MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmaddsr Unicode version

Theorem dmaddsr 8703
Description: Domain of addition on signed reals. (Contributed by NM, 25-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dmaddsr  |-  dom  +R  =  ( R.  X.  R. )

Proof of Theorem dmaddsr
Dummy variables  x  y  z  w  v  u  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-plr 8679 . . . 4  |-  +R  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e. 
R.  /\  y  e.  R. )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ]  ~R  /\  y  =  [ <. u ,  f >. ]  ~R  )  /\  z  =  [
( <. w ,  v
>.  +pR  <. u ,  f
>. ) ]  ~R  )
) }
21dmeqi 4879 . . 3  |-  dom  +R  =  dom  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ]  ~R  /\  y  =  [ <. u ,  f
>. ]  ~R  )  /\  z  =  [ ( <. w ,  v >.  +pR  <. u ,  f
>. ) ]  ~R  )
) }
3 dmoprabss 5891 . . 3  |-  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e. 
R.  /\  y  e.  R. )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ]  ~R  /\  y  =  [ <. u ,  f >. ]  ~R  )  /\  z  =  [
( <. w ,  v
>.  +pR  <. u ,  f
>. ) ]  ~R  )
) }  C_  ( R.  X.  R. )
42, 3eqsstri 3209 . 2  |-  dom  +R  C_  ( R.  X.  R. )
5 0nsr 8697 . . 3  |-  -.  (/)  e.  R.
6 addclsr 8701 . . 3  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( x  +R  y
)  e.  R. )
75, 6oprssdm 5964 . 2  |-  ( R. 
X.  R. )  C_  dom  +R
84, 7eqssi 3196 1  |-  dom  +R  =  ( R.  X.  R. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1685   <.cop 3644    X. cxp 4686    dom cdm 4688  (class class class)co 5820   {coprab 5821   [cec 6654    +pR cplpr 8482    ~R cer 8484   R.cnr 8485    +R cplr 8489
This theorem is referenced by:  addcomsr  8705  addasssr  8706  distrsr  8709  ltasr  8718
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7338
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-oadd 6479  df-omul 6480  df-er 6656  df-ec 6658  df-qs 6662  df-ni 8492  df-pli 8493  df-mi 8494  df-lti 8495  df-plpq 8528  df-mpq 8529  df-ltpq 8530  df-enq 8531  df-nq 8532  df-erq 8533  df-plq 8534  df-mq 8535  df-1nq 8536  df-rq 8537  df-ltnq 8538  df-np 8601  df-plp 8603  df-ltp 8605  df-plpr 8675  df-enr 8677  df-nr 8678  df-plr 8679
  Copyright terms: Public domain W3C validator