MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmaddsr Unicode version

Theorem dmaddsr 8854
Description: Domain of addition on signed reals. (Contributed by NM, 25-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dmaddsr  |-  dom  +R  =  ( R.  X.  R. )

Proof of Theorem dmaddsr
Dummy variables  x  y  z  w  v  u  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-plr 8830 . . . 4  |-  +R  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e. 
R.  /\  y  e.  R. )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ]  ~R  /\  y  =  [ <. u ,  f >. ]  ~R  )  /\  z  =  [
( <. w ,  v
>.  +pR  <. u ,  f
>. ) ]  ~R  )
) }
21dmeqi 4983 . . 3  |-  dom  +R  =  dom  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ]  ~R  /\  y  =  [ <. u ,  f
>. ]  ~R  )  /\  z  =  [ ( <. w ,  v >.  +pR  <. u ,  f
>. ) ]  ~R  )
) }
3 dmoprabss 6055 . . 3  |-  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e. 
R.  /\  y  e.  R. )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ]  ~R  /\  y  =  [ <. u ,  f >. ]  ~R  )  /\  z  =  [
( <. w ,  v
>.  +pR  <. u ,  f
>. ) ]  ~R  )
) }  C_  ( R.  X.  R. )
42, 3eqsstri 3294 . 2  |-  dom  +R  C_  ( R.  X.  R. )
5 0nsr 8848 . . 3  |-  -.  (/)  e.  R.
6 addclsr 8852 . . 3  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( x  +R  y
)  e.  R. )
75, 6oprssdm 6128 . 2  |-  ( R. 
X.  R. )  C_  dom  +R
84, 7eqssi 3281 1  |-  dom  +R  =  ( R.  X.  R. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358   E.wex 1546    = wceq 1647    e. wcel 1715   <.cop 3732    X. cxp 4790   dom cdm 4792  (class class class)co 5981   {coprab 5982   [cec 6800    +pR cplpr 8633    ~R cer 8635   R.cnr 8636    +R cplr 8640
This theorem is referenced by:  addcomsr  8856  addasssr  8857  distrsr  8860  ltasr  8869
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-omul 6626  df-er 6802  df-ec 6804  df-qs 6808  df-ni 8643  df-pli 8644  df-mi 8645  df-lti 8646  df-plpq 8679  df-mpq 8680  df-ltpq 8681  df-enq 8682  df-nq 8683  df-erq 8684  df-plq 8685  df-mq 8686  df-1nq 8687  df-rq 8688  df-ltnq 8689  df-np 8752  df-plp 8754  df-ltp 8756  df-plpr 8826  df-enr 8828  df-nr 8829  df-plr 8830
  Copyright terms: Public domain W3C validator