Theorem dm0 3414

Description: The domain of the empty set is empty. Part of Theorem 3.8(v) of [Monk1] p. 36.

Assertion

Ref	Expression
dm0	|- dom (/) = (/)

Proof of Theorem dm0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 2336	. . . . 5 |- -. <.x, y>. e. (/)
2	1	nex 1137	. . . 4 |- -. E.y<.x, y>. e. (/)
3		eqid 1518	. . . . 5 |- x = x
4	3	notnoti 87	. . . 4 |- -. -. x = x
5	2, 4	2false 724	. . 3 |- (E.y<.x, y>. e. (/) <-> -. x = x)
6	5	abbii 1618	. 2 |- {x | E.y<.x, y>. e. (/)} = {x | -. x = x}
7		dfdm3 3393	. 2 |- dom (/) = {x | E.y<.x, y>. e. (/)}
8		dfnul2 2334	. 2 |- (/) = {x | -. x = x}
9	6, 7, 8	3eqtr4i 1548	1 |- dom (/) = (/)

Syntax hints:  -. wn 2   = wceq 992   e. wcel 994  E.wex 1016  {cab 1505  (/)c0 2332  <.cop 2469  dom cdm 3251

This theorem is referenced by:  dmxpid 3420  rn0 3442  dmxpss 3558  fn0 3711  f1o00 3825  1stval 4142  tz7.44lem1 4228  tz7.44-2 4230  dfrdg2 4234  infxpidmlem4 7767  0met 8035  dmadjrnb 10110  ismgm 10897  0alg 11210  0ded 11211  0cat 11212  heiborlem42 12052

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-10 1002  ax-12 1004  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-ex 1017  df-sb 1209  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-v 1858  df-dif 2101  df-nul 2333  df-br 2693  df-dm 3269

Copyright terms: Public domain