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Theorem djajN 31949
Description: Transfer lattice join to  DVecA partial vector space closed subspace join. Part of Lemma M of [Crawley] p. 120 line 29, with closed subspace join rather than subspace sum. (Contributed by NM, 5-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
djaj.k  |-  .\/  =  ( join `  K )
djaj.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
djaj.i  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
djaj.j  |-  J  =  ( ( vA `  K ) `  W
)
Assertion
Ref Expression
djajN  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( I `  ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( I `  X ) J ( I `  Y ) ) )

Proof of Theorem djajN
StepHypRef Expression
1 hllat 30175 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
21ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  K  e.  Lat )
3 hlop 30174 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
43ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  K  e.  OP )
5 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
6 djaj.h . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
7 djaj.i . . . . . . . . . 10  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
85, 6, 7diadmclN 31849 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  dom  I )  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
98adantrr 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  X  e.  (
Base `  K )
)
10 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( oc
`  K )  =  ( oc `  K
)
115, 10opoccl 30006 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( ( oc `  K ) `  X
)  e.  ( Base `  K ) )
124, 9, 11syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( oc
`  K ) `  X )  e.  (
Base `  K )
)
135, 6lhpbase 30809 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
1413ad2antlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  W  e.  (
Base `  K )
)
155, 10opoccl 30006 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OP  /\  W  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( ( oc `  K ) `  W
)  e.  ( Base `  K ) )
164, 14, 15syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( oc
`  K ) `  W )  e.  (
Base `  K )
)
17 djaj.k . . . . . . . 8  |-  .\/  =  ( join `  K )
185, 17latjcl 14172 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( oc `  K ) `  X
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( oc `  K
) `  W )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) )  e.  ( Base `  K
) )
192, 12, 16, 18syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) )  e.  (
Base `  K )
)
20 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
215, 20latmcl 14173 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
)  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W )  e.  ( Base `  K
) )
222, 19, 14, 21syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W )  e.  ( Base `  K
) )
235, 6, 7diadmclN 31849 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  e.  dom  I )  ->  Y  e.  ( Base `  K
) )
2423adantrl 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  Y  e.  (
Base `  K )
)
255, 10opoccl 30006 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( ( oc `  K ) `  Y
)  e.  ( Base `  K ) )
264, 24, 25syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( oc
`  K ) `  Y )  e.  (
Base `  K )
)
275, 17latjcl 14172 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( oc `  K ) `  Y
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( oc `  K
) `  W )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) )  e.  ( Base `  K
) )
282, 26, 16, 27syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( oc `  K ) `
 Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) )  e.  (
Base `  K )
)
295, 20latmcl 14173 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( ( oc
`  K ) `  Y )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
)  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( ( ( oc
`  K ) `  Y )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W )  e.  ( Base `  K
) )
302, 28, 14, 29syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W )  e.  ( Base `  K
) )
315, 20latmcl 14173 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( (
( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( (
( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W ) (
meet `  K )
( ( ( ( oc `  K ) `
 Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) )  e.  ( Base `  K ) )
322, 22, 30, 31syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( ( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ( meet `  K ) ( ( ( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) )  e.  ( Base `  K
) )
33 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
345, 33, 20latmle2 14199 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( (
( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( (
( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W ) (
meet `  K )
( ( ( ( oc `  K ) `
 Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) ( le `  K ) ( ( ( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) )
352, 22, 30, 34syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( ( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ( meet `  K ) ( ( ( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ) ( le `  K ) ( ( ( ( oc `  K ) `
 Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) )
365, 33, 20latmle2 14199 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( ( oc
`  K ) `  Y )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
)  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( ( ( oc
`  K ) `  Y )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W ) ( le `  K ) W )
372, 28, 14, 36syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( le `  K
) W )
385, 33, 2, 32, 30, 14, 35, 37lattrd 14180 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( ( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ( meet `  K ) ( ( ( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ) ( le `  K ) W )
395, 33, 6, 7diaeldm 31848 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( ( ( ( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ( meet `  K ) ( ( ( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) )  e. 
dom  I  <->  ( (
( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) )  e.  ( Base `  K )  /\  (
( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) ( le `  K ) W ) ) )
4039adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W ) (
meet `  K )
( ( ( ( oc `  K ) `
 Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) )  e.  dom  I  <->  ( ( ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) )  e.  ( Base `  K )  /\  (
( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) ( le `  K ) W ) ) )
4132, 38, 40mpbir2and 888 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( ( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ( meet `  K ) ( ( ( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) )  e. 
