MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmcoss Unicode version

Theorem dmcoss 4897
Description: Domain of a composition. Theorem 21 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
dmcoss  |-  dom  (  A  o.  B )  C_ 
dom  B

Proof of Theorem dmcoss
StepHypRef Expression
1 nfe1 1566 . . . 4  |-  F/ y E. y  x B y
2 exsimpl 1591 . . . . 5  |-  ( E. z ( x B z  /\  z A y )  ->  E. z  x B z )
3 vex 2743 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
4 vex 2743 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
53, 4opelco 4806 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  o.  B
)  <->  E. z ( x B z  /\  z A y ) )
6 breq2 3967 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
x B y  <->  x B
z ) )
76cbvexv 2047 . . . . 5  |-  ( E. y  x B y  <->  E. z  x B
z )
82, 5, 73imtr4i 259 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  o.  B
)  ->  E. y  x B y )
91, 8exlimi 1781 . . 3  |-  ( E. y <. x ,  y
>.  e.  ( A  o.  B )  ->  E. y  x B y )
103eldm2 4830 . . 3  |-  ( x  e.  dom  (  A  o.  B )  <->  E. y <. x ,  y >.  e.  ( A  o.  B
) )
113eldm 4829 . . 3  |-  ( x  e.  dom  B  <->  E. y  x B y )
129, 10, 113imtr4i 259 . 2  |-  ( x  e.  dom  (  A  o.  B )  ->  x  e.  dom  B )
1312ssriv 3126 1  |-  dom  (  A  o.  B )  C_ 
dom  B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360   E.wex 1537    e. wcel 1621    C_ wss 3094   <.cop 3584   class class class wbr 3963   dom cdm 4626    o. ccom 4630
This theorem is referenced by:  rncoss  4898  dmcosseq  4899  cossxp  5147  coexg  5167  fvco4i  5496  cofunexg  5638  fin23lem30  7901  wunco  8288  znleval  16435  tngtopn  18093  relexpdm  23369  mvdco  26720  f1omvdconj  26721
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pr 4152
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-rab 2523  df-v 2742  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-br 3964  df-opab 4018  df-co 4643  df-dm 4644
  Copyright terms: Public domain W3C validator