~QG  Y ) )
2119, 20mpan 653 . . . . . . . 8  |-  ( [ y ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F
" S )  ->  E. z  e.  S  ( F `  z )  =  [ y ] ( G ~QG  Y ) )
22 divstgpopn.j . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
2322, 4tgptopon 18150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
249, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
25 simp3 960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  S  e.  J )
26 toponss 17032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  J )  ->  S  C_  X )
2724, 25, 26syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  S  C_  X
)
2827adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  ->  S  C_  X )
2928sselda 3337 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  X )
30 eceq1 6977 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  [ x ] ( G ~QG  Y )  =  [ z ] ( G ~QG  Y ) )
31 ecexg 6945 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G ~QG  Y )  e.  _V  ->  [ z ] ( G ~QG  Y )  e.  _V )
327, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [ z ] ( G ~QG  Y )  e.  _V
3330, 6, 32fvmpt 5842 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  X  ->  ( F `  z )  =  [ z ] ( G ~QG  Y ) )
3429, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  ( F `  z )  =  [ z ] ( G ~QG  Y ) )
3534eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  (
( F `  z
)  =  [ y ] ( G ~QG  Y )  <->  [ z ] ( G ~QG  Y )  =  [
y ] ( G ~QG  Y ) ) )
36 eqcom 2445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [ z ] ( G ~QG  Y )  =  [ y ] ( G ~QG  Y )  <->  [ y ] ( G ~QG  Y )  =  [
z ] ( G ~QG  Y ) )
3735, 36syl6bb 254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  (
( F `  z
)  =  [ y ] ( G ~QG  Y )  <->  [ y ] ( G ~QG  Y )  =  [
z ] ( G ~QG  Y ) ) )
38 nsgsubg 15010 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  Y  e.  (SubGrp `  G ) )
39383ad2ant2 980 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  Y  e.  (SubGrp `  G ) )
4039ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  Y  e.  (SubGrp `  G )
)
41 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G ~QG  Y )  =  ( G ~QG  Y )
424, 41eqger 15028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( G ~QG  Y
)  Er  X )
4340, 42syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  ( G ~QG  Y )  Er  X
)
44 simplr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  y  e.  X )
4543, 44erth 6985 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  (
y ( G ~QG  Y ) z  <->  [ y ] ( G ~QG  Y )  =  [
z ] ( G ~QG  Y ) ) )
469ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  G  e.  TopGrp )
474subgss 14983 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  Y  C_  X
)
4840, 47syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  Y  C_  X )
49 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
50 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
514, 49, 50, 41eqgval 15027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  C_  X )  ->  (
y ( G ~QG  Y ) z  <->  ( y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y ) ) )
5246, 48, 51syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  (
y ( G ~QG  Y ) z  <->  ( y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y ) ) )
5337, 45, 523bitr2d 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  (
( F `  z
)  =  [ y ] ( G ~QG  Y )  <-> 
( y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z )  e.  Y
) ) )
54 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (oppg `  G
)  =  (oppg `  G
)
55 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( +g  `  (oppg
`  G ) )  =  ( +g  `  (oppg `  G
) )
5650, 54, 55oppgplus 15183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ( +g  `  (oppg `  G
) ) a )  =  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )
5756mpteq2i 4323 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  X  |->  ( ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ( +g  `  (oppg `  G
) ) a ) )  =  ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
5846adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  G  e.  TopGrp )
5954oppgtgp 18166 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  (oppg
`  G )  e. 
TopGrp )
6058, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (oppg `  G
)  e.  TopGrp )
6148sselda 3337 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  X )
62 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  X  |->  ( ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ( +g  `  (oppg `  G
) ) a ) )  =  ( a  e.  X  |->  ( ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ( +g  `  (oppg `  G
) ) a ) )
6354, 4oppgbas 15185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  X  =  ( Base `  (oppg `  G
) )
6454, 22oppgtopn 15187 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  J  =  ( TopOpen `  (oppg
`  G ) )
6562, 63, 55, 64tgplacthmeo 18171 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (oppg
`  G )  e. 