dom  I )
42 eqid 2296 . . . 4  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
43 eqid 2296 . . . 4  |-  ( ( ocA `  K ) `
 W )  =  ( ( ocA `  K
) `  W )
4417, 20, 10, 6, 42, 7, 43diaocN 31937 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( ( ( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ( meet `  K ) ( ( ( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) )  e. 
dom  I )  -> 
( I `  (
( ( ( oc
`  K ) `  ( ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W ) )  =  ( ( ( ocA `  K ) `
 W ) `  ( I `  (
( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) ) ) )
4541, 44syldan 456 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( I `  ( ( ( ( oc `  K ) `
 ( ( ( ( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ( meet `  K ) ( ( ( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ) ) 
.\/  ( ( oc
`  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) )  =  ( ( ( ocA `  K ) `  W
) `  ( I `  ( ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) ) ) )
46 hloml 30169 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OML )
4746ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  K  e.  OML )
485, 17latjcl 14172 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  ( Base `  K
) )
492, 9, 24, 48syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  ( Base `  K ) )
5033, 6, 7diadmleN 31850 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  dom  I )  ->  X
( le `  K
) W )
5150adantrr 697 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  X ( le
`  K ) W )
5233, 6, 7diadmleN 31850 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  e.  dom  I )  ->  Y
( le `  K
) W )
5352adantrl 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  Y ( le
`  K ) W )
545, 33, 17latjle12 14184 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( X ( le `  K ) W  /\  Y ( le `  K ) W )  <->  ( X  .\/  Y ) ( le
`  K ) W ) )
552, 9, 24, 14, 54syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( X ( le `  K
) W  /\  Y
( le `  K
) W )  <->  ( X  .\/  Y ) ( le
`  K ) W ) )
5651, 53, 55mpbi2and 887 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( X  .\/  Y ) ( le `  K ) W )
575, 33, 17, 20, 10omlspjN 30073 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( ( X  .\/  Y )  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( X  .\/  Y ) ( le `  K ) W )  ->  (
( ( X  .\/  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `
 W ) ) ( meet `  K
) W )  =  ( X  .\/  Y
) )
5847, 49, 14, 56, 57syl121anc 1187 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  ( ( oc
`  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W )  =  ( X  .\/  Y ) )
595, 17latjidm 14196 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( oc `  K ) `  W
)  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( ( ( oc
`  K ) `  W )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
)  =  ( ( oc `  K ) `
 W ) )
602, 16, 59syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( oc `  K ) `
 W )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) )  =  ( ( oc `  K
) `  W )
)
6160oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( X 
.\/  Y )  .\/  ( ( ( oc
`  K ) `  W )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) )  =  ( ( X  .\/  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) )
625, 17latjass 14217 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( X  .\/  Y )  e.  ( Base `  K )  /\  (
( oc `  K
) `  W )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( oc `  K ) `  W )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  (
( ( X  .\/  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `
 W ) ) 
.\/  ( ( oc
`  K ) `  W ) )  =  ( ( X  .\/  Y )  .\/  ( ( ( oc `  K
) `  W )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ) )
632, 49, 16, 16, 62syl13anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  ( ( oc
`  K ) `  W ) )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) )  =  ( ( X  .\/  Y
)  .\/  ( (
( oc `  K
) `  W )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ) )
64 hlol 30173 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
6564ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  K  e.  OL )
665, 17, 20, 10oldmm2 30030 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( X  .\/  Y )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( oc `  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  ( X  .\/  Y ) ) ( meet `  K
) W ) )  =  ( ( X 
.\/  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) )
6765, 49, 14, 66syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( oc
`  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  ( X  .\/  Y ) ) ( meet `  K
) W ) )  =  ( ( X 
.\/  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) )
685, 17, 20, 10oldmj1 30033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( oc `  K
) `  ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( ( oc
`  K ) `  X ) ( meet `  K ) ( ( oc `  K ) `
 Y ) ) )
6965, 9, 24, 68syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( oc
`  K ) `  ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( ( oc `  K
) `  X )
( meet `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) )
705, 33, 20latleeqm1 14201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X ( le `  K ) W  <->  ( X
( meet `  K ) W )  =  X ) )
712, 9, 14, 70syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( X ( le `  K ) W  <->  ( X (
meet `  K ) W )  =  X ) )
7251, 71mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( X (
meet `  K ) W )  =  X )
7372fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( oc
`  K ) `  ( X ( meet `  K
) W ) )  =  ( ( oc
`  K ) `  X ) )
745, 17, 20, 10oldmm1 30029 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( oc `  K
) `  ( X
( meet `  K ) W ) )  =  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) )
7565, 9, 14, 74syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( oc
`  K ) `  ( X ( meet `  K
