MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmcoss Unicode version

Theorem dmcoss 4932
Description: Domain of a composition. Theorem 21 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
dmcoss  |-  dom  (  A  o.  B )  C_ 
dom  B

Proof of Theorem dmcoss
StepHypRef Expression
1 nfe1 1566 . . . 4  |-  F/ y E. y  x B y
2 exsimpl 1591 . . . . 5  |-  ( E. z ( x B z  /\  z A y )  ->  E. z  x B z )
3 vex 2766 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
4 vex 2766 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
53, 4opelco 4841 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  o.  B
)  <->  E. z ( x B z  /\  z A y ) )
6 breq2 4001 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
x B y  <->  x B
z ) )
76cbvexv 2047 . . . . 5  |-  ( E. y  x B y  <->  E. z  x B
z )
82, 5, 73imtr4i 259 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  o.  B
)  ->  E. y  x B y )
91, 8exlimi 1781 . . 3  |-  ( E. y <. x ,  y
>.  e.  ( A  o.  B )  ->  E. y  x B y )
103eldm2 4865 . . 3  |-  ( x  e.  dom  (  A  o.  B )  <->  E. y <. x ,  y >.  e.  ( A  o.  B
) )
113eldm 4864 . . 3  |-  ( x  e.  dom  B  <->  E. y  x B y )
129, 10, 113imtr4i 259 . 2  |-  ( x  e.  dom  (  A  o.  B )  ->  x  e.  dom  B )
1312ssriv 3159 1  |-  dom  (  A  o.  B )  C_ 
dom  B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360   E.wex 1537    e. wcel 1621    C_ wss 3127   <.cop 3617   class class class wbr 3997   dom cdm 4661    o. ccom 4665
This theorem is referenced by:  rncoss  4933  dmcosseq  4934  cossxp  5182  coexg  5202  fvco4i  5531  cofunexg  5673  fin23lem30  7936  wunco  8323  znleval  16471  tngtopn  18129  relexpdm  23405  mvdco  26756  f1omvdconj  26757
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pr 4186
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-rab 2527  df-v 2765  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-br 3998  df-opab 4052  df-co 4678  df-dm 4679
  Copyright terms: Public domain W3C validator