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Theorem djajN 30457
Description: Transfer lattice join to  DVecA partial vector space closed subspace join. Part of Lemma M of [Crawley] p. 120 line 29, with closed subspace join rather than subspace sum. (Contributed by NM, 5-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
djaj.k  |-  .\/  =  ( join `  K )
djaj.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
djaj.i  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
djaj.j  |-  J  =  ( ( vA `  K ) `  W
)
Assertion
Ref Expression
djajN  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( I `  ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( I `  X ) J ( I `  Y ) ) )

Proof of Theorem djajN
StepHypRef Expression
1 hllat 28683 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
21ad2antrr 709 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  K  e.  Lat )
3 hlop 28682 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
43ad2antrr 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  K  e.  OP )
5 eqid 2256 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
6 djaj.h . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
7 djaj.i . . . . . . . . . 10  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
85, 6, 7diadmclN 30357 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  dom  I )  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
98adantrr 700 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  X  e.  (
Base `  K )
)
10 eqid 2256 . . . . . . . . 9  |-  ( oc
`  K )  =  ( oc `  K
)
115, 10opoccl 28514 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( ( oc `  K ) `  X
)  e.  ( Base `  K ) )
124, 9, 11syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( oc
`  K ) `  X )  e.  (
Base `  K )
)
135, 6lhpbase 29317 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
1413ad2antlr 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  W  e.  (
Base `  K )
)
155, 10opoccl 28514 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OP  /\  W  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( ( oc `  K ) `  W
)  e.  ( Base `  K ) )
164, 14, 15syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( oc
`  K ) `  W )  e.  (
Base `  K )
)
17 djaj.k . . . . . . . 8  |-  .\/  =  ( join `  K )
185, 17latjcl 14083 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( oc `  K ) `  X
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( oc `  K
) `  W )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) )  e.  ( Base `  K
) )
192, 12, 16, 18syl3anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) )  e.  (
Base `  K )
)
20 eqid 2256 . . . . . . 7  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
215, 20latmcl 14084 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
)  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W )  e.  ( Base `  K
) )
222, 19, 14, 21syl3anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W )  e.  ( Base `  K
) )
235, 6, 7diadmclN 30357 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  e.  dom  I )  ->  Y  e.  ( Base `  K
) )
2423adantrl 699 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  Y  e.  (
Base `  K )
)
255, 10opoccl 28514 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( ( oc `  K ) `  Y
)  e.  ( Base `  K ) )
264, 24, 25syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( oc
`  K ) `  Y )  e.  (
Base `  K )
)
275, 17latjcl 14083 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( oc `  K ) `  Y
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( oc `  K
) `  W )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) )  e.  ( Base `  K
) )
282, 26, 16, 27syl3anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( oc `  K ) `
 Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) )  e.  (
Base `  K )
)
295, 20latmcl 14084 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( ( oc
`  K ) `  Y )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
)  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( ( ( oc
`  K ) `  Y )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W )  e.  ( Base `  K
) )
302, 28, 14, 29syl3anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W )  e.  ( Base `  K
) )
315, 20latmcl 14084 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( (
( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( (
( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W ) (
meet `  K )
( ( ( ( oc `  K ) `
 Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) )  e.  ( Base `  K ) )
322, 22, 30, 31syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( ( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ( meet `  K ) ( ( ( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) )  e.  ( Base `  K
) )
33 eqid 2256 . . . . 5  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
345, 33, 20latmle2 14110 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( (
( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( (
( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W ) (
meet `  K )
( ( ( ( oc `  K ) `
 Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) ( le `  K ) ( ( ( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) )
352, 22, 30, 34syl3anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( ( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ( meet `  K ) ( ( ( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ) ( le `  K ) ( ( ( ( oc `  K ) `
 Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) )
365, 33, 20latmle2 14110 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( ( oc
`  K ) `  Y )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
)  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( ( ( oc
`  K ) `  Y )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W ) ( le `  K ) W )
372, 28, 14, 36syl3anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( le `  K
) W )
385, 33, 2, 32, 30, 14, 35, 37lattrd 14091 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( ( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ( meet `  K ) ( ( ( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ) ( le `  K ) W )
395, 33, 6, 7diaeldm 30356 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( ( ( ( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ( meet `  K ) ( ( ( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) )  e. 