) W ) )  =  ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) )
7673, 75eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( oc
`  K ) `  X )  =  ( ( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) )
775, 33, 20latleeqm1 14201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( Y ( le `  K ) W  <->  ( Y
( meet `  K ) W )  =  Y ) )
782, 24, 14, 77syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( Y ( le `  K ) W  <->  ( Y (
meet `  K ) W )  =  Y ) )
7953, 78mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( Y (
meet `  K ) W )  =  Y )
8079fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( oc
`  K ) `  ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  ( ( oc
`  K ) `  Y ) )
815, 17, 20, 10oldmm1 30029 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  OL  /\  Y  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( oc `  K
) `  ( Y
( meet `  K ) W ) )  =  ( ( ( oc
`  K ) `  Y )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) )
8265, 24, 14, 81syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( oc
`  K ) `  ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  ( ( ( oc `  K ) `
 Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) )
8380, 82eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( oc
`  K ) `  Y )  =  ( ( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) )
8476, 83oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( oc `  K ) `
 X ) (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) )  =  ( ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) ( ( ( oc `  K ) `
 Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ) )
8569, 84eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( oc
`  K ) `  ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( ( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K )
( ( ( oc
`  K ) `  Y )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ) )
8685oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( oc `  K ) `
 ( X  .\/  Y ) ) ( meet `  K ) W )  =  ( ( ( ( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K )
( ( ( oc
`  K ) `  Y )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ) ( meet `  K ) W ) )
875, 20latmmdir 30047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) )  e.  (
Base `  K )  /\  ( ( ( oc
`  K ) `  Y )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
)  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ) (
meet `  K ) W )  =  ( ( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) )
8865, 19, 28, 14, 87syl13anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( ( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K )
( ( ( oc
`  K ) `  Y )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ) ( meet `  K ) W )  =  ( ( ( ( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ( meet `  K ) ( ( ( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ) )
8986, 88eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( oc `  K ) `
 ( X  .\/  Y ) ) ( meet `  K ) W )  =  ( ( ( ( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ( meet `  K ) ( ( ( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ) )
9089fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( oc
`  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  ( X  .\/  Y ) ) ( meet `  K
) W ) )  =  ( ( oc
`  K ) `  ( ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) ) )
9167, 90eqtr3d 2330 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( X 
.\/  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) )  =  ( ( oc `  K
) `  ( (
( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W ) (
meet `  K )
( ( ( ( oc `  K ) `
 Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) ) )
9291oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  ( ( oc
`  K ) `  W ) )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) )  =  ( ( ( oc `  K ) `  (
( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) )
9363, 92eqtr3d 2330 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( X 
.\/  Y )  .\/  ( ( ( oc
`  K ) `  W )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) )  =  ( ( ( oc `  K ) `  (
( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) )
9461, 93eqtr3d 2330 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( X 
.\/  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) )  =  ( ( ( oc `  K ) `  (
( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) )
9594oveq1d 5889 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  ( ( oc
`  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W )  =  ( ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W ) )
9658, 95eqtr3d 2330 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( X  .\/  Y )  =  ( ( ( ( oc `  K ) `  (
( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W ) )
9796fveq2d 5545 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( I `  ( X  .\/  Y ) )  =  ( I `
 ( ( ( ( oc `  K
) `  ( (
( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W ) (
meet `  K )
( ( ( ( oc `  K ) `
 Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W ) ) )
98 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
996, 7diaclN 31862 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  dom  I )  ->  (
I `  X )  e.  ran  I )
10099adantrr 697 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( I `  X )  e.  ran  I )
1016, 42, 7diaelrnN 31857 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( I `  X )  e.  ran  I )  ->  (
I `  X )  C_  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
102100, 101syldan 456 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( I `  X )  C_  (
( LTrn `  K ) `  W ) )
1036, 7diaclN 31862 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  e.  dom  I )  ->  (
I `  Y )  e.  ran  I )
104103adantrl 696 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( I `  Y )  e.  ran  I )
1056, 42, 7diaelrnN 31857 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( I `  Y )  e.  ran  I )  ->  (
I `  Y )  C_  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
