MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmcoss Unicode version

Theorem dmcoss 4851
Description: Domain of a composition. Theorem 21 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
dmcoss  |-  dom  (  A  o.  B )  C_ 
dom  B

Proof of Theorem dmcoss
StepHypRef Expression
1 nfe1 1566 . . . 4  |-  F/ y E. y  x B y
2 exsimpl 1591 . . . . 5  |-  ( E. z ( x B z  /\  z A y )  ->  E. z  x B z )
3 vex 2730 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
4 vex 2730 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
53, 4opelco 4760 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  o.  B
)  <->  E. z ( x B z  /\  z A y ) )
6 breq2 3924 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
x B y  <->  x B
z ) )
76cbvexv 2046 . . . . 5  |-  ( E. y  x B y  <->  E. z  x B
z )
82, 5, 73imtr4i 259 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  o.  B
)  ->  E. y  x B y )
91, 8exlimi 1781 . . 3  |-  ( E. y <. x ,  y
>.  e.  ( A  o.  B )  ->  E. y  x B y )
103eldm2 4784 . . 3  |-  ( x  e.  dom  (  A  o.  B )  <->  E. y <. x ,  y >.  e.  ( A  o.  B
) )
113eldm 4783 . . 3  |-  ( x  e.  dom  B  <->  E. y  x B y )
129, 10, 113imtr4i 259 . 2  |-  ( x  e.  dom  (  A  o.  B )  ->  x  e.  dom  B )
1312ssriv 3105 1  |-  dom  (  A  o.  B )  C_ 
dom  B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360   E.wex 1537    e. wcel 1621    C_ wss 3078   <.cop 3547   class class class wbr 3920   dom cdm 4580    o. ccom 4584
This theorem is referenced by:  rncoss  4852  dmcosseq  4853  cossxp  5101  coexg  5121  fvco4i  5449  cofunexg  5591  fin23lem30  7852  wunco  8235  znleval  16340  tngtopn  17998  relexpdm  23203  mvdco  26554  f1omvdconj  26555
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-rab 2516  df-v 2729  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-br 3921  df-opab 3975  df-co 4597  df-dm 4598
  Copyright terms: Public domain W3C validator