TopGrp  /\  ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z )  e.  X
)  ->  ( a  e.  X  |->  ( ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ( +g  `  (oppg `  G
) ) a ) )  e.  ( J 
Homeo  J ) )
6660, 61, 65syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
a  e.  X  |->  ( ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ( +g  `  (oppg
`  G ) ) a ) )  e.  ( J  Homeo  J ) )
6757, 66syl5eqelr 2528 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )  e.  ( J  Homeo  J ) )
68 hmeocn 17830 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )  e.  ( J  Homeo  J )  ->  ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
7025ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  S  e.  J )
71 cnima 17367 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) )  e.  ( J  Cn  J )  /\  S  e.  J )  ->  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  e.  J )
7269, 70, 71syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  e.  J )
7344adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  y  e.  X )
74 tgpgrp 18146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
7558, 74syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  G  e.  Grp )
76 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
774, 50, 76, 49grprinv 14890 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X )  ->  ( y ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G
) `  y )
)  =  ( 0g
`  G ) )
7875, 73, 77syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
y ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 y ) )  =  ( 0g `  G ) )
7978oveq1d 6132 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
( y ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G
) `  y )
) ( +g  `  G
) z )  =  ( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) z ) )
804, 49grpinvcl 14888 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  X )
8175, 73, 80syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  X )
8229adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  z  e.  X )
834, 50grpass 14857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  X  /\  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( (
y ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 y ) ) ( +g  `  G
) z )  =  ( y ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) )
8475, 73, 81, 82, 83syl13anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
( y ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G
) `  y )
) ( +g  `  G
) z )  =  ( y ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) )
854, 50, 76grplid 14873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) z )  =  z )
8675, 82, 85syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
( 0g `  G
) ( +g  `  G
) z )  =  z )
8779, 84, 863eqtr3d 2483 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
y ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  =  z )
88 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  z  e.  S )
8987, 88eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
y ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  e.  S )
90 oveq1 6124 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  y  ->  (
a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  =  ( y ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) )
9190eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  y  ->  (
( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  e.  S  <->  ( y
( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  e.  S ) )
92 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )  =  ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )
9392mptpreima 5398 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) ) " S )  =  { a  e.  X  |  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  e.  S }
9491, 93elrab2 3103 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  <->  ( y  e.  X  /\  (
y ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  e.  S ) )
9573, 89, 94sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  y  e.  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S ) )
96 ecexg 6945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G ~QG  Y )  e.  _V  ->  [ x ] ( G ~QG  Y )  e.  _V )
977, 96ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  [ x ] ( G ~QG  Y )  e.  _V
9897, 6fnmpti 5608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F  Fn  X
9928ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  S  C_  X )
100 fnfvima 6012 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  Fn  X  /\  S  C_  X  /\  (
a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  e.  S )  ->  ( F `  ( a
( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )  e.  ( F " S ) )
1011003expia 1156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  Fn  X  /\  S  C_  X )  -> 
( ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  e.  S  ->  ( F `  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) )  e.  ( F
" S ) ) )
10298, 99, 101sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  e.  S  ->  ( F `  ( a
( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )  e.  ( F " S ) ) )
10375adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  G  e.  Grp )
104 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  a  e.  X )
10561adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  X )
1064, 50grpcl 14856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  a  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z )  e.  X
)  ->  ( a
( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  e.  X )
107103, 104, 105, 106syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  e.  X )
108 eceq1 6977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  ->  [ x ] ( G ~QG  Y )  =  [
( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) ] ( G ~QG  Y ) )
109108, 6, 97fvmpt3i 5845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  e.  X  ->  ( F `  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) )  =  [ ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) ] ( G ~QG  Y ) )
110107, 109syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  ( F `  ( a
( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )  =  [ ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) ] ( G ~QG  Y ) )
11143ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  ( G ~QG  Y )  Er  X
)
1124, 50, 76, 49grplinv 14889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  a  e.  X )  ->  ( ( ( inv g `  G ) `
 a ) ( +g  `  G ) a )  =  ( 0g `  G ) )
113103, 104, 112syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  a
) ( +g  `  G
) a )  =  ( 0g `  G
) )
114113oveq1d 6132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 a ) ( +g  `  G ) a ) ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  =  ( ( 0g
`  G ) ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )
1154, 49grpinvcl 14888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  a  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  a
)  e.  X )
116103, 104, 115syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( inv g `  G ) `  a
)  e.  X )
1174, 50grpass 14857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 a )  e.  X  /\  a  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  a )
( +g  `  G ) a ) ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  a )
( +g  `  G ) ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) ) )
118103, 116, 104, 105, 117syl13anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 a ) ( +g  `  G ) a ) ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  a )
( +g  `  G ) ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) ) )
1194, 50, 76grplid 14873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z )  e.  X
)  ->  ( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )
120103, 105, 119syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( 0g `  G
) ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )
121114, 118, 1203eqtr3d 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  a
) ( +g  `  G
) ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )
122 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )
123121, 122eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  a
) ( +g  `  G
) ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )  e.  Y )
12448ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  Y  C_  X )
1254, 49, 50, 41eqgval 15027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( a ( G ~QG  Y ) ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  <->  ( a  e.  X  /\  (
a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  a
) ( +g  `  G
) ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )  e.  Y ) ) )
126103, 124, 125syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
a ( G ~QG  Y ) ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  <-> 
( a  e.  X  /\  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  e.  X  /\  (
( ( inv g `  G ) `  a
) ( +g  `  G
) ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )  e.  Y ) ) )
127104, 107, 123, 126mpbir3and 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  a
( G ~QG  Y ) ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
128111, 127erthi 6987 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  [ a ] ( G ~QG  Y )  =  [ ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) ] ( G ~QG  Y ) )
129110, 128eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  ( F `  ( a
( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )  =  [ a ] ( G ~QG  Y ) )
130129eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( F `  (
a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )  e.  ( F " S )  <->  [ a ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F " S ) ) )
131102, 130sylibd 207 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  e.  S  ->  [ a ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F " S ) ) )
132131ss2rabdv 3413 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  { a  e.  X  |  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  e.  S }  C_  { a  e.  X  |  [
a ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F
" S ) } )
133 eceq1 6977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  [ x ] ( G ~QG  Y )  =  [ a ] ( G ~QG  Y ) )
134133cbvmptv 4331 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  X  |->  [ x ] ( G ~QG  Y ) )  =  ( a  e.  X  |->  [ a ] ( G ~QG  Y ) )
1356, 134eqtri 2463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F  =  ( a  e.  X  |->  [ a ] ( G ~QG  Y ) )
136135mptpreima 5398 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' F " ( F
" S ) )  =  { a  e.  X  |  [ a ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F " S ) }
137132, 93, 1363sstr4g 3378 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  C_  ( `' F " ( F
" S ) ) )
138 eleq2 2504 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  -> 
( y  e.  u  <->  y  e.  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S ) ) )
139 sseq1 3358 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  -> 
( u  C_  ( `' F " ( F
" S ) )  <-> 
( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  C_  ( `' F " ( F
" S ) ) ) )
140138, 139anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  -> 
( ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " ( F
" S ) ) )  <->  ( y  e.  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  /\  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  C_  ( `' F " ( F
" S ) ) ) ) )
