MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dm0rn0 Unicode version

Theorem dm0rn0 4911
Description: An empty domain implies an empty range. (Contributed by NM, 21-May-1998.)
Assertion
Ref Expression
dm0rn0  |-  ( dom 
A  =  (/)  <->  ran  A  =  (/) )

Proof of Theorem dm0rn0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alnex 1533 . . . . . 6  |-  ( A. x  -.  E. y  x A y  <->  -.  E. x E. y  x A
y )
2 excom 1798 . . . . . 6  |-  ( E. x E. y  x A y  <->  E. y E. x  x A
y )
31, 2xchbinx 301 . . . . 5  |-  ( A. x  -.  E. y  x A y  <->  -.  E. y E. x  x A
y )
4 alnex 1533 . . . . 5  |-  ( A. y  -.  E. x  x A y  <->  -.  E. y E. x  x A
y )
53, 4bitr4i 243 . . . 4  |-  ( A. x  -.  E. y  x A y  <->  A. y  -.  E. x  x A y )
6 noel 3472 . . . . . 6  |-  -.  x  e.  (/)
76nbn 336 . . . . 5  |-  ( -. 
E. y  x A y  <->  ( E. y  x A y  <->  x  e.  (/) ) )
87albii 1556 . . . 4  |-  ( A. x  -.  E. y  x A y  <->  A. x
( E. y  x A y  <->  x  e.  (/) ) )
9 noel 3472 . . . . . 6  |-  -.  y  e.  (/)
109nbn 336 . . . . 5  |-  ( -. 
E. x  x A y  <->  ( E. x  x A y  <->  y  e.  (/) ) )
1110albii 1556 . . . 4  |-  ( A. y  -.  E. x  x A y  <->  A. y
( E. x  x A y  <->  y  e.  (/) ) )
125, 8, 113bitr3i 266 . . 3  |-  ( A. x ( E. y  x A y  <->  x  e.  (/) )  <->  A. y ( E. x  x A y  <-> 
y  e.  (/) ) )
13 abeq1 2402 . . 3  |-  ( { x  |  E. y  x A y }  =  (/)  <->  A. x ( E. y  x A y  <->  x  e.  (/) ) )
14 abeq1 2402 . . 3  |-  ( { y  |  E. x  x A y }  =  (/)  <->  A. y ( E. x  x A y  <->  y  e.  (/) ) )
1512, 13, 143bitr4i 268 . 2  |-  ( { x  |  E. y  x A y }  =  (/)  <->  { y  |  E. x  x A y }  =  (/) )
16 df-dm 4715 . . 3  |-  dom  A  =  { x  |  E. y  x A y }
1716eqeq1i 2303 . 2  |-  ( dom 
A  =  (/)  <->  { x  |  E. y  x A y }  =  (/) )
18 dfrn2 4884 . . 3  |-  ran  A  =  { y  |  E. x  x A y }
1918eqeq1i 2303 . 2  |-  ( ran 
A  =  (/)  <->  { y  |  E. x  x A y }  =  (/) )
2015, 17, 193bitr4i 268 1  |-  ( dom 
A  =  (/)  <->  ran  A  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 176   A.wal 1530   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   (/)c0 3468   class class class wbr 4039   dom cdm 4705   ran crn 4706
This theorem is referenced by:  rn0  4952  relrn0  4953  imadisj  5048  ndmima  5066  rnsnn0  5155  f00  5442  2nd0  6143  iinon  6373  onoviun  6376  onnseq  6377  map0b  6822  fodomfib  7152  intrnfi  7186  wdomtr  7305  noinfep  7376  noinfepOLD  7377  wemapwe  7416  fin23lem31  7985  fin23lem40  7993  isf34lem7  8021  isf34lem6  8022  ttukeylem6  8157  fodomb  8167  rpnnen1lem4  10361  rpnnen1lem5  10362  fseqsupcl  11055  fseqsupubi  11056  ruclem11  12534  prmreclem6  12984  0ram  13083  0ram2  13084  0ramcl  13086  gsumval2  14476  ghmrn  14712  gexex  15161  gsumval3  15207  iinopn  16664  hauscmplem  17149  fbasrn  17595  alexsublem  17754  evth  18473  minveclem1  18804  minveclem3b  18808  ovollb2  18864  ovolunlem1a  18871  ovolunlem1  18872  ovoliunlem1  18877  ovoliun2  18881  ioombl1lem4  18934  uniioombllem1  18952  uniioombllem2  18954  uniioombllem6  18959  mbfsup  19035  mbfinf  19036  mbflimsup  19037  itg1climres  19085  itg2monolem1  19121  itg2mono  19124  itg2i1fseq2  19127  itg2cnlem1  19132  minvecolem1  21469  rge0scvg  23388  esumpcvgval  23461  cvmsss2  23820  isbnd3  26611  totbndbnd  26616  stoweidlem35  27887
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-br 4040  df-opab 4094  df-cnv 4713  df-dm 4715  df-rn 4716
  Copyright terms: Public domain W3C validator