dom  I  <->  ( (
( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) )  e.  ( Base `  K )  /\  (
( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) ( le `  K ) W ) ) )
4039adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W ) (
meet `  K )
( ( ( ( oc `  K ) `
 Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) )  e.  dom  I  <->  ( ( ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) )  e.  ( Base `  K )  /\  (
( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) ( le `  K ) W ) ) )
4132, 38, 40mpbir2and 893 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( ( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ( meet `  K ) ( ( ( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) )  e. 
dom  I )
42 eqid 2256 . . . 4  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
43 eqid 2256 . . . 4  |-  ( ( ocA `  K ) `
 W )  =  ( ( ocA `  K
) `  W )
4417, 20, 10, 6, 42, 7, 43diaocN 30445 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( ( ( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ( meet `  K ) ( ( ( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) )  e. 
dom  I )  -> 
( I `  (
( ( ( oc
`  K ) `  ( ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W ) )  =  ( ( ( ocA `  K ) `
 W ) `  ( I `  (
( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) ) ) )
4541, 44syldan 458 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( I `  ( ( ( ( oc `  K ) `
 ( ( ( ( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ( meet `  K ) ( ( ( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ) ) 
.\/  ( ( oc
`  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) )  =  ( ( ( ocA `  K ) `  W
) `  ( I `  ( ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) ) ) )
46 hloml 28677 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OML )
4746ad2antrr 709 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  K  e.  OML )
485, 17latjcl 14083 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  ( Base `  K
) )
492, 9, 24, 48syl3anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  ( Base `  K ) )
5033, 6, 7diadmleN 30358 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  dom  I )  ->  X
( le `  K
) W )
5150adantrr 700 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  X ( le
`  K ) W )
5233, 6, 7diadmleN 30358 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  e.  dom  I )  ->  Y
( le `  K
) W )
5352adantrl 699 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  Y ( le
`  K ) W )
545, 33, 17latjle12 14095 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( X ( le `  K ) W  /\  Y ( le `  K ) W )  <->  ( X  .\/  Y ) ( le
`  K ) W ) )
552, 9, 24, 14, 54syl13anc 1189 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( X ( le `  K
) W  /\  Y
( le `  K
) W )  <->  ( X  .\/  Y ) ( le
`  K ) W ) )
5651, 53, 55mpbi2and 892 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( X  .\/  Y ) ( le `  K ) W )
575, 33, 17, 20, 10omlspjN 28581 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( ( X  .\/  Y )  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( X  .\/  Y ) ( le `  K ) W )  ->  (
( ( X  .\/  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `
 W ) ) ( meet `  K
) W )  =  ( X  .\/  Y
) )
5847, 49, 14, 56, 57syl121anc 1192 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  ( ( oc
`  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W )  =  ( X  .\/  Y ) )
595, 17latjidm 14107 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( oc `  K ) `  W
)  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( ( ( oc
`  K ) `  W )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
)  =  ( ( oc `  K ) `
 W ) )
602, 16, 59syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( oc `  K ) `
 W )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) )  =  ( ( oc `  K
) `  W )
)
6160oveq2d 5773 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( X 
.\/  Y )  .\/  ( ( ( oc
`  K ) `  W )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) )  =  ( ( X  .\/  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) )
625, 17latjass 14128 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( X  .\/  Y )  e.  ( Base `  K )  /\  (
( oc `  K
) `  W )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( oc `  K ) `  W )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  (
( ( X  .\/  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `
 W ) ) 
.\/  ( ( oc
`  K ) `  W ) )  =  ( ( X  .\/  Y )  .\/  ( ( ( oc `  K
) `  W )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ) )
632, 49, 16, 16, 62syl13anc 1189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  ( ( oc
`  K ) `  W ) )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) )  =  ( ( X  .\/  Y
)  .\/  ( (
( oc `  K
) `  W )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ) )