141140rspcev 3061 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  e.  J  /\  ( y  e.  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  /\  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  C_  ( `' F " ( F
" S ) ) ) )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
( F " S
) ) ) )
14272, 95, 137, 141syl12anc 1183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
( F " S
) ) ) )
1431423ad2antr3 1125 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z )  e.  Y
) )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
( F " S
) ) ) )
144143ex 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z )  e.  Y
)  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
( F " S
) ) ) ) )
14553, 144sylbid 208 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  (
( F `  z
)  =  [ y ] ( G ~QG  Y )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " ( F
" S ) ) ) ) )
146145rexlimdva 2837 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  ->  ( E. z  e.  S  ( F `  z )  =  [ y ] ( G ~QG  Y )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
( F " S
) ) ) ) )
14721, 146syl5 31 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  ->  ( [ y ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F " S )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " ( F
" S ) ) ) ) )
148147expimpd 588 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( (
y  e.  X  /\  [ y ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F
" S ) )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " ( F
" S ) ) ) ) )
14918, 148syl5bi 210 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( y  e.  ( `' F "
( F " S
) )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
( F " S
) ) ) ) )
150149ralrimiv 2795 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  A. y  e.  ( `' F "
( F " S
) ) E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
( F " S
) ) ) )
151 topontop 17029 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
152 eltop2 17078 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( `' F "
( F " S
) )  e.  J  <->  A. y  e.  ( `' F " ( F
" S ) ) E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " ( F
" S ) ) ) ) )
15324, 151, 1523syl 19 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( ( `' F " ( F
" S ) )  e.  J  <->  A. y  e.  ( `' F "
( F " S
) ) E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
( F " S
) ) ) ) )
154150, 153mpbird 225 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( `' F " ( F " S ) )  e.  J )
155 elqtop3 17773 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )  ->  ( ( F
" S )  e.  ( J qTop  F )  <-> 
( ( F " S )  C_  ( X /. ( G ~QG  Y ) )  /\  ( `' F " ( F
" S ) )  e.  J ) ) )
15624, 10, 155syl2anc 644 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( ( F " S )  e.  ( J qTop  F )  <-> 
( ( F " S )  C_  ( X /. ( G ~QG  Y ) )  /\  ( `' F " ( F
" S ) )  e.  J ) ) )
15713, 154, 156mpbir2and 890 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( F " S )  e.  ( J qTop  F ) )
1583, 5, 6, 8, 9divsval 13805 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  H  =  ( F  "s  G ) )
159 divstgpopn.k . . 3  |-  K  =  ( TopOpen `  H )
160158, 5, 10, 9, 22, 159imastopn 17790 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  K  =  ( J qTop  F )
)
161157, 160eleqtrrd 2520 1  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( F " S )  e.  K
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1654    e. wcel 1728   A.wral 2712   E.wrex 2713   {crab 2716   _Vcvv 2965    C_ wss 3309   class class class wbr 4243    e. cmpt 4297   `'ccnv 4912   ran crn 4914   "cima 4916   Fun wfun 5483    Fn wfn 5484   -onto->wfo 5487   ` cfv 5489  (class class class)co 6117    Er wer 6938   [cec 6939   /.cqs 6940   Basecbs 13507   +g cplusg 13567   TopOpenctopn 13687   0gc0g 13761   qTop cqtop 13767    /.s cqus 13769   Grpcgrp 14723   inv gcminusg 14724  SubGrpcsubg 14976  NrmSGrpcnsg 14977   ~QG cqg 14978  oppgcoppg 15179   Topctop 16996  TopOnctopon 16997    Cn ccn 17326    Homeo chmeo 17823   TopGrpctgp 18139
This theorem is referenced by:  divstgplem  18188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4351  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-cnex 9084  ax-resscn 9085  ax-1cn 9086  ax-icn 9087  ax-addcl 9088  ax-addrcl 9089  ax-mulcl 9090  ax-mulrcl 9091  ax-mulcom 9092  ax-addass 9093  ax-mulass 9094  ax-distr 9095  ax-i2m1 9096  ax-1ne0 9097  ax-1rid 9098  ax-rnegex 9099  ax-rrecex 9100  ax-cnre 9101  ax-pre-lttri 9102  ax-pre-lttrn 9103  ax-pre-ltadd 9104  ax-pre-mulgt0 9105
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-int 4080  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-1st 6385  df-2nd 6386  df-tpos 6515  df-riota 6585  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-1o 6760  df-oadd 6764  df-er 6941  df-ec 6943  df-qs 6947  df-map 7056  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-fin 7149  df-sup 7482  df-pnf 9160  df-mnf 9161  df-xr 9162  df-ltxr 9163  df-le 9164  df-sub 9331  df-neg 9332  df-nn 10039  df-2 10096  df-3 10097  df-4 10098  df-5 10099  df-6 10100  df-7 10101  df-8 10102  df-9 10103  df-10 10104  df-n0 10260  df-z 10321  df-dec 10421  df-uz 10527  df-fz 11082  df-struct 13509  df-ndx 13510  df-slot 13511  df-base 13512  df-sets 13513  df-ress 13514  df-plusg 13580  df-mulr 13581  df-sca 13583  df-vsca 13584  df-tset 13586  df-ple 13587  df-ds 13589  df-rest 13688  df-topn 13689  df-topgen 13705  df-0g 13765  df-qtop 13771  df-imas 13772  df-divs 13773  df-mnd 14728  df-plusf 14729  df-grp 14850  df-minusg 14851  df-subg 14979  df-nsg 14980  df-eqg 14981  df-oppg 15180  df-top 17001  df-bases 17003  df-topon 17004  df-topsp 17005  df-cn 17329  df-cnp 17330  df-tx 17632  df-hmeo 17825  df-tmd 18140  df-tgp 18141
  Copyright terms: Public domain W3C validator