106104, 105syldan 456 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( I `  Y )  C_  (
( LTrn `  K ) `  W ) )
107 djaj.j . . . . 5  |-  J  =  ( ( vA `  K ) `  W
)
1086, 42, 7, 43, 107djavalN 31947 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( I `
 X )  C_  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  ( I `  Y
)  C_  ( ( LTrn `  K ) `  W ) ) )  ->  ( ( I `
 X ) J ( I `  Y
) )  =  ( ( ( ocA `  K
) `  W ) `  ( ( ( ( ocA `  K ) `
 W ) `  ( I `  X
) )  i^i  (
( ( ocA `  K
) `  W ) `  ( I `  Y
) ) ) ) )
10998, 102, 106, 108syl12anc 1180 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( I `
 X ) J ( I `  Y
) )  =  ( ( ( ocA `  K
) `  W ) `  ( ( ( ( ocA `  K ) `
 W ) `  ( I `  X
) )  i^i  (
( ( ocA `  K
) `  W ) `  ( I `  Y
) ) ) ) )
1105, 33, 20latmle2 14199 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
)  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W ) ( le `  K ) W )
1112, 19, 14, 110syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( le `  K
) W )
1125, 33, 6, 7diaeldm 31848 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W )  e.  dom  I  <->  ( (
( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ( le
`  K ) W ) ) )
113112adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( ( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W )  e.  dom  I 
<->  ( ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ( le
`  K ) W ) ) )
11422, 111, 113mpbir2and 888 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W )  e.  dom  I )
1155, 33, 6, 7diaeldm 31848 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W )  e.  dom  I  <->  ( (
( ( ( oc
`  K ) `  Y )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( (
( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ( le
`  K ) W ) ) )
116115adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( ( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W )  e.  dom  I 
<->  ( ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( (
( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ( le
`  K ) W ) ) )
11730, 37, 116mpbir2and 888 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W )  e.  dom  I )
11820, 6, 7diameetN 31868 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( ( ( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W )  e.  dom  I  /\  ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W )  e.  dom  I ) )  ->  ( I `  ( ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) )  =  ( ( I `  (
( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W ) )  i^i  ( I `  ( ( ( ( oc `  K ) `
 Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) ) )
11998, 114, 117, 118syl12anc 1180 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( I `  ( ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) )  =  ( ( I `  (
( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W ) )  i^i  ( I `  ( ( ( ( oc `  K ) `
 Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) ) )
12017, 20, 10, 6, 42, 7, 43diaocN 31937 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  dom  I )  ->  (
I `  ( (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) )  =  ( ( ( ocA `  K ) `  W
) `  ( I `  X ) ) )
121120adantrr 697 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( I `  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) )  =  ( ( ( ocA `  K
) `  W ) `  ( I `  X
) ) )
12217, 20, 10, 6, 42, 7, 43diaocN 31937 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  e.  dom  I )  ->  (
I `  ( (
( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) )  =  ( ( ( ocA `  K ) `  W
) `  ( I `  Y ) ) )
123122adantrl 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( I `  ( ( ( ( oc `  K ) `
 Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) )  =  ( ( ( ocA `  K
) `  W ) `  ( I `  Y
) ) )
124121, 123ineq12d 3384 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( I `
 ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) )  i^i  ( I `
 ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) )  =  ( ( ( ( ocA `  K ) `  W
) `  ( I `  X ) )  i^i  ( ( ( ocA `  K ) `  W
) `  ( I `  Y ) ) ) )
125119, 124eqtrd 2328 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( I `  ( ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) )  =  ( ( ( ( ocA `  K ) `  W
) `  ( I `  X ) )  i^i  ( ( ( ocA `  K ) `  W
) `  ( I `  Y ) ) ) )
126125fveq2d 5545 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( ocA `  K ) `
 W ) `  ( I `  (
( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) ) )  =  ( ( ( ocA `  K ) `  W
) `  ( (
( ( ocA `  K
) `  W ) `  ( I `  X
) )  i^i  (
( ( ocA `  K
) `  W ) `  ( I `  Y
) ) ) ) )
127109, 126eqtr4d 2331 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( I `
 X ) J ( I `  Y
) )  =  ( ( ( ocA `  K
) `  W ) `  ( I `  (
( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) ) ) )
12845, 97, 1273eqtr4d 2338 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( I `  ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( I `  X ) J ( I `  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    i^i cin 3164    C_ wss 3165   class class class wbr 4039   dom cdm 4705   ran crn 4706   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   lecple 13231   occoc 13232   joincjn 14094   meetcmee 14095   Latclat 14167   OPcops 29984   OLcol 29986   OMLcoml 29987   HLchlt 30162   LHypclh 30795   LTrncltrn 30912   DIsoAcdia 31840   ocAcocaN 31931   vAcdjaN 31943
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-map 6790  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-p1 14162  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-cmtN 29989  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-llines 30309  df-lplanes 30310  df-lvols 30311  df-lines 30312  df-psubsp 30314  df-pmap 30315  df-padd 30607  df-lhyp 30799  df-laut 30800  df-ldil 30915  df-ltrn 30916  df-trl 30970  df-disoa 31841  df-docaN 31932  df-djaN 31944
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