Theorem dm0rn0 3325

Description: An empty domain implies an empty range.

Assertion

Ref	Expression
dm0rn0	|- (dom A = (/) <-> ran A = (/))

Proof of Theorem dm0rn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		excom 1044	. . . . . 6 |- (E.xE.y xAy <-> E.yE.x xAy)
2	1	negbii 187	. . . . 5 |- (-. E.xE.y xAy <-> -. E.yE.x xAy)
3		alnex 1031	. . . . 5 |- (A.x -. E.y xAy <-> -. E.xE.y xAy)
4		alnex 1031	. . . . 5 |- (A.y -. E.x xAy <-> -. E.yE.x xAy)
5	2, 3, 4	3bitr4 183	. . . 4 |- (A.x -. E.y xAy <-> A.y -. E.x xAy)
6		noel 2280	. . . . . 6 |- -. x e. (/)
7	6	nbn 721	. . . . 5 |- (-. E.y xAy <-> (E.y xAy <-> x e. (/)))
8	7	albii 997	. . . 4 |- (A.x -. E.y xAy <-> A.x(E.y xAy <-> x e. (/)))
9		noel 2280	. . . . . 6 |- -. y e. (/)
10	9	nbn 721	. . . . 5 |- (-. E.x xAy <-> (E.x xAy <-> y e. (/)))
11	10	albii 997	. . . 4 |- (A.y -. E.x xAy <-> A.y(E.x xAy <-> y e. (/)))
12	5, 8, 11	3bitr3 181	. . 3 |- (A.x(E.y xAy <-> x e. (/)) <-> A.y(E.x xAy <-> y e. (/)))
13		abeq1 1566	. . 3 |- ({x | E.y xAy} = (/) <-> A.x(E.y xAy <-> x e. (/)))
14		abeq1 1566	. . 3 |- ({y | E.x xAy} = (/) <-> A.y(E.x xAy <-> y e. (/)))
15	12, 13, 14	3bitr4 183	. 2 |- ({x | E.y xAy} = (/) <-> {y | E.x xAy} = (/))
16		df-dm 3183	. . 3 |- dom A = {x | E.y xAy}
17	16	eqeq1i 1479	. 2 |- (dom A = (/) <-> {x | E.y xAy} = (/))
18		dfrn2 3298	. . 3 |- ran A = {y | E.x xAy}
19	18	eqeq1i 1479	. 2 |- (ran A = (/) <-> {y | E.x xAy} = (/))
20	15, 17, 19	3bitr4 183	1 |- (dom A = (/) <-> ran A = (/))

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 146  A.wal 952   = wceq 954   e. wcel 956  E.wex 978  {cab 1461  (/)c0 2276   class class class wbr 2614  dom cdm 3165  ran crn 3166

This theorem is referenced by:  rn0 3349  relrn0 3350  imadisj 3414  ndmima 3426  f00 3648  2nd0 4074  map0b 4333  fodomfib 4547  noinfep 4620  fodomb 4780  fseqsupcl 6465  fseqsupub 6466  climsup 7099  cvgcmpub 7129

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-br 2615  df-opab 2662  df-cnv 3181  df-dm 3183  df-rn 3184

Copyright terms: Public domain