MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dm0rn0 Structured version   Unicode version

Theorem dm0rn0 5086
Description: An empty domain implies an empty range. (Contributed by NM, 21-May-1998.)
Assertion
Ref Expression
dm0rn0  |-  ( dom 
A  =  (/)  <->  ran  A  =  (/) )

Proof of Theorem dm0rn0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alnex 1552 . . . . . 6  |-  ( A. x  -.  E. y  x A y  <->  -.  E. x E. y  x A
y )
2 excom 1756 . . . . . 6  |-  ( E. x E. y  x A y  <->  E. y E. x  x A
y )
31, 2xchbinx 302 . . . . 5  |-  ( A. x  -.  E. y  x A y  <->  -.  E. y E. x  x A
y )
4 alnex 1552 . . . . 5  |-  ( A. y  -.  E. x  x A y  <->  -.  E. y E. x  x A
y )
53, 4bitr4i 244 . . . 4  |-  ( A. x  -.  E. y  x A y  <->  A. y  -.  E. x  x A y )
6 noel 3632 . . . . . 6  |-  -.  x  e.  (/)
76nbn 337 . . . . 5  |-  ( -. 
E. y  x A y  <->  ( E. y  x A y  <->  x  e.  (/) ) )
87albii 1575 . . . 4  |-  ( A. x  -.  E. y  x A y  <->  A. x
( E. y  x A y  <->  x  e.  (/) ) )
9 noel 3632 . . . . . 6  |-  -.  y  e.  (/)
109nbn 337 . . . . 5  |-  ( -. 
E. x  x A y  <->  ( E. x  x A y  <->  y  e.  (/) ) )
1110albii 1575 . . . 4  |-  ( A. y  -.  E. x  x A y  <->  A. y
( E. x  x A y  <->  y  e.  (/) ) )
125, 8, 113bitr3i 267 . . 3  |-  ( A. x ( E. y  x A y  <->  x  e.  (/) )  <->  A. y ( E. x  x A y  <-> 
y  e.  (/) ) )
13 abeq1 2542 . . 3  |-  ( { x  |  E. y  x A y }  =  (/)  <->  A. x ( E. y  x A y  <->  x  e.  (/) ) )
14 abeq1 2542 . . 3  |-  ( { y  |  E. x  x A y }  =  (/)  <->  A. y ( E. x  x A y  <->  y  e.  (/) ) )
1512, 13, 143bitr4i 269 . 2  |-  ( { x  |  E. y  x A y }  =  (/)  <->  { y  |  E. x  x A y }  =  (/) )
16 df-dm 4888 . . 3  |-  dom  A  =  { x  |  E. y  x A y }
1716eqeq1i 2443 . 2  |-  ( dom 
A  =  (/)  <->  { x  |  E. y  x A y }  =  (/) )
18 dfrn2 5059 . . 3  |-  ran  A  =  { y  |  E. x  x A y }
1918eqeq1i 2443 . 2  |-  ( ran 
A  =  (/)  <->  { y  |  E. x  x A y }  =  (/) )
2015, 17, 193bitr4i 269 1  |-  ( dom 
A  =  (/)  <->  ran  A  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177   A.wal 1549   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2422   (/)c0 3628   class class class wbr 4212   dom cdm 4878   ran crn 4879
This theorem is referenced by:  rn0  5127  relrn0  5128  imadisj  5223  ndmima  5241  rnsnn0  5336  f00  5628  2nd0  6354  iinon  6602  onoviun  6605  onnseq  6606  map0b  7052  fodomfib  7386  intrnfi  7421  wdomtr  7543  noinfep  7614  noinfepOLD  7615  wemapwe  7654  fin23lem31  8223  fin23lem40  8231  isf34lem7  8259  isf34lem6  8260  ttukeylem6  8394  fodomb  8404  rpnnen1lem4  10603  rpnnen1lem5  10604  fseqsupcl  11316  fseqsupubi  11317  ruclem11  12839  prmreclem6  13289  0ram  13388  0ram2  13389  0ramcl  13391  gsumval2  14783  ghmrn  15019  gexex  15468  gsumval3  15514  iinopn  16975  hauscmplem  17469  fbasrn  17916  alexsublem  18075  evth  18984  minveclem1  19325  minveclem3b  19329  ovollb2  19385  ovolunlem1a  19392  ovolunlem1  19393  ovoliunlem1  19398  ovoliun2  19402  ioombl1lem4  19455  uniioombllem1  19473  uniioombllem2  19475  uniioombllem6  19480  mbfsup  19556  mbfinf  19557  mbflimsup  19558  itg1climres  19606  itg2monolem1  19642  itg2mono  19645  itg2i1fseq2  19648  itg2cnlem1  19653  minvecolem1  22376  rge0scvg  24335  esumpcvgval  24468  cvmsss2  24961  isbnd3  26493  totbndbnd  26498  stoweidlem35  27760
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-rab 2714  df-v 2958  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-br 4213  df-opab 4267  df-cnv 4886  df-dm 4888  df-rn 4889
  Copyright terms: Public domain W3C validator