64 hlol 28681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
6564ad2antrr 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  K  e.  OL )
665, 17, 20, 10oldmm2 28538 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( X  .\/  Y )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( oc `  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  ( X  .\/  Y ) ) ( meet `  K
) W ) )  =  ( ( X 
.\/  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) )
6765, 49, 14, 66syl3anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( oc
`  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  ( X  .\/  Y ) ) ( meet `  K
) W ) )  =  ( ( X 
.\/  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) )
685, 17, 20, 10oldmj1 28541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( oc `  K
) `  ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( ( oc
`  K ) `  X ) ( meet `  K ) ( ( oc `  K ) `
 Y ) ) )
6965, 9, 24, 68syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( oc
`  K ) `  ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( ( oc `  K
) `  X )
( meet `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) ) )
705, 33, 20latleeqm1 14112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X ( le `  K ) W  <->  ( X
( meet `  K ) W )  =  X ) )
712, 9, 14, 70syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( X ( le `  K ) W  <->  ( X (
meet `  K ) W )  =  X ) )
7251, 71mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( X (
meet `  K ) W )  =  X )
7372fveq2d 5427 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( oc
`  K ) `  ( X ( meet `  K
) W ) )  =  ( ( oc
`  K ) `  X ) )
745, 17, 20, 10oldmm1 28537 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( oc `  K
) `  ( X
( meet `  K ) W ) )  =  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) )
7565, 9, 14, 74syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( oc
`  K ) `  ( X ( meet `  K
) W ) )  =  ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) )
7673, 75eqtr3d 2290 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( oc
`  K ) `  X )  =  ( ( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) )
775, 33, 20latleeqm1 14112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( Y ( le `  K ) W  <->  ( Y
( meet `  K ) W )  =  Y ) )
782, 24, 14, 77syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( Y ( le `  K ) W  <->  ( Y (
meet `  K ) W )  =  Y ) )
7953, 78mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( Y (
meet `  K ) W )  =  Y )
8079fveq2d 5427 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( oc
`  K ) `  ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  ( ( oc
`  K ) `  Y ) )
815, 17, 20, 10oldmm1 28537 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  OL  /\  Y  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( oc `  K
) `  ( Y
( meet `  K ) W ) )  =  ( ( ( oc
`  K ) `  Y )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) )
8265, 24, 14, 81syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( oc
`  K ) `  ( Y ( meet `  K
) W ) )  =  ( ( ( oc `  K ) `
 Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) )
8380, 82eqtr3d 2290 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( oc
`  K ) `  Y )  =  ( ( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) )
8476, 83oveq12d 5775 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( oc `  K ) `
 X ) (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  Y
) )  =  ( ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) ( ( ( oc `  K ) `
 Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ) )
8569, 84eqtrd 2288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( oc
`  K ) `  ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( ( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K )
( ( ( oc
`  K ) `  Y )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ) )
8685oveq1d 5772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( oc `  K ) `
 ( X  .\/  Y ) ) ( meet `  K ) W )  =  ( ( ( ( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K )
( ( ( oc
`  K ) `  Y )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ) ( meet `  K ) W ) )
875, 20latmmdir 28555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) )  e.  (
Base `  K )  /\  ( ( ( oc
`  K ) `  Y )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
)  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ) (
meet `  K ) W )  =  ( ( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) )
8865, 19, 28, 14, 87syl13anc 1189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( ( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K )
( ( ( oc
`  K ) `  Y )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ) ( meet `  K ) W )  =  ( ( ( ( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ( meet `  K ) ( ( ( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ) )
8986, 88eqtrd 2288 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( oc `  K ) `
 ( X  .\/  Y ) ) ( meet `  K ) W )  =  ( ( ( ( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ( meet `  K ) ( ( ( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ) )
9089fveq2d 5427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( oc
`  K ) `  ( ( ( oc
`  K ) `  ( X  .\/  Y ) ) ( meet `  K
) W ) )  =  ( ( oc
`  K ) `  ( ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) ) )
9167, 90eqtr3d 2290 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( X 
.\/  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) )  =  ( ( oc `  K
) `  ( (
( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W ) (
meet `  K )
( ( ( ( oc `  K ) `
 Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) ) )
9291oveq1d 5772 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  ( ( oc
`  K ) `  W ) )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) )  =  ( ( ( oc `  K ) `  (
( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) )
9363, 92eqtr3d 2290 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( X 
.\/  Y )  .\/  ( ( ( oc
`  K ) `  W )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) )  =  ( ( ( oc `  K ) `  (
( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) )
9461, 93eqtr3d 2290 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( X 
.\/  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) )  =  ( ( ( oc `  K ) `  (
( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) )
9594oveq1d 5772 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  ( ( oc
`  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W )  =  ( ( ( ( oc
`  K ) `  ( ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W ) )
9658, 95eqtr3d 2290 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( X  .\/  Y )  =  ( ( ( ( oc `  K ) `  (
( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W ) )
9796fveq2d 5427 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( I `  ( X  .\/  Y ) )  =  ( I `
 ( ( ( ( oc `  K
) `  ( (
( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W ) (
meet `  K )
( ( ( ( oc `  K ) `
 Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W ) ) )
98 simpl 445 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
996, 7diaclN 30370 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  dom  I )  ->  (
I `  X )  e.  ran  I )
10099adantrr 700 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( I `  X )  e.  ran  I )
1016, 42, 7diaelrnN 30365 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( I `  X )  e.  ran  I )  ->  (
I `  X )  C_  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
102100, 101syldan 458 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( I `  X )  C_  (
( LTrn `  K ) `  W ) )
1036, 7diaclN 30370 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  e.  dom  I )  ->  (
I `  Y )  e.  ran  I )
104103adantrl 699 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( I `  Y )  e.  ran  I )
1056, 42, 7diaelrnN 30365 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( I `  Y )  e.  ran  I )  ->  (
I `  Y )  C_  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
106104, 105syldan 458 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( I `  Y )  C_  (
( LTrn `  K ) `  W ) )
107 djaj.j . . . . 5  |-  J  =  ( ( vA `  K ) `  W
)
1086, 42, 7, 43, 107djavalN 30455 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( I `
 X )  C_  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  ( I `  Y
)  C_  ( ( LTrn `  K ) `  W ) ) )  ->  ( ( I `
 X ) J ( I `  Y
) )  =  ( ( ( ocA `  K
) `  W ) `  ( ( ( ( ocA `  K ) `
 W ) `  ( I `  X
) )  i^i  (
( ( ocA `  K
) `  W ) `  ( I `  Y
) ) ) ) )
10998, 102, 106, 108syl12anc 1185 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( I `
 X ) J ( I `  Y
) )  =  ( ( ( ocA `  K
) `  W ) `  ( ( ( ( ocA `  K ) `
 W ) `  ( I `  X
) )  i^i  (
( ( ocA `  K
) `  W ) `  ( I `  Y
) ) ) ) )
1105, 33, 20latmle2 14110 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
)  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W ) ( le `  K ) W )
1112, 19, 14, 110syl3anc 1187 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( le `  K
) W )
1125, 33, 6, 7diaeldm 30356 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W )  e.  dom  I  <->  ( (
( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ( le
`  K ) W ) ) )
113112adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( ( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W )  e.  dom  I 
<->  ( ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ( le
`  K ) W ) ) )
11422, 111, 113mpbir2and 893 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W )  e.  dom  I )
1155, 33, 6, 7diaeldm 30356 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W )  e.  dom  I  <->  ( (
( ( ( oc
`  K ) `  Y )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( (
( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ( le
`  K ) W ) ) )
116115adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( ( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W )  e.  dom  I 
<->  ( ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( (
( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) ( le
`  K ) W ) ) )
11730, 37, 116mpbir2and 893 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W )  e.  dom  I )
11820, 6, 7diameetN 30376 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( ( ( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W )  e.  dom  I  /\  ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W )  e.  dom  I ) )  ->  ( I `  ( ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) )  =  ( ( I `  (
( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W ) )  i^i  ( I `  ( ( ( ( oc `  K ) `
 Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) ) )
11998, 114, 117, 118syl12anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( I `  ( ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) )  =  ( ( I `  (
( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) ( meet `  K
) W ) )  i^i  ( I `  ( ( ( ( oc `  K ) `
 Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) ) )
12017, 20, 10, 6, 42, 7, 43diaocN 30445 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  dom  I )  ->  (
I `  ( (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) )  =  ( ( ( ocA `  K ) `  W
) `  ( I `  X ) ) )
121120adantrr 700 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( I `  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) )  =  ( ( ( ocA `  K
) `  W ) `  ( I `  X
) ) )
12217, 20, 10, 6, 42, 7, 43diaocN 30445 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  e.  dom  I )  ->  (
I `  ( (
( ( oc `  K ) `  Y
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  W ) ) (
meet `  K ) W ) )  =  ( ( ( ocA `  K ) `  W
) `  ( I `  Y ) ) )
123122adantrl 699 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( I `  ( ( ( ( oc `  K ) `
 Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) )  =  ( ( ( ocA `  K
) `  W ) `  ( I `  Y
) ) )
124121, 123ineq12d 3313 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( I `
 ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) )  i^i  ( I `
 ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) )  =  ( ( ( ( ocA `  K ) `  W
) `  ( I `  X ) )  i^i  ( ( ( ocA `  K ) `  W
) `  ( I `  Y ) ) ) )
125119, 124eqtrd 2288 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( I `  ( ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) )  =  ( ( ( ( ocA `  K ) `  W
) `  ( I `  X ) )  i^i  ( ( ( ocA `  K ) `  W
) `  ( I `  Y ) ) ) )
126125fveq2d 5427 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( ( ocA `  K ) `
 W ) `  ( I `  (
( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) ) )  =  ( ( ( ocA `  K ) `  W
) `  ( (
( ( ocA `  K
) `  W ) `  ( I `  X
) )  i^i  (
( ( ocA `  K
) `  W ) `  ( I `  Y
) ) ) ) )
127109, 126eqtr4d 2291 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( ( I `
 X ) J ( I `  Y
) )  =  ( ( ( ocA `  K
) `  W ) `  ( I `  (
( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ( meet `  K
) ( ( ( ( oc `  K
) `  Y )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ( meet `  K ) W ) ) ) ) )
12845, 97, 1273eqtr4d 2298 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
dom  I  /\  Y  e.  dom  I ) )  ->  ( I `  ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( I `  X ) J ( I `  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    i^i cin 3093    C_ wss 3094   class class class wbr 3963   dom cdm 4626   ran crn 4627   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   Basecbs 13075   lecple 13142   occoc 13143   joincjn 14005   meetcmee 14006   Latclat 14078   OPcops 28492   OLcol 28494   OMLcoml 28495   HLchlt 28670   LHypclh 29303   LTrncltrn 29420   DIsoAcdia 30348   ocAcocaN 30439   vAcdjaN 30451
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-iin 3849  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-id 4246  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-undef 6229  df-riota 6237  df-map 6707  df-poset 14007  df-plt 14019  df-lub 14035  df-glb 14036  df-join 14037  df-meet 14038  df-p0 14072  df-p1 14073  df-lat 14079  df-clat 14141  df-oposet 28496  df-cmtN 28497  df-ol 28498  df-oml 28499  df-covers 28586  df-ats 28587  df-atl 28618  df-cvlat 28642  df-hlat 28671  df-llines 28817  df-lplanes 28818  df-lvols 28819  df-lines 28820  df-psubsp 28822  df-pmap 28823  df-padd 29115  df-lhyp 29307  df-laut 29308  df-ldil 29423  df-ltrn 29424  df-trl 29478  df-disoa 30349  df-docaN 30440  df-djaN 